ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A Tema II Funções e Gráficos. Funções polinomiais. Função módulo.

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A Ponto três do plano de trabalho nº 5 Tarefa nº 4. Considere a família de funções polinomiais: f(x) = a(x + )(x )(x + 5), a \ {0}.. Represente graficamente as funções da família que se obtêm fazendo: a = ; a = ; a = ; a = ; a =.. Caracterize as funções da família relativamente a: Domínio; Contradomínio; Zeros; Sinal e Monotonia. Dê um exemplo de uma função que tenha zeros em x =, x = 4 e x =. Quantas soluções existem? C 4. A curva C é a representação gráfica da função real de variável real - -4 f definida por um polinómio do º grau. Tendo em atenção os valores registados na figura, escreva uma expressão de f(x). 4. A curva G é a representação gráfica da função real de variável real g definida por um polinómio do º grau. Tendo em atenção que cada quadrícula vale um, escreva uma expressão de g(x). 5. A curva H é a representação gráfica da função real de variável real g definida por um polinómio do º grau. Tendo em atenção que cada quadrícula vale um, escreva uma expressão de h(x). 6. Quantos zeros pode ter uma função cúbica? Dê um exemplo de cada uma das situações. 7. Considere a função definida por: f( x) = x x + x 7.. Mostre que f( x) ( x )( x ) = Calcule o quociente e o resto da divisão inteira de f(x) por : 7... x x x + x + Professora Rosa Canelas Ano lectivo 006/007

2 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A Ponto três do plano de trabalho nº 5 Tarefa nº 4 proposta de resolução. Considere a família de funções polinomiais: f(x) = a(x + )(x )(x + 5), a \ {0}.. A representação gráfica das funções da família que se obtêm fazendo: a= ; a= ; a = ; a= ; a = é:.. Caracterizemos as funções da família relativamente a: Domínio; Contradomínio; Zeros; Sinal e Monotonia Domínio = IR f(x) = a(x + )(x )(x + 5), a > 0 f(x) = a(x + )(x )(x + 5), a < 0 Contradomínio = IR Domínio = IR Contradomínio = IR Zeros: -, e -5 Zeros: -, e -5 Negativa em ], 5[ ],[ Positiva em ] 5, [ ], + [ Crescente em ] ;,(6) ] e em [, + [ Decrescente em [,(6);] Negativa em ] 5, [ ], + [ Positiva em ], 5[ ],[ Crescente em [,(6);] Decrescente em ] ;,(6) ] e em [, + [. Um exemplo de uma função que tenha zeros em x =, x = 4 e x = é y = ( x )( x+ 4)( x+ ). Existem infinitas soluções pois todas as funções da família y = a( x )( x+ 4)( x+ ) com a 0satisfazem as condições dadas.. A curva C é a representação gráfica da função real de variável real f definida por um polinómio do º grau. Tendo em atenção os valores registados na figura, a expressão de f(x) é do tipo f( x) = a( x+ 4)( x+ )( x ) e C -4-4 como a curva passa no ponto de coordenadas (0,4) podemos calcular o valor de a. Professora Rosa Canelas Ano lectivo 006/007

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A 4 = a 4 ( ) 8a= 4 a= A função é então definida por: f( x) = ( x+ 4)( x+ )( x ) 4. A curva G é a representação gráfica da função real de variável real g definida por um polinómio do º grau. Tendo em atenção que cada quadrícula vale um, uma expressão de g(x) será do tipo g( x) = a( x+ )( x ). Como a curva passa no ponto (0,) será: = a( 0+ )( 0 ) a= a=. Uma expressão que define g(x) é: g( x) = ( x+ )( x ). 5. A curva H é a representação gráfica da função real de variável real g definida por um polinómio do º grau. Tendo em atenção que cada quadrícula vale um, a expressão de h(x) será do tipo y ( ax bx c)( x ) = + +. Como a curva passa no ponto (0,-), no ponto (,-4) e no ponto (,- 5) será: = a 0 + b 0 + c 0 c = c = 4 = a + b + c = a + b + b = a 5 a 4 b c 5 = 4a + b + 4 = 4a + a = + + c = c = b = a b= 0 6 6a = a = a expressão que define h(x) é y = ( x + )( x ) 6. Uma função cúbica pode ter um zero, por exemplo y ( x )( x ) y = ( x+ )( x ) ou três zeros, por exemplo y ( x 4)( x )( x ) = +, dois zeros, por exemplo = Considere a função definida por: f( x) = x x + x Professora Rosa Canelas Ano lectivo 006/007

4 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A f x = x x + f x = x + x x f x = x x + x. 7.. De facto ( ) ( ) ( ) 7.. Calcule o quociente e o resto da divisão inteira de f(x) por : Para dividirmos polinómios vamos primeiro relembrar o algoritmo da divisão de números. Suponhamos que queremos dividir por O quociente é 6 e o resto é. Explicitando um pouco mais o algoritmo x +. Vamos adaptar o algoritmo aos polinómios: O quociente é x e o resto é zero, o que não é surpresa pois já sabíamos que o polinómio se podia escrever na forma f( x) ( x )( x ) = +. Dizemos que o polinómio x -x +x - x + - x -x x - 0 x -x 0x - x 0 x x + x é divisível por x + por a divisão inteira ter dado resto zero x O quociente é x + e o resto é zero, o que não é surpresa pois já sabíamos que o polinómio se podia escrever na forma f( x) ( x )( x ) = +. x -x +x - x - -x +x x + 0x +0x +x - -x + 0x +0 Dizemos que o polinómio resto zero. x x + x é divisível por x por a divisão inteira ter dado 7... x + x +. O quociente é e o resto é x x + x não é divisível por 4x + x 4, pelo que x + x +. x -x +x - x +x + - x - x - 0 x -4x +x -4 Professora Rosa Canelas 4 Ano lectivo 006/007

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 0º ANO DE MATEMÁTICA A A divisão de 7... pode fazer-se por um outro processo a regra de Ruffini onde apenas utilizamos os coeficientes porque a regra só nos permite a divisão por polinómios do primeiro grau e assim já ficamos a saber qual o grau do divisor e qual o grau do resto. Na primeira linha começamos por colocar os coeficientes de todos os termos (mesmo os nulos) por ordem decrescente do seu grau e a partir da segunda quadrícula. Na segunda linha, na primeira quadrícula, colocamos o zero do polinómio divisor (neste caso ). Na terceira linha vai aparecer o quociente: o primeiro coeficiente é igual ao primeiro coeficiente do polinómio dado. Em seguida multiplica-se esse valor por e coloca-se na ª linha por baixo do segundo coeficiente e na terceira linha por baixo deles colocamos a sua soma. O resultado vai novamente ser multiplicado por e em seguida somado com o coeficiente seguinte. Este processo repete-se até acabarem os coeficientes do polinómio. O quociente é x +0x+ ou simplificando x + e o resto é zero. Comparemos este algoritmo com o da divisão inteira R=0 (/)x -x +x - x - -x +x x + 0x +0x +x - -x + 0x +0 Concluímos assim que a Regra de Ruffini não é mais do que uma simplificação do algoritmo da divisão em casos especiais. Professora Rosa Canelas 5 Ano lectivo 006/007