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1 Gabarito - Dia 1 Exercício 1. Utilizando a Cifra de ATBASH decifre a mensagem VHHV VCVIXRXRL V UZXRO. Esse exercício é fácil. Exercício 2. Utilize o código de Políbio para codicar a mensagem Pensar é um privilégio para poucos Exercício 3. Codique a mesma mensagem do exercício anterior, porém utilizando o Código de César e depois o Rot13. Usando o Código de César: SHQVDU H SULYLHJLR GH SRXRFRV Usando o Rot13: CRAFNE R CEVIVYRTVB QR CBHPBF Exercício 4. Usando a frequência das letras em português decifre a mensagem: MP CAE PWRADHE CHEWQRAE CHIKDA CW VDRFKAZDWQRW H CW PWKHPWKRVW H WVBWD MP WGZADRKRPA FWDW VWGVMGWD FDRPAE CH ZDWICHE JWGADHE. Um dos maiores desaos dentro da criptograa e da matemática é achar um algoritmo para calcular primos de grandes valores. Exercício 5. Na criptograa por blocos, por que escolhemos acrescentar exatamente a letra A quando a mensagem tem quantidade ímpar de letras? Primeiramente para dar sentido a frase, já que temos que separar os blocos em duplas; e o motivo da letra escolhida ser a A é pelo fato dela ser muito comum, já que uma letra como Y ou X poderia sinalizar o m da frase. Exercício 6. Por que a código em blocos tem o problema de Chave Pública? Vamos entender o conceito do problema de chave páblica. Basicamente o problema gira em torna da seguinte questão: você precisa de um método para criptografar no qual, mesmo sabendo como as palavras foram embaralhadas, seja difícil de desembaralhar. Sabendo isso, é fácil de entender porque a criptograa em blocos sofre desse problema, pois uma vez que você sabe como os blocos foram embaralhados e fácil de desembaralhar. Exercício 7. Descriptografe a mensagem ASGALAADDSETATITACSEAMONAMTEAIEHMA. A magia da matemática está nos detalhes. 2 1 Exercício 8. Usando a matriz A codique a palavra SHERLOCK Exercício 9. Usando a matriz B codique a palavra WATSON Exercício 10. Utilizando a matriz C 2 3 decodique a mensagem 52, 64, 40, Exercício 11. Utilizando a matriz C decodique a mensagem 44, 45, 66, 75, 31, 36, 47,

2 Exercício a b c 0 + ( 5) d e, logo f 0 + ( 7) g h i Exercício a b c d e 6, isto é, 5 + f g h i Exercício a 4 b 2 c 7 d 5 e 2 f 8 g 7 h 5 i a 1 b 2 c 3 d 4 e 4 f 6 g 7 h 1 i a 0 ( 2) b 5 3 c 2 5 d 2 0 e, portanto 12 ( 6) f 9 ( 7) g 6 11 h 6 3 i Exercício a 1 9 b 4 2 c 0 0 d 4 2 e 6 5 f 11 1 g h 4 5 i , logo a b c d e f g h i a 10 b 2 c 8 d 3 e 2 f 18 g 16 h 17 i 3 a 1 b 13 c 2 d 4 e 4 f 6 g 3 h 3 i 11 a b c d e f g h i a b c d e f g h i a b c d e f g h i

3 Exercício 16. Calcule: a) ( 9) ( 9) a 18 + ( 27) b Logo c d b) e ( 9) ( 2) 5 6 a 0 ( 27) b Portanto 30 0 c 10 ( 6) d Exercício 17. Dados A calcule: a) A B A B b) B A B A c) C D a b c d a 5 b 45 c 14 d a b c d e a 11 b 27 c 30 d 4, B , C , e D 4 2, 3

4 2 5 C D 5 2 d) B C Não é possível calcular o produto, pois o número de linhas da matriz B é diferente do número de colunas na matriz C. Exercício 18. Encontre o determinante: a) 11 det b) det c) det ( 1) ( 1) ( 3) ( 5)

5 Gabarito - Dia 2 Exercício 19. Encontre a fatoração em primos de: 56, 94, 260, 78 e 196. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Exercício 20. Encontre o mdc dos seguintes pares: (45, 33), (584, 276), (384, 175) e (96, 224). ˆ mdc (45, 33) 3 ˆ mdc (584, 276) 4 ˆ mdc (384, 175) 1 ˆ mdc (96, 224) 32 Exercício 21. Qual é o menor número que devemos adicionar a para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7? e , logo, adicionando b, temos b b e b b. Como queremos que seja divisível por 3 e por 7, basta que 2 + b 3 p para algum p N, e 2 + b 7 q para algum q N, ou seja, 3 p 7 q. Conclusão: p 7 e q 3, e, portanto, b É preciso adicionar 19 unidades. Exercício 22. Se um número n for dividido por 27, o resto da divisão será igual a 7. Se dividirmos o número n+50 também por 27, qual será o resto obtido? Temos que n 27 k + 7 para algum k natural, e também temos que , logo n k (k + 1) (k + 1) (k + 2) + 3, ou seja, o resto da divisão de n + 50 por 27 é 3. Exercício 23. Fatore em números primos, os números a seguir: a) b) c) d) Exercício 24. Justique por que vale a propriedade de transitividade para congruências. Tendo as informações de que a b (mod m) e b c (mod m), sabe-se, pela denição de congruência, que a b p m para algum p Z e b c q m para algum q Z. Fazendo a c a b + b c (a b) + (b c) p m + q m (p + q) m, para alguns p, q Z, temos que a c é múltiplo de m, ou seja, a c (mod m). Exercício 25. Sabendo que k 1 (mod 4), mostre que 6k (mod 4). 5

6 Se k 1 (mod 4), então, pelo algoritmo da divisão, (k qn + r), k 4n + 1. Temos 6k + 5 6(4n + 1) n n (6n + 2) + 3, logo 6k + 5 deixa resto 3 na divisão por 4. Portanto, pela proposição 2, 6k (mod 4). Exercício 26. Utilizando as propriedades de congruência módulo m, determine o resto da divisão de por 13. Sugestão: observe que (mod 13). Utilizando a sugestão temos (mod 13), a partir disso podemos observar que (mod 13), logo (mod 13) (item 1 da Propriedade 3, página 22). Pelo item 4 da Propriedade 3 temos, (2 2 ) 1007 ( 3 2 ) 1007 (mod 13), ou seja, (mod 13). Conclusão: (mod 13). Exercício 27. (Provão 2003) Se o resto da divisão de um inteiro n por 5 é igual a 3, o resto da divisão de n 2 por 5 é, necessariamente, igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Como n tem resto 3 quando dividido por 5, então n 3 (mod 5) (proposição 2), logo, pelo item 4 da propriedade 3, n (mod 5), o que implica que n 2 9 (mod 5). Então, pela proposição 1, 9 tem resto 4 quando dividido por 5 e n 2 também tem resto 4 quando dividido por 5. A resposta correta é o item e). Exercício 28. Determine o resto da divisão de 5 60 por (mod 26), fazendo (5 2 ) 30 ( 1) 30 (mod 26) temos (mod 26). Ou seja, 5 60 tem resto 1 na divisão por 26. Exercício 29. Determine o resto da divisão 2 50 por 7. Testando descobrimos que (mod 7). Como , fazemos (2 3 ) (mod 7), obtendo assim que (mod 7). Por m, (mod 7). Noutras palavras, 2 50 deixa resto 4 quando é dividido por 7. Exercício 30. Determine o mdc(231, 130) e encontre os respectivos r e s , logo mdc(231,130) e 130 são primos entre si ( ) ( ) ( ) Portanto r 9 e s 16. Exercício 31. Determine o mdc(150, 91) e encontre os respectivos r e s , logo mdc(150,91)1. Também são primos entre si (27 5 5) (32 27) (59 32) (91 59) (150 91) Conclusão: r 37 e s 61. 6

7 Gabarito - Dia 3 Exercício 32. Encontre inversos módulo 11 dos seguintes valores: 122, 37, 52, 65, 86, 79, 102, 16, 117, 215. Como foi dito na aula, não é necessario fazermos a conta para os números requeridos no exercício. Podemos ao invés disso fazer para os restos das divisões dos números por 11. Desta maneira, podemos substituir 122, 37, 52, 65, 86, 79, 102, 16, 117, 215 por 1, 4, 8, 10, 9, 2, 3, 5, 7, 6. Basta agora encontrar tais restos. 1) Para 1, mod 11. 2) Para 4, utilizemos o algoritmo da divisão para encontrá-lo Então (11 2 4) Desta forma, o inverso de 4 é 3, e vice-versa. 3) Para 8, Logo, (8 2 3) Assim, o inverso de 8 é ( 4) Da mesma forma, 8 é o inverso de 7. 4) Para 10, Portanto, ( 1) 10. Podemos concluir então que o inverso de 10 é ( 1) ) Para 9, Então, Assim, o inverso de 9 é 5, e vice-versa. 6) Para 2, Assim, Desta forma, o inverso de 2 é ( 5) E vice-versa. Exercício 33. Resolva a congruência 4x (mod 1)3. Basta calcularmos o inverso de 4 mod Portanto, , o que implica que o inverso de 4 módulo 13 é ( 3) Multiplicando então ambos os lados por 10, temos: x 90 mod 13. Como mod 13, temos que x 12 mod 13. 7

8 Exercício 34. Encontre o conjunto solução das seguintes equações modulares. Dentre as soluções encontradas, qual delas está no sistema completo de resíduos apresentado na Denição 9 na página 33? a) 17 x (mod 3) Temos que o resto da divisão de 17 por 3 é igual a 2. Portanto 17 2 (mod 3), e com isso temos que nosso conjunto solução é formado por elementos do tipo 3.n + 2, n N, ou seja: {2, 5, 8, 11, 14, 17,...}. b) 30 x (mod 4) Temos que o resto da divisão de 30 por 4 é igual a 2. Portanto 30 2 (mod 4), e com isso temos que nosso conjunto solução é formado por elementos do tipo 4.n+2, n N, ou seja: {2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30,...}. c) 12 x (mod 5) Temos que o resto da divisão de 12 por 5 é igual a 2. Portanto 12 2 (mod 5), e com isso temos que nosso conjunto solução é formado por elementos do tipo 5.n + 2, n N, ou seja: {2, 7, 12,...}. Exercício 35. Calcule o resto das divisões abaixo, assim como o conjunto solução de suas respectivas equações modulares. a) , equação: x (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) Temos que, (10 6 ) , e como (mod 7) e (mod 7), podemos concluir que: (10 6 ) (mod 7) Portanto nosso conjunto solução é {7.n + 5; n N}. b) , equação: 3 78 x (mod 7). Pelo item anterior, sabemos que 10 3 (mod 7) e como (mod 7) então (mod 7). Temos que (3 6 ) 13. Então podemos concluir que: 3 78 (3 6 ) (mod 7) Portanto nosso conjunto solução é {7.n + 1; n N}. c) , equação: x (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) Temos que (mod 7), portanto 2 3.q 1 (mod 7) para todo q N. Temos que e , portanto sabemos que é divisível por 3, ou seja, q para algum q. Com isso concluimos que: q (2 3 ) q 1 (mod 7) Portanto nosso conjunto solução é {7.n + 1; n N}. d) , equação: 2 90 x (mod 13) (mod 13) (mod 13) (mod 13) (mod 13) (mod 13) (mod 13) (mod 13) (mod 13) (mod 13) (mod 13) (mod 13) (mod 13) 8

9 Portanto temos que (mod 13). Como (2 12 ) 7.2 6, então: 2 90 (2 12 ) (mod 13) Portanto nosso conjunto solução é {13.n + 12; n N}. Exercício 36. Calcule o resto da divisão por 31 das seguintes potências: a) (mod 31) (mod 31) (mod 31) (mod 31) (mod 31) Portanto temos que (mod 31). Agora devemos analisar se é um múltiplo de 5, caso não seja, devemos encontrar qual o resto da divisão de por 5. então, (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) Portanto temos que (mod 5). Vamos vericar se é múltiplo de 4: (24691) (24691)+1 (13 4 ) (1).13 3 (mod 5) Com isso podemos concluir que q +3, pois sobra resto 3 na sua divisão por 5. Agora voltando ao problema original: q+3 (2 5 ) q (mod 31) b) Primeiramente devemos observar que 64 2 (mod 31), como sabemos do ítem anterior que (mod 31), temos que: (mod 31) Agora basta vericar se é um múltiplo de 5, e caso não seja, devemos encontrar o resto da divisão de por 5. Sabemos que (mod 5), portanto vamos vericar se 9876 é múltiplo de 4: (2469) Portanto temos, (3 4 ) (mod 5), ou seja, q + 1. Com isso temos que: q+1 (64 5 ) q (mod 31) c) Vamos aproveitar, uma vez mais, o fato de que (mod 31). Agora devemos vericar se é um múltiplo de 5: (mod 5) (mod 5) Como q + 1, então q+1 (14 2 ) q.14. Portanto: Com isso temos que n + 4, portanto: (14 2 ) q (mod 5) n+4 (2 5 ) n (mod 31) 9

10 Exercício 37. Calcule a ordem de: a) 3 módulo 7. Ordem 6 b) 2 módulo 11. Ordem 10 c) 5 módulo 31. Ordem 3 d) 7 módulo 43. Ordem 6 Exercício 38. Mostre que se a e m são inteiros positivos pares, então nenhuma potência de a é congruente a 1 módulo m. Como a e m são pares, então mdc(a.m) 2, portanto mdc(a, m) 1, ou seja, a não possui inverso modulo m. Exercício 39. Determine a ordem de cada um dos inteiros a, tal que 1 a 10, módulo 11 Ordem de 1 módulo 11 1 Ordem de 2 módulo Ordem de 3 módulo 11 5 Ordem de 4 módulo 11 5 Ordem de 5 módulo 11 5 Ordem de 6 módulo Ordem de 7 módulo Ordem de 8 módulo Ordem de 9 módulo 11 5 Ordem de 10 módulo 11 2 Exercício 40. Determine a ordem de cada um dos inteiros a, tal que 1 a 11, módulo 12. Lembre-se que alguns destes inteiros nem sequer admitem uma ordem módulo 12. Você pode começar por descobrir quais são e assim nem sequer precisará calcular suas potências. Sabemos que os segunites números não possuem uma ordem módulo 12: {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}, pois eles não são relativamente primos com 12. Então basta calcularmos a ordem dos números restantes: Ordem de 1 módulo 12 1 Ordem de 5 módulo 12 2 Ordem de 7 módulo 12 2 Ordem de 11 módulo 12 2 Exercício 41. Seja p um primo positivo e a um inteiro que não é divisível por p. Digamos que k é a ordem de a módulo p. a) Explique por que k p 1 Como p é primo, temos pelo Teorema de Fermat que a p 1 1 (mod p). Como k é o menor inteiro não nulo tal que a k 1 (mod p), temos que k p 1. b) Seja r o resto da divisão de p 1 por k. Mostre que, como a p 1 a k 1 (mod p), então: Seja (p 1) q.k + r, então temos a r 1 (mod p) a (p 1) a (q.k)+r a (q.k).a r Portanto a (q.k).a r 1 (mod p), como a (q.k) 1 (mod p) então temos que a r 1 (mod p) c) Lembrando que 0 r k 1, mostre que r 0 10

11 Temos que r deve ser igual a zero, pois se r 0 teremos um inteiro não nulo menor que k tal que a r 1 (mod p), ou seja, r será a ordem de a módulo n, mas isso contradiz o fato de k ser a ordem de a. d) Conclua que a ordem de a é um divisor de p 1 Pelo item anterior temos que r 0, portanto (p 1) qk, ou seja, k é um divisor de (p 1). Exercício 42. Encontre o valor da função φ para os seguintes números: 21, 35 e 55. ˆ φ(21) φ(3.7) φ(3)φ(7) (3 1)(7 1) 2.6, portando temos φ(21) 12 ˆ φ(35) φ(5.7) φ(5)φ(7) (5 1)(7 1) 4.6, portanto temos φ(35) 24 ˆ φ(55) φ(5.11) φ(5)φ(11) (5 1)(11 1) 4.10, portanto temos que φ(55) 40 Exercício 43. Calcule o resto das seguintes divisões utilizando o Teorema de Fermat a) por (mod 43) b) por (mod 1033) c) por (mod 41047) d) 3 19! por 307 Temos que , portanto: 3 19! ! (3 306 ) 19.16! Então temos 3 19! (3 306 ) 19.16! (1) 19.16! (mod 307), com isso temos 3 19! 1 (mod 307). Exercício 44. Calcule o resto das seguintes divisões utilizando o Teorema de Euler a) por (mod 15841) b) por (mod 41041) c) 2 77 por (mod 2465) 11