FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.. Sabe-se que, é uma solução da equação sen x. (0).. Indique, justificando, qual das expressões seguintes representa uma solução da equação cos x. (A) (B) (C) (D) Como é uma solução da equação sen x, sabemos que sen. Agora só temos de verificar qual das expressões dadas é equivalente a sen. (A) cos cos Falsa (B) cos sen sen (C) cos sen Falsa cos cos cos (D) Verdadeira Falsa (0).. Escreva a expressão geral das soluções da equação sen x, em radianos. Efetue os arredondamentos para casas decimais. Para descobrir um ângulo com seno recorremos à função inversa do seno (calculadora). x sen 0, 6 (c.d.) é o maior ângulo negativo que é solução da equação (ver figura ao lado). Portanto, a expressão de todas as soluções da equação sen x é: x 0, 6 k x 0, 6 k, k x 0, 6 k x, 98 k, k Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

2 (0).. Indique, justificando, a afirmação verdadeira para todo o número real. (A) sen cos (B) sen cos (C) cos sen (D) sen sen Simplifiquemos cada uma das expressões (até obter a verdadeira): Nota: (A) e (C) nunca seriam verdadeiras porque o sinal entre as parcelas não está ao quadrado. sen cos sen cos sen cos Falsa (A) sen cos sen sen sen sen sen Falsa (B) (C) cos sen cos sen cos sen Falsa sen sen sen cos sen cos Verdadeira (D). Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [ABC]. O ponto A desloca-se sobre a circunferência, apenas no terceiro quadrante. O ponto B é o simétrico do ponto A em relação ao eixo Oy. O ponto C pertence ao círculo trigonométrico e ao semieixo positivo Oy. ().. Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo DOA, mostre que a área do triângulo [ABC] é A cos sen. dada, em função de, por A A área do triângulo é dada por ABh Como Acos,sen e B cos,sen Sendo 0, sendo h a altura em relação à base [AB]., temos AB x x cos cos cos. E,sen o pé da altura (em AB) temos h EC y y sen. Portanto, cos sen A cos sen c.q.m. ().. Sabendo que sen, determine a área do triângulo. A cos sen, para calcular a área do triângulo temos de conhecer cos e sen. Como Efetuando a redução de sen, obtemos sen, ou seja, sen Para descobrir o cosseno recorremos à fórmula fundamental da trigonometria Como cos sen, vem, cos cos cos cos Como.º Q, temos cos Assim, A cos sen B 9 C A 9 unidades de área. E 9 Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

3 ().. Existem dois valores de para os quais o triângulo [ABC] ocupa exatamente um terço da área do círculo. Recorra à calculadora para determinar os valores de (em radianos, com aproximação às centésimas) para os quais isso acontece. Na sua resposta deve apresentar todos os elementos usados, nomeadamente: - equacionar o problema; - reproduzir, num referencial adequado, o gráfico da função ou os gráficos visualizados, devidamente identificados; - coordenadas dos pontos cuja determinação for necessária à resolução do problema. Pretendemos descobrir os valores de para os quais A Área círculo Sabemos que A círculo cos sen. Portanto, temos de resolver a equação Recorrendo à calculadora, introduzidos as funções Ax cos x sen x reproduzidas no referencial do lado. As soluções pretendidas são as abcissas dos pontos onde os dois gráficos se intersetam, no domínio do problema, isto é, entre e, pois é um ângulo do.º quadrante. Nota: No contexto do problema só tem interesse o domínio,, no qual a área varia entre 0 e, 0. Portanto, uma janela adequada ao problema é, por exemplo, ;, e y (reta horizontal), 0. Os gráficos reproduzidos ao lado mostram que as duas funções se intersetam nos pontos, 9;, 0 e, 0;, 0. Portanto, os valores pedidos para são,9 e,0 radianos. Outro processo: Transformar a equação cos sen em para obter as soluções da equação que estão no.º quadrante. cos sen 0 e recorrer à calculadora ().. Mostre que CACB sen sen. Há vários processos para resolver este exercício. Apresento a seguir aquele que julgo ser o mais simples. Como temos as coordenadas dos três pontos, podemos recorrer à expressão analítica do produto escalar. CA A C cos,sen 0, cos,sen Temos CB B C cos,sen 0, cos,sen Portanto CACB cos,sen cos,sen cos sen cos sen sen sen sen sen pois cos sen sen cos sen sen c.q.m. ou substituir o por cos sen Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

4 (0). Sendo u e v dois vetores não nulos, diga, justificando adequadamente, se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. (A) u u v u u v v v u v u v pois x x x u u u v vu v v aplicando a propriedade distributiva u u v v Portanto a afirmação é VERDADEIRA (B) Se uv 0 então os vetores u e v formam um ângulo agudo. Se uv 0 u v cos u,v então 0 Ora, como u 0 e v 0, só podemos ter cos u,v 0. Sabemos que o cosseno é positivo se 0º u,v 90º. Portanto, o ângulo também pode ser nulo. Logo, a afirmação é FALSA.. No referencial ortogonal e monométrico da figura seguinte estão representadas duas retas C 0, : que se cruzam no ponto - a reta AC tem a direção do vetor r, - a reta BC tem inclinação de 0º. ; ().. Justifique que a reta BC tem equação y x e determine as coordenadas do ponto B. Sendo y mx b a equação reduzida de BC, sabemos que b e m tan 0º. Portanto, a equação reduzida de BC é y x. Para descobrir as coordenadas do ponto B comecemos por observar que a sua ordenada é zero. Assim, 0 x x x x x Portanto, B 0,. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

5 (0).. Averigue se as retas BC e AC são perpendiculares. Recordemos que duas retas são perpendiculares se os seus vetores diretores são perpendiculares ou se o produto dos seus declives é -..º processo: Usando os vetores diretores Temos: r, é um vetor diretor de AC. mbc, portanto o seu vetor diretor é s,m, r s,, 0, logo as retas não são perpendiculares..º processo: Usando os declives Já sabemos que mbc Como r,, a reta AC tem declive m Temos: mbc mac Assim, as retas não são perpendiculares. AC (0).. Escreva a expressão geral dos vetores perpendiculares a r e determine as coordenadas de todos os vetores perpendiculares a r que têm norma 0. Sendo u a,b um vetor perpendicular a r,, sabemos que ur 0 Portanto, ur 0 a,b, 0 ab 0 a b a b Assim, qualquer vetor perpendicular a r é da forma u b,b Como pretendemos os vetores com norma 0, vem: Para 8, sendo b um número real qualquer. u 0 b b 0 9 b b 0 b 00 b 600 b b 8 b, temos u 6, 8 perpendiculares a r e de norma 0. e para 8 b, temos u 6, 8, sendo estes os únicos vetores. Na figura seguinte está representado um octaedro regular [ABCDEF] de aresta a. ().. Mostre que AD DF a. Há vários processos para resolver este exercício. Apresento a seguir dois que julgo serem dos mais simples. Sabemos que AD DF AD DF cos AD, DF Temos AD DF a aresta do octaedro Como as faces do octaedro são triângulos equiláteros, sabemos que DA, DF 60º. Assim, cos AD, DF cos 80º cos cos 60º Portanto, AD DF a a a Outro processo: 60 AD DF DA DF DA DF AD DF cos DA, DF a a cos º a a Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

6 ().. Sendo C 0,, e 0 D,,, escreva as equações cartesianas da reta CD. xx y y zz As equações cartesianas da reta são da forma é um vetor diretor da reta., em x, y,z é um ponto da reta e v,v,v v v v Determinemos um vetor diretor: CD D C, 0, 0,,,, 0 x0 y z Usando o ponto C 0,,, temos as equações: 0 Ora, como a terceira fração não tem significado, as equações cartesianas são x y x y ou z ou x y z z ().. Determine a amplitude do ângulo, com aproximação às décimas do grau, formado pelas x z retas CD e r, sendo r a reta de equação: y O ângulo CD,r formado pelas duas retas descobre-se pela relação cos. Temos: CD,, 0, feito atrás. x z r,, é o vetor diretor da reta r, pois y Assim, CD r,,,, Assim, cos CD r cos 8 0, Portanto, as retas formam um ângulo de 0,º(c.d.) 9 de amplitude. CDr CD r x y z BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 6/6 Versão