Matemática E Extensivo V. 6

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1 Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = P() = b) P() = ³ + 7. ² 7. P() = + P() = c) P() = ³ + 7. ² 7. P() = P() = ) a = P() = ² a + 7 e P() = P() =. ² a. + 7 = 6 a + 7 = a = a = a = ) V V V F (V) Para m = P() = (()² 9)³ + (() + )² + (() + 7) P() = ³ + ² + P() = grau (V) Para m = P() = (² 9)³ + ( + )² + ( + 7) P() = ³ + 6² + P() = 6² + grau (V) P() nunca terá grau zero, pelo fato de possuir um termo independente de valor () (F) Como queremos somar os coeficientes, logo: m² 9 + m + + m + 7 m² + m Vamos supor que a soma dos coeficientes dê 6, logo: m² + m = 6 m² + m + 5 = Aplicando a fórmula de Bháskara: Δ = ².. 5 Δ = Δ = 6 Observe que Δ = 6, sendo assim a equação não possui raízes reais. Logo a soma dos coeficientes nunca poderá ser 6. ) e P() = ( ) Soma dos coeficientes: P() = (. ) P() = P() = Termo independente: P() = (. ) P() = () P() = 5) p + q = + = 6) C P() = p³ q² + P() = p. ³ q. ² +. = 7p 9q + 6 = 7p 9q = 9 (i) Como é raiz, tem-se que P() = : P() = p. ³ q. ² +. = p q + = p q = (ii) Montando um sistema com (i) e (ii), temos: 7p 9q= 9 p q = p q= p q= Usando o método da soma: 7p 9q= 9 p q=.( ) p q= p+ q= p = p = Substituindo p = em qualquer uma das equações obtemos q =. P() = (a )³ + ( b) + (c ) Q() = ³ + ( + b) a = a = b = + b b = c = c =

2 7) a = e b = 8 P() = (a + b )² + (a b) + a b Se P() é identicamente nulo, logo todos os seus coeficientes são iguais a zero. Temos: a + b = a + b = (i) a b = (ii) Montando um sistema com (i) e (ii) e solucionando pelo método da adição, temos: a+ b= a b= a = a = a + b = + b = b = 8 8) A P() = + a Como é raiz do polinômio, tem-se que P() = P() = + a = a = Temos assim que P() = + ou P() = +. Utilizando a segunda informação, P() = : P() = + P() = + = P() = + P() = + = Logo, P() = + 9) a + b + c = = 66 P() = a² + (b + c) a ² + c + b + P() = (a )² + (b + c + c) + (a + b + ) P() = (a )² + (b + c) + (a + b + ) Como P() é idêntico a Q(), temos: a = a = ) D ) C a + b + = 9. + b + = b + =9 b = 5 b = 8 b + c = c = 58 c = c = 5 (² + ). ( ) ( + ). (² 5 + ) = = ³ + ² ² + 8 (³ 5² + + ² 5 + ) = = ³ ² (³ ² + ) = = ³ ² ³ + ² + = = ³ + ² + 5 Logo, a =, b =, c = e d = 5 Temos que b + d = + 5 = 6 P() P() = ³ a³ + b² + c + (a³ + b² c + ) = ³ a³ + b² + c + + a³ b² + c = ³ a³ + c = ³ a = a = e c = c = Temos: P() = a + b c + = b = a + c b = + b = P() = + + = P() = = ) V V F - V (V) Pelo conceito de divisibilidade. (V) P() = (. 6). Q() + P() =. Q() 7 P() = 7 (F) ³ + b² + c + d = ( 6) (m² + n ) + ³ + b² + c + d = m³ + n² 6 6m² 6n ³ + b² + c + d = m³ + (n 6m)² + ( 5 6n) +8 Logo, D = 8 (V) m = m =

3 ) A P() = (a² b + c + ) 5 P() = (a. ² b. + c + ) 5 = (a b + c + ) 5 = 5 a b + c + = a b + c + = (i) P() = (a. ² b. + c + ) 5 = (c + ) 5 = 5 c + = c + = c = (ii) P() = (a. ()² b. () + c + ) 5 = (a + b + c + ) 5 = 5 a + b + c + = a + b + c + = (iii) ) E Substituindo (ii) em (i) e (iii): a b + c + = a b + = a b = (iv) a + b + c + = a + b + = a + b = (v) Montando um sistema linear com (iv) e (v): a b= a+ b= a = a = a b = b = b = P() = ³ + a ² + a + a P() = ³ + a. ² + a. + a = a = a = P(i) = (i)³ + a. (i)² + a. (i) + = i a a i = a + ( a )i = Do assunto de números compleo, se a + bi = a = e b =. Logo a = e a = 5) D P() = ³ + ² + + P() = ³ + P() = ³ + = + = f() = ( + b)³, desenvolvendo ( + b)³: f() = ³ + b² + b² + b³ Como f() = ³ 6² + m + n, temos que: b = 6 b = b² = m. ()² = m m = b³ = n ()³ = n n = 8 Temos m = e n = 8 6) a = b = a b ( ) + ( + ) = ( ) soma de fração a ( + ) + b ( ) = ( ).( + ) ( ) a + a+ bb = ( ) ( ) (a + b) + (a b) = a+ b= a b= a = a = a + b = + b = b = 7) A = C = e B = ( ).( + ) = A B C ( ) + + ( + ) soma de fração ( ).( + ) = A.( + ) + ( B + C ).( ) ( ).( + ) A + A+ B B+ C C = ( ).( + ) ( ).( + ) = ( ) A+ B + ( C B ) + ( A C ) ( ).( + ) ( ).( + ) = (A + B)² + (C B) + (A C) A + B = A = B (i) C B = C = + B (ii) A C = A = C (iii)

4 De (i) e (iii) temos que C = B. Substituindo em (ii): C = + B B = + B = B B = 8) C A = B A = A = A = C C = ( + ) = a b ( ) + ( ) ( ).( ) = a ( ) + b ( ) ( ).( ) = a( ) + b( ) = a a + b b = (a + b) + (a b) a+ b= a b= a = a = a + b = + b = b = Logo, a. b = (). = 9) A + B + C = + + = + + = A B C soma de fração + + = A ( + )( ) + B ( )( ) + C ( )( + ).( + ).( ) + + = A ( + ) + B ( ) + C ( + ) + + A + A A+ B B+ C + C = = ( ) A+ B+ C + ( A B+ C ) + ( A ) + (i) A + B + C = (ii) A B + C = (iii) A = Temos que A =. Substituindo em (i) e (ii) e montando um sistema, temos que B = e C =. ) 95 Para calcular a soma dos coeficientes, basta fazer P(). Fazendo P() resta somente o somatório : k k = = k k= Esse somatório é a soma da linha do triângulo de Pascal (matéria de binômio de Newton). Só falta o termo. Vamos acrescentar e retirá-lo: Logo, = 96 = 95 ) 75 Para somar os coeficientes basta ter P() k P() = ( k ). = ( k ) k= k= Se resolvermos os primeiros termos do somatório teremos: k= k= k= 99 Observando melhor, essa soma é a soma de todos os termos de uma progressão aritmética de a =, a = 96, r =. S = ( a a ). n + n = ( + 96 ). = = 75 ) E q ( ) + r ( )

5 ) D ) A 5) D 6) B 7) C 8) B quociente gr( p) = M gr( p. q) = = gr( p) gr( q) = N Como gr(p. q) = gr(p) + gr(q) = + N = N = Observe que o grau do polinômio P() é gr(p) = 7, pois P() = ( 8 + ). ( 9 + ) = 7 + Como o grau do divisor D() é gr(d) =, temos que o grau do quociente Q() é: gr(q) = gr(p) gr(d) = 7 = 5 O grau do polinômio P() é: gr(p) = = Sabemos que P() = D(). Q() + R(): P() = (² + + 7). (² + ) + ( 8) P() = + ² + ³ + + 7² P() = + ³ + 8² + 5 Logo, o coeficiente de 8² é 8. Os polinômios A() e B() têm o mesmo grau. 9) B ) B ) A ) D P() = (² + ). (² + ) + ( + ) P() = 6 + ² 9³ + ² + + P() = 6 9³ + 5² q r Sabendo que gr(f) =, gr(g) = e gr(h) =, temos então: gr(f. g) = + = 7 Observe que g = ² = ( + ). ( ). Logo, f é divisivel por + e. 5

6 ) A + k ( k) + ( k ) k = k = k = ) a b = (7) = + 7 = ³ a² + b + (² + 5 ). (c + d) + ³ a² + b + c³ + d² + 5c² + 5d c d ³ a² + b + c³ + (d + 5c)² + (5d c) d 5) D 6) D c = c = d = d = d + 5c = a + 5 = a a = 5d c = b 5 = b b = 7 ³ + a² + b + 7 (² + + ). (c + d) + ³ + a² + b + 7 c³ + d² + c² + d + c + d ³ + a² + b + 7 c³ + (d + c)² + (d + c) + d c = d = 7 d + c = a 7 + = a a = 8 d + c = b 7 + = b b = 8 a + b = = 6 + ³ + p² + q + r (³ + ² )(a + b) + + ³ + p² + q + r a + b³ + a³ + b² + 9a² + 9b + a + b + ³ + p² + q + r a + (a + b)³ + (9a + b)² + (a + 9b) + b a = a + b =. + b = b = 9a + b = p = p p = 7) k = (k)³ + (k + )² + (k) + 6 (² + ). (a + b) + k³ + (k + )² + k + 6 a³ + b² + a + b b = 6 b = b = k + = k + k = 6

7 8) E Logo, r() = 8 +, calculando r() temos: r() = 8. + = 6 + =. 9) a + b + c + d = = + + a + + b a + ( a ) + + b a + 8+ b a a a ( 8 a ) + b a Como a divisão é eata, temos: 8 a = 8 = a a = e b a = b. = b = 6 + c + d c + ( c+ ) + ( d) ( c+ ) + ( c + ) ( c+ ) ( c+ d) c5 Como o é igual a 5, temos: c 5 = 5 c = e c + d = + d = d = ) R() = 7 Pela divisibilidade, P() = Q(). D() + R(), temos: ( ). (² + ) = Q(). (² 7 + ) + R() ( ). (² + ) = Q(). ( ). ( ) + R() ( ) 9. (² + ) = Q(). ( ) + R() 7

8 Como buscamos o valor de R(), temos: ( ) 9. (² + ) = Q(). ( ) + R() 9. 7 = Q(). + R() 7 = R() ) a) Q() = 7² e R() = 9 b) Q() = ³ ² e R() = c) Q() = + ³ e R() = 7 d) Q() = ² + + e R() = 59 e) Q() = ² + e R() = 5 a) 7 7 b) c) ) D Q'() = + ³ dividindo por temos: Q() = + ³ d) 6 59 Q'() = ² + + multiplicando por temos: Q() = ² + + e) 6 5 Q'() = + ² + multiplicando por temos: Q() = ² + ( ).( a + b + c + d ) P ( ) D ( ) Q ( ) a + (b a)³ + (c b)² + (d c) d Logo, a = b = c = d =. Temos que Q() = ³ + ² + + Q() = ()³ +()² + () + = ) A ) E 5) E 6) A Dividindo ² + por +, pelo método de Briot-Ruffini: Q () = Dividindo ² + por : Q () = + Logo, Q () + Q () = + + = 7 y a a a 8 Conseguimos descobrir o valor de y do método, pois y. () + 8 = y =. Assim, completando o método: a a a 8 +a +a Temos:. ( + a) a = 8 + 8a a = 8 + 6a = 6a = a = Temos assim os coeficientes do divisor:,,,,8. Logo, D() = ³ ² m +m Como o deve ser zero, temos que + m = m =. a 8+a Como P() é divisível por D(), logo o é zero. Temos assim que 8 + a = a = 8. ou Logo, Q() = ³ +² + + Q() = 8

9 7) B 5 p 7 +p 6 p Como P() é divisível por +, o é zero. Temos Assim que 6 p = 6 = p p = 8) 9) A 5) D m a a a 6 Sabemos que m =, pois m. 6 = m = 6 m = Completando o método, e substituindo m por, temos: a +a a a +a Assim:. ( + a) a = 8 + 6a a = 8 + 5a = a = 6 Com esses resultados sabemos que: P() = ³ ² + 6 Q() = ³ + ² + +. Verdadeiro. P() é um polinômio de grau.. Verdadeiro. P() é divisível por, pois m =.. Verdadeiro. P() = ³ ² + 6 = 6 8. Verdadeiro. P() = ³ ² + 6 = 6 6. Verdadeiro. Q() = ³ + ² + + k k k 7 k 6 k Como P() é divisível por, o é zero. Temos assim que 6 k = k = 6. Se k = 6, então Q() = ² + ( k) + (7 k) Q() = ² 5 + Divisão de ³ + p + q por + : p q +p p+q Como o é, temos p + q = p + q = 5 (i). 5) E Divisão de ³ + p + q por : p q +p +p+q Como o é 8, temos que: + p + q = 8 p + q = 7 (ii). De (i) e (ii), temos que p = e q = 6. Sabendo que P() D(). Q() + R(). P() (² ). (6² ) + (7) 6 ³ ² Dividindo P() por + : Logo, o é igual a 5. i 5) Q() = +. Observe que a raiz de 6i é: 6i = = 6i = i 5) C i i 6 i+ Observação: i. i = i², mas i² =. Logo, i² =. Temos que: Q'() = ² + i 6 Q() = + i Temos que Q() = e R() =. 9 Logo Q() = n +, mas =. Então, Q() = n= 9 n n=. 9

10 5) R() = Pelo teorema do, = = P() = ³ +. ² + 5. = = 55) R() = 5 Pelo teorema do, + = = P() = () 6 () + ()² = = 5 56) Verdadeira. 57) A 58) A Pelo teorema do : i) = = ii) + = = De i: P() =. ³ + 5. ² 6 = = De ii: P = P = = Como P() =, logo P() é divisível por. Como P =, logo P() é divisível por +. Pelo teorema do, = = P() = a. ³. + = 7a 6 + = 7a 5 = 7a = 9 a = Pelo teorema do, = = P() = P() é divisível P() = k. ³ + 5. ² k = k k = + k = k = 59) E 6) B 6) A 6) C Pelo teorema do + = = P() = (² ). Q() + ( ) P() = (()² () ). Q() + (. () ) P () = ( + ). Q () + ( ) P () =. Q () + () P () = P () = P() (² + ). (² + ) + ( + ) P() 6 9³ + 5² + Pelo teorema do. = = P() = ³ + 5. ². + P() = = f() (² ). ( + ) + ( + k) f() ³ ² + + k Pelo teorema do, = = Como f() é divisível por, então f() = : f() = f() = ³. ² + + k = + + k = + k = k = Pelo teorema do, + = = P = P =. 6) D a. 9 + a + = 9 + a + = a = + = P() = Q(). D() + R() P() = (()³. () ). D() + (5. () + 8) P() = ( + ). D() P() =. D() P() = P() =

11 6) a = 7 5i p() = a e D() = ( + i) Pelo teorema do, i = = + i p( + i) =. ( + i) +. ( + i)² + ( + i) + a =. () +. (i) + + i + a = 8 + i + + i + a = 7 + 5i + a = a = 7 5i 65) p() = 5 Observe que se dividir p() por isso resultará em 5. Pelo teorema de, = =. 66) 67) C 68) C. Verdadeiro. P() = 5³ + ² 5 P() = 5. ³ +. ² 5. P() = 8. Verdadeiro. P() = 5³ + ² 5 Pelo teorema do, + = = P() = () 5. () ³ +. () ² 5. () P () = P () = Como p() é divisível por +, e + 5, então p() é divisível por ( + ). ( ). ( + 5), que possui grau. Logo o grau de p() é maior ou igual a. P() = (³ + ² + 5). k() + (² + + 7) Pelo teorema do, k() =. P() = (³ +. ² + 5). k() + (² + + 7) P() = ( + + 5). + ( + +7) P() = P() = 7 69) p = 7 e q = Pelo teorema do, = = P() = P() =. ³ + p. ² +. + q = 6 + p + + q = p + q = 8 (i) P() = P() =. ³ + p. ² +. + q = + p + + q = p + q = 7 (ii) De (i) e (ii), temos p = 7 e q =. 7)B p'() = p'() =. ³ + b. + c = + b + c = b + c = (i) p'() = p'() =. ()³ + b. () + c = b + c = b + c = (ii) De (i) e (ii), temos b = c = Vamos descobrir o valor de d: Pelo teorema do, = = p() = p() = ³. ². + d = + d = d = Temos assim que p() = ³ ² +. 7) F - V - V - V - F 7) D P() = Q(). ( ) + P = Q. + P = + P = (² ). P() = Q (). ( ) + k. P = Q. + k. P = + k 5 9. = K 5 9 = k 7) a + b = + = 5 P() = ( + ). Q() + a + b = P() = ( + ). Q() + a() + b =. Q () a + b = a + b = (i) P() = ( ). Q() + a + b = 6 P() = ( ). Q() + a. + b = 6. Q() + a + b = 6 a + b = 6 (ii) De i e ii temos a = e b =.

12 7) R() = + 75) C P() = ( ). Q() + a + b = 5 P() = ( ). Q() + a. + b = 5. Q() + a + b = 5 a + b = 5 (i) P() = ( + ). Q() + a + b = P() = ( + ). Q() + a() + b =. Q() a + b = a + b = (ii) De i e ii temos que a = e b =. Sabendo que: P() = (² + ). (² ) + ( a + b ) R ( ) P() = ² + ³ + a + b P() = + ³ ² + ( + a) + b 76) E Pelo teorema do, temos = =. P() = P() = + ³. ² + ( + a). + b = + + ( + a) + b = + a + b = a + b = (i) Se R() = a + b, então R() = a + b = (ii). De i e ii, temos que a =. Logo, o termo de grau é + a = + =. Pelo teorema do, sabemos: P() = P() = 5 + a. + b. ² + c. + = + a + b + c + = a + b + c = (i) P() = P() = () 5 + a. () + b. ()² + c. () + = + a + b c + = a + b c = (ii) P() = P() = 5 + a. + b. ² + c. + = + 6a + b + c + = 6a + b + c = (iii) De i, ii e iii, temos a =, b = 9 e c =. Logo, a. b c. 9 = = 9. 77) V - V - V - V (V) Seja a + b um polinômio qualquer de grau. Efetuando a divisão por D(), temos: a + b a + a a a+ b Note que o é igual à soma dos coeficientes. (V) Seja gr(p) =, então: a + b a a + b= b Seja gr(p) =, então: a + b + c a a + b + b b + c= c Seja gr(p) =, então: a + b + c + d a a + b + c + b b + c c + d= d Então podemos afirmar que o vai ser igual ao termo independente.

13 (V) Da a afirmação temos que o da divisão de P() por um binômio D() = é igual à soma dos coeficientes. Então R() é igual a ( 5n+ ), porém os coeficientes desse polinômio são os termos de uma P.A. de razão igual a n= 5. S = ( + ). = (V) Pelo teorema do : + = = Substituindo em P(), temos: 9 9 n P() =.( ) desenvolvendo n n= P( ) = 9 () () + + n ()n + 9 n ()n = n 9 9 n Note que os elementos desse somatório são os mesmos do triângulo de Pascal. E sabemos que os coeficientes binomiais equidistantes pertencentes à mesma linha possuem valores numéricos iguais, ou seja: 9 9 n = = 9 + n 9 =. Então P() =. Logo P() é divisível por D(). 78) P() = ³ ² Escrevendo os coeficientes em potência de, temos: P() = ³. ² ( + ) + ( ) Pelo teorema do, = = +. P( + ) = ( + )³. ( + )² ( + ). ( + ) + ( ) = ( + )². [ + ] 8. + = =