Lista de exercícios: Polinômios e Equações Algébricas Problemas Gerais Prof ºFernandinho. Questões:

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1 Lista de eercícios: Polinômios e Equações Algébricas Problemas Gerais Prof ºFernandinho Questões: 0.(GV) Num polinômio P() do terceiro grau, o coeficiente de P() = 0, calcule o valor de P( ). é. Sabendo-se que P() = 0, P() = 0 e 0.(GV) Se p e q são tais que o polinômio P() = (pq - ). + (p + q - 5). + (p + q - ). + p - 5q + é identicamente nulo, calcule o valor de p + q. 0.(Mauá) Determinar os valores de a, b e c na identidade: + + a.( + ) + (b + c).. 04.(Fuvest) Um polinômio P() = Determine o valor de P(). + a + b + c satisfaz as seguintes condições: P() = 0 e P() P( ). 05.(GV) Dividindo o polinômio P() por + -obtém-se quociente igual a 5 e resto igual a + 5. Calcule o valor de P(). 06.(Ita) Quais são os valores de a, b e c que tornam o polinômio P() = divisível pelo polinômio Q() = a + b + c (GV) Sendo P() = α + β + γ, e G() = + - +, determine os valores de α, β e γ que tornam P() divisível por G() (Ita) Sejam a, b, c e d constantes reais. Sabendo que a divisão de A() = + a + b por B() = é eata, e que a divisão de C() = + c + d - por D() = - + tem resto igual a 5, determine o valor de a + b + c + d. 09.(GV) Dividindo o binômio P() = 0 + pelo binômio D() = -, obtemos como resto o binômio R() = a + b. Determine os coeficientes a e b do binômio R(). 0.(Ita) A divisão de um polinômio P() por ( ).( ) tem resto +. Se os restos das divisões de P() por e são, respectivamente, os números a e b, calcule o valor a + b..(mack) Um polinômio P(), de grau maior que, deia resto, quando dividido por, e deia resto, quando dividido por. Qual é o resto da divisão de P() por ?.(Mauá) Determinar p e q de modo que P() = p + (p + ) + p + q seja divisível por e por..(mack) O polinômio P() = + a + b + c é divisível por e por +. Quando o dividimos por, obtemos resto igual a. Nessas condições, calcule o valor de a, b e c (Ita) Dividindo-se o polinômio P() = + a + b + c + por, obtém-se resto igual a. Ao dividir a.b P() por +, obtém-se resto igual a. Sabendo que P() é divisível por, calcule o valor de. c 5.(Fuvest) O polinômio P() = + a + b, em que a e b são números reais, tem restos e 4 quando dividido por e, respectivamente. Nessas condições determine o valor de a e b.

2 6.(Mack) Um polinômio P() dividido por - - tem resto. Qual é o resto da divisão do polinômio P() por +. 7.(Unesp) Considere o polinômio P() = + b + c + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de P() é, por definição, o polinômio Q() = + b + c. Se Q() = 0, Q(- ) = 4, e o resto da divisão de P() por é, calcule os valores de b, c e d. 4 8.(Ita) Se é uma raiz de multiplicidade da equação + + a + b = 0, com a e b reais, determine o valor de a - b. 9.(Ita) Um polinômio P(), dividido por + dá resto, por dá resto e por + dá resto. Qual será o resto da divisão do polinômio por ( + ).( ).( + )? 0.(Fuvest) Quais são os valores da incógnita m para os quais = seja uma das raízes da equação + (+ 5m - m ) + (m + ) = 0?.(Ita) Um polinômio P(), dividido por, dá resto. O quociente desta divisão é então dividido por, obtendo-se resto. Qual é o resto da divisão de P() por ( ).( )?.(Ibmec) Considere o polinômio P() = Determine as três raízes da equação P() = 0..(Ibmec) Resolva a equação = 0, em R. 4.(Ita) Determine o conjunto solução da equação = (Unicamp) Ache todas as raízes compleas da equação + + = 0. 6.(GV) A equação polinomial = 0 tem uma raiz igual a. Quais são as outras duas raízes? 7.(Unesp) A equação polinomial + 4 = 0 admite como raiz. Quais são as outras duas raízes? 4 8.(GV) O polinômio P() = tem = como uma de suas raízes. Encontre todas as raízes da equação P() = 0 no conjunto dos números compleos. 4 9.(GV) Sabendo que é raiz dupla do polinômio P() = , determine as outras raízes. 4 0.(GV) O polinômio P() = tem o número como raiz dupla. Qual é o valor das outras duas raízes de P(). 4.(Puc) Sabe-se que a equação = 0 admite raízes inteiras. Se m é a maior das raízes não inteiras dessa equação, calcule o valor de m..(unesp) A altura h de um balão em relação ao solo foi observada durante certo tempo e modelada pela função h(t) = t - 0t + 4t + 4, com h(t) em metros e t em minutos. No instante t = minutos, o balão estava a 50 metros de altura. Determine em que outros instantes t a altura foi também de 50 metros..(unesp) Uma raiz da equação - (a -) - a(a + ) + a (a -) = 0 é = (a ). Quais são as outras duas raízes dessa equação?

3 4.(Unesp) Duas raízes r e r de um polinômio P() de grau, cujo coeficiente do termo de maior grau é, são tais que r + r = e r.r =. a ) Dê as raízes r e r de P(). b ) Sabendo-se que r = 0 é a terceira raiz de P(), dê o polinômio P(). 5.(Fuvest) A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4m + n) - 5n + (m - ) = 0 valem, 5 respectivamente, e. Calcule o valor de m + n. 8 6.(Mack) Se a, b e c são as raízes da equação = 0, determine o valor de + +. a b c 7.(GV) a ) Sejam r, r e r as raízes da equação = 0. Calcule o valor de: E = b ) Resolva a equação = 0, sabendo que a soma de duas raízes vale 4. + r.r.r +. r r.r 8.(Fuvest) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica + k + 4 = 0 é igual a. Calcule o valor de k. 9.(Fuvest) As três raízes de 9 0 = 0 são p, q e. Qual é o valor de p + q? 40.(GV) O polinômio P() = tem três raízes inteiras. Se a primeira delas é o dobro da terceira e a soma da primeira com a segunda é, calcule o produto da primeira e a segunda. 4.(Mack) Se P() = m, com m real, admite duas raízes opostas, calcule o valor de m. 4.(Mack) Se a equação + m + n - 8 = 0, com m e n números reais não nulos, tem uma raiz real de multiplicidade, calcule o valor de m n. 4.(Ibmec) Uma das raízes do polinômio P() = é igual à soma das outras duas raízes. Determine as três raízes da equação P() = (Mack) Se a, b e c são raízes do polinômio P() = , tais que a = bc, calcule o valor da a a epressão E = +. b c 45.(Fuvest) O produto de duas das raízes do polinômio P() = - m é igual a. Determinar : a ) o valor de m b ) as raízes de P(). 46.(Ita) Se a, b e c são raízes da equação r + 0 = 0, onde r é real, determine o valor de a + + b c. 47.(Mack) Se as três raízes reais, não necessariamente distintas, do polinômio P() = - a + a -, com a real, formam uma progressão geométrica, calcule o valor de a - a. 48.(Unesp) Dado que as raízes da equação + k = 0, onde k é uma constante real, formam uma progressão aritmética, qual é o valor de k?

4 49.(Unicamp) Considere o polinômio P() = + k +, em que é variável real e k um parâmetro fio, também real. a ) Para qual valor do parâmetro k o resto do quociente de P() por é igual a? b ) Supondo, agora, k = 4, e sabendo que a e b são raízes de P(), calcule o valor de sen π π + a b. 50.(GV) Considere a equação m + 0 = 0 de incógnita e sendo m um coeficiente real. Sabendo que as raízes da equação formam uma progressão aritmética, qual é o valor de m? 5.(Unicamp) As três raízes da equação q = 0, onde q é um parâmetro real, formam uma progressão aritmética. a ) Determine q. b ) Utilizando o valor de q determinado no item anterior, encontre as raízes (reais e compleas) da equação. 5.(Fuvest) As raízes da equação do terceiro grau -4 + k - 64 = 0 são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine : a ) o valor de k b ) as raízes da equação. 5.(Fuvest) Sejam a e b as raízes da equação = 0. Qual é o número inteiro mais próimo do número 5ab +.(a + b)? 54.(Ita) Quais são os valores de m de modo que a equação 6 m + 0 = 0 tenha duas de suas raízes somando? 55.(GV) Qual é a soma das raízes da equação + 5 = + + 7? 56.(Fuvest) As raízes do polinômio P() = aritmética. Determine : a ) o valor de m b ) as raízes desse polinômio. - + m, onde m é um número real, estão em progressão 57.(GV) A equação polinomial = 0, apresenta uma raiz igual a + i. Obtenha as outras raízes. 58.(Mack) O polinômio P() = da epressão E = a b + c. + a + b + c, com a, b e c reais, admite as raízes e i. Determine o valor 59.(Unesp) Seja a função polinomial P() = + + k + θ, sendo k e θ constantes reais. Sabendo que + i é raiz da função polinomial, calcule os valores de k e θ. 60.(Unicamp) Dada a equação polinomial com coeficientes reais a = 0. a ) Encontre o valor numérico de a de modo que o número compleo + i seja uma das raízes da referida equação. b ) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação. 6.(Fuvest) A equação + m + + n = 0, onde m e n são números reais, admite o número compleo + i como raiz. Nessas condições, calcule o valor de m e n.

5 4 6.(Fuvest) Resolva a equação = 0, sabendo que o número compleo Z = + i é uma das suas raízes. 4 6.(Unicamp) Uma das raízes do polinômio = 0 é o número compleo i. Qual é o resultado da soma dos quadrados de todas as raízes desse polinômio? 4 64.(Fuvest) O polinômio P() = admite + i como raiz. Qual é o número de raízes reais deste polinômio P()? 65.(Ita) Seja P um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite i como raiz de multiplicidade. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de P são, respectivamente, 0 e 40. Sendo afirmado que três raízes de P são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, calcule essas três raízes. 66.(Fuvest) a ) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número compleo Z = - + i. + i i b ) Determine o polinômio de grau, com coeficientes reais, que tenha Z como raiz e que possua coeficiente dominante igual a (Ita) Sobre a equação polinomial - + b + c -= 0, sabemos que os coeficientes b e c são reais, i duas de suas raízes são inteiras e distintas e - também é sua raiz. Determine os valores de b e c (Fuvest) O polinômio P() = + a + b + c 8, em que a, b, c são números reais, tem o número compleo + i como raiz, bem como duas raízes simétricas. a ) Determine a, b, c e as raízes de P() = 0. b ) Subtraia de cada uma das raízes de P() e determine o polinômio com coeficientes reais, de menor grau, que tenha coeficiente dominante igual a e possua esses novos valores como raízes. 69.(MP) A equação = 0 admite uma raiz r, tal que 0 < r < 0. Encontre todas as raízes (reais ou compleas) dessa equação. 70.(MP) Resolver a equação = 0 em R, sabendo que a equação admite uma raiz fracionária negativa. 7.(MP) Resolver a equação = 0 sabendo que a equação admite uma raiz fracionária positiva. 4 7.(MP) Resolver a equação = 0 sabendo que a equação admite uma raiz inteira maior que 5 e uma raiz fracionária positiva.

6 Gabarito: 0. P(-) = p + q = 9 0. a =, b = 0, c = 04. P() = P() = a =, b = -, c = 07. α = -, β =, γ = a + b + c + d = 09. a = e b = 0. a + b =. R() = 7 4 a.b. p = e q =. a =, b = -, c = - 4. = 9 c 5. a = - 6 e b = 9 6. R() = - 7. b = -, c = -, d = 8. a b = 8 9. R() = + 0.m = ou m =. R() = +. { i, - i} {.i, -.i} 6. {, } 7. { i,- i} t = 09 minutos e. m =. t = 8 minutos 6. a + + = 7. b c 4 5,., 6, ,, + i, - i a ) E = 4 b ) {-,, }. { a, a} ,, {-, - } 0. {-, 4} a ) r = e r = b ) P() = 8. k = p + 5. m + n = q = 40. r.r = { } { } a ) m = 57. { - i, - } 58. E = k = - 6 e θ = a ) a = 5 b ) { - i,} 4. m = 4 4. m n = ,, E = a ) m = 7 b ),-,+ 46. a + b + c = a - a = k = a ) k = 49. b ) - 0,5 50. m = a ) q = 0 a ) k = b ), + i,- i b ), 4, m = ou m = Soma = b ) {,-,+ } 6. m = - e n = 0 6. { i,- i,, } a ) Re(Z) = 0,5 e Im(Z) = 66. b ) P() = , + i,- i { } b = - e c = Soma = {-,, 5} a ) a = -, b b ) P() = - =, c = 8 e {, -, + i,- i} ( -)(. + )(. ) , +, , - +, ,, i, - i