ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Complexos Tarefa nº 1 do plano de trabalho nº Duas funções f e g do tipo y = sen( ax ),a, encontram-se representadas graficamente na figura seguinte. Determine "a" para cada uma das funções.. Considere a função f, de domínio IR, representada graficamente pelo seguinte gráfico: O valor do período positivo mínimo pode ser: (A) π (B) π (C) π (D) não existe. A curva seguinte é uma representação gráfica da função real de variável real definida por: (A) ( ) (B) f ( x) (C) f ( x) x f x = sen π 6 x + π = sen 6 x+ π = sen 6 (D) f ( x) = sen 6( x + π) Professora: Rosa Canelas

2 . Considere a representação gráfica de quatro funções em [ π, π ].1. O gráfico que representa a função definida por ( ) y = cos x é: (A) a (B) b (C) c (D) d.. A representação gráfica a (amarelo) corresponde à função (A) f1 ( x) = senx (B) f ( x) = cos( x) (C) ( ) π x f x = sen (D) f ( x) = sen( x). O gráfico seguinte pode ser uma representação f, real de variável real, definida por: (A) f( x) = cos( x) (B) f( x) (C) f( x) (D) f( x) = senx = sen x = cos x 6. Considere a expressão ( ) bx f x = acos ; a e b. Para certos valores de a e de b, obtém- se uma função de domínio, em que parte da sua representação gráfica está na figura junta. Neste caso pode concluir-se que: (A) a = e b = 7, (B) a = e b = 7, (C) a = e b = 7, (D) a = e b = 7, 7. Os gráficos seguintes foram obtidos por translação do gráfico da função seno. Escreva uma expressão analítica que defina cada uma das funções representadas. Professora: Rosa Canelas

3 8. Na figura está parte da representação gráfica da função h periódica, sendo π o período positivo mínimo. Determine a, b e c sabendo que π 7π h = h Considere as funções reais de variável real f e g, definidas por: f( x) = + sen( x) e g( x) = + sen( x π ) e que se encontram representadas graficamente na figura A cada função faça corresponder o respectivo gráfico e indique o contradomínio de cada uma delas. 9.. Determine os valores de k para os quais g( x) = k é possível e f( x) = k é impossível. Fundamente o seu raciocínio. 9.. Determine o período positivo mínimo de cada uma das funções. 9.. Sabendo que f( α ) = g( α ) = m, pode garantir que 9.. Justifique que ( π) ( π) k :f k = g k =. π π f α + = g α+ = m? Justifique. Professora: Rosa Canelas

4 10. Ao movimento de um ponto P' está associada uma equação do tipo x = Acos( wt+θ ) (elongação em movimento harmónico simples) sendo: A amplitude, expressa em metros; w velocidade angular, expressa em radianos por segundos; θ 0 fase, situação no início da contagem do tempo, expressa em radianos. Ao lado está parte da representação gráfica correspondente ao movimento do ponto P' Determine a amplitude, a velocidade angular e a fase do movimento 10.. Define-se frequência como o número de oscilações por segundo, sendo dada pelo inverso do período. Determine a frequência neste período A curva ao lado é a representação gráfica de uma função do tipo f( t) = a cos( ω t+ γ ) Indique o período de f Determine valores das constantes a, ω e γ Resolva graficamente a inequação f( t) Respostas: a) 7. b) π a = ; a = A C B. C A B y = sen x y = 0,7+ senx 7. c) π y = sen x+ + 1 π a = π b = 11π c = 10 B é o gráfico de f A é o gráfico de g D' f [ 1, ] D' = [ 1,] = e k [ 1,1[ ],] π periodo de f = periodo de g= π Não. Porque π A = 1 1 a = 8 freq = p = π 0 ω = 100π é período só de f. ω= 1 k k π + t +,k γ= π θ 0 = Professora: Rosa Canelas

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Complexos Tarefa nº 1 do plano de trabalho nº Duas funções f e g do tipo y = sen( ax ),a, encontram-se representadas graficamente na figura seguinte. O gráfico de f é semelhante ao gráfico de y = senx e o de g é semelhante ao de y = sen( x) apenas têm como período pelo que para a função f o valor de a é e para a π função g o valor de a é. Considere a função f, de domínio IR, representada graficamente pelo seguinte gráfico: O valor do período positivo mínimo só pode ser: π porque o gráfico repete-se de π em π. A resposta certa é (A).. (C) A curva seguinte é uma representação gráfica da função real de variável real x+ π definida por: f ( x) = sen 6 Por o período ser 7π+ π= 1π e o coeficiente b de x estar relacionado com o π período através da fórmula: p = b Professora: Rosa Canelas

6 concluímos que b 1 1 b 6 6 = =. Porque o contradomínio é [, ] o valor a que multiplica o seno será a= a=. Analisando as respostas verificamos que terá de ser a= e 1 c = 6 pelo que a resposta (D) fica excluída. x Este gráfico resultou do gráfico de y = sen 6 por uma translação horizontal associada a um vector de coordenadas ( π,0) pelo que obteríamos uma função definida por: 1 x+ π y = sen ( x+ π) y = sen 6 6. A resposta certa é (C).. Considere a representação gráfica de quatro funções em [ π, π ].1. O gráfico que representa a função definida por ( ) y = cos x é o gráfico de uma função com período π e tal que f( 0) = 1, logo só pode ser b. A resposta é (B).. A representação gráfica a (amarelo) corresponde x à função y = cos o que equivale a ter π x π y = sen = sen x. A resposta certa é então (C).. O gráfico seguinte pode ser uma representação f, real de variável real, definida por: (A) f( x) = cos( x) Porque f( 0) = 1 a resposta só poderia ser (A) ou (D) mas como esta função é sempre não negativa só poder (A). Professora: Rosa Canelas

7 bx f x = acos ; a e b. Para certos valores de a e de b, obtémse uma função de domínio, em que parte da sua representação gráfica está na figura junta. 6. Considere a expressão ( ) Porque f( 0) = terá de ser a= o período é π p = pelo que π π b π = = b π 1 b = b = 7, a resposta certa é (B) 7. Os gráficos seguintes foram obtidos por translação do gráfico da função seno. Escreva uma expressão analítica que defina cada uma das funções representadas. Estes gráficos resultam do de y = senx através de uma translação a. Neste caso horizontal associada ao vector de π coordenadas,0 a expressão analítica que a define π é y = sen x b. Neste caso vertical associada ao vector de coordenadas ( 0, 0,7 ) a expressão que a define é y = 0,7 + senx c. Neste caso o vector tem π π coordenadas,b pelo que a expressão será da forma π y = a+ sen x+ e como a curva passa no ponto de coordenadas ( 0,1 ) será π π 1= a+ sen a 1 sen a 1 = π = então a expressão que define a função é π y = 1 + sen x+ Professora: Rosa Canelas

8 8. Na figura está parte da representação gráfica da função h periódica, sendo π o período positivo mínimo e π 7π h = h 10 teremos que π 7π h = h = ha = hb = hc 10 ( ) ( ) ( ) que o período é π podemos concluir que: 7π π b = π= π 11π c = +π= π π a = b π= π= π π 11π Assim a =, b = e c = 10 e atendendo a 9. Consideremos as funções reais de variável real f e g representadas graficamente na figura e definidas por: f( x) = + sen( x) e g( x) = + sen( x π ) 9.1. A função f corresponde ao gráfico B e a função g ao de A, porque f tem período π e contradomínio [ 1, ] e g tem período π e contradomínio [ 1, ] 9.. Determinemos os valores de k para os quais g( x) = k é possível e f( x) = k é impossível. Os valores de k pedidos têm de pertencer ao contradomínio de g e não pertencer ao contradomínio de f então k [ 1,1[ ],]. 9.. f tem período π e g tem período π porque o período de uma função trigonométrica é π a dividir pelo coeficiente da variável. 9.. Sabendo que f( α ) = g( α ) = m, não podemos garantir que π π f α + = g α+ = m porque π π é período de f mas não é período de g pelo que f m α + = mas não Professora: Rosa Canelas

9 podemos garantir que π g α+ = m k :f k = g k =. calculemos 9.. Justifiquemos que ( π) ( π) f( kπ) = + sen( kπ ) = + 0= e ( ) ( ) (( ) ) g kπ = + sen kπ π = + sen k 1 π = + 0= 10. Ao movimento de um ponto P' está associada uma equação do tipo x = Acos( wt+θ ) (elongação em movimento harmónico simples) sendo: A amplitude, expressa em metros; w velocidade angular, expressa em radianos por segundos; θ 0 fase, situação no início da contagem do tempo, expressa em radianos. Ao lado está parte da representação gráfica correspondente ao movimento do ponto P' A amplitude é A =, a velocidade angular é π π π w = w = w = e a fase do 16 movimento é θ 0 tal que 1 π, = cos ( θ0) cos ( θ 0) = θ 0 = 10.. Define-se frequência como o número de oscilações por segundo, sendo dada pelo inverso do período. Então a frequência vai ser igual a A curva ao lado é a representação gráfica de uma função do tipo f( t) = a cos( ω t+ γ ) O período de f é p = = Determinemos os valores das constantes a, ω e γ. = porque o contradomínio é [ 8,8] a 8 π ω= ω= 100π pela relação entre ω e o 1 0 período. Para encontrarmos γ vamos utilizar o ponto de coordenadas 1,8 00 para determinar Professora: Rosa Canelas

10 a curva da família f ( t) 8 cos( 100 t ) = π + γ. Não utilizamos o ponto de coordenadas ( 0,0 ) porque por esse ponto podem passar dois gráficos diferentes (um virado para baixo e outro virado para cima na primeira concavidade). 1 π π π 8 = 8 cos 100π + γ cos 1 k,k k,k 00 + γ = + γ = π γ = + π Então π γ= π 11.. Resolvamos graficamente a inequação f () t 8cos 100πt Vamos resolver analiticamente a equação que nos permite encontrar os pontos de intersecção da curva com a recta por a calculadora não nos dar valores diferentes nos dois pontos dado o grau de aproximação e a grandeza absoluta das abcissas. π π 1 π π π π 8cos 100πt cos 100 t 100 t k 100 t k,k = π = π = + π π = + π π π π π π π 100π t = + + kπ 100π t = + + k π,k 100π t = + kπ 100π t = + k π,k k 1 k t = + t = +,k Para k = 0 fica 1 1 t = t = Da análise do gráfico concluímos a solução da inequação: π 1 k 1 k f () t 8cos 100πt t, + + k Professora: Rosa Canelas