FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4
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- Ronaldo Ferretti Soares
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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 0.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.. No referencial ortonormado da figura seguinte, ABCD é um quadrado inscrito na circunferência de centro O 00,. O vértice D tem coordenadas,. (5).. Justifique que a mediatriz de BD contém os pontos A e C e mostre que a equação reduzida dessa mediatriz é y x. A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos do segmento BD. Ora, como [ABCD] é um quadrado sabemos que AB AD CD CB = lado do quadrado. Portanto, os pontos A e C pertencem à mediatriz de BD. Como D,, então B,, pois é o simétrico de D em relação à origem do referencial, uma vez que o centro do quadrado coincide com a origem. Portanto, a equação da mediatriz é x y x y x 8x 6 y 6y 9 x 8x 6 y 6y y 6y 8x 8x y 6x x y x y 6x y y x Esta é a equação reduzida da mediatriz de BD, quer dizer, da reta AC. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão
2 (8).. Escreva a equação da circunferência e mostre que os pontos A e C têm coordenadas, e,, respetivamente. Equação da circunferência: 0 0 Raio: x y OD x y 5 OD ou calcular OD A segunda parte pode ser resolvida pelo menos por dois processos:.º processo: Resolver o sistema com as equações das duas curvas. Resolvamos o sistema x y y x 5 Determinemos as soluções da.ª equação: 9x 6x 9 5 5x 9 5 Para x temos Para x x 5 y x x 9 x 9 6 x x 9 5 x y, obtendo-se o ponto A, x temos y, obtendo-se o ponto C,.º processo: Verificar que estes pontos pertencem às duas curvas (ver Versão ). (5).. Determine a equação reduzida da reta AD e indique uma condição que represente a região sombreada. A região sombreada está acima da reta AD e dentro da circunferência. Comecemos por descobrir a equação reduzida de AD: y mx b. m AD 7 7 v 7 e mab 7 v ou AD D A, 7 Como A, é um ponto da reta temos 7 b b Portanto, a equação reduzida de AD é y 7x 5 Assim, a região sombreada é definida por b 5 y x x y (5).. Determine as coordenadas de todos os vetores colineares com OD e que têm norma 5. Qualquer vetor colinear com OD D O, Temos é da forma v kod, com k. OD e v 5 Como v kod, então v kod v k OD Nota: Temos de usar k porque a norma é sempre positiva. Portanto, v k OD 5 k 5 k k k Assim, se k temos o vetor v,, 9 k temos o vetor simétrico v, 9 se Portanto, só estes dois vetores são colineares com OD, Outro processo: Ver Versão. e têm norma 5. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão
3 . No referencial ortonormado Oxyz da figura do lado estão representados: - uma esfera de centro C e diâmetro [OA], sendo 060,, as coordenadas do ponto A; - um plano que interseta a esfera e é paralelo ao plano coordenado xoz; - um ponto B de coordenadas 0, 5, 5, comum ao plano e à superfície da esfera. (0).. Diga, justificando, qual das condições seguintes define a esfera. (A) x y z 9 (B) x y z 9 (C) x y z 9 (D) x y z 6 d Trata-se da esfera de centro 0,, 0 e raio r. Portanto, a condição que define a esfera é (A) x y z 0 0 (8).. Sabendo que [BD] é um diâmetro da esfera, determine as coordenadas do ponto D. Como [BD] é um diâmetro da esfera e B está na superfície da esfera, então D C BC. Temos BC C B 0,, 0 0, 5, 5 0,, 5 Assim, D 0,, 0 0,, 5 0,, 5 Outros processos: C é o ponto médio de [BD]. Ou D B BC (5).. Justifique que o plano tem equação y 5 e calcule a área da interseção da esfera com esse plano. Como é paralelo a xoz tem uma equação do tipo y qualquer do plano). b (sendo b a ordenada de um ponto Sabemos que B 0, 5, 5 é um ponto do plano, então o plano tem equação y 5. A interseção do plano com a esfera é o círculo sombreado na figura. Trata-se do círculo de centro 050,, e raio r z b 5. Outro processo: ver Versão Assim, a área desse círculo é 5 5 unidades quadradas. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão
4 (0).. Admita agora que o plano, partindo do ponto O, se desloca até ao ponto A. Seja g a função que a cada valor da ordenada b do plano faz corresponder a área a da secção produzida na esfera pelo plano. Diga, justificando, qual dos seguintes pode ser o gráfico da função g? A ordenada de P varia entre 0 e 6. Assim, Dg 0, 6. Portanto, não pode ser o gráfico C. A área da secção obtida é máxima para b, quando o plano passa pelo centro da esfera, diminuindo novamente até zero à medida que b se aproxima de 6. Assim, só o gráfico D representa a área da seção produzida pelo plano.. No referencial ortonormado Oxyz da figura seguinte está representado um octaedro regular [ABCDEF] cujo centro coincide com a origem do referencial. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão
5 (8).. Usando as letras (pontos) da figura, indique, justificando, dois vetores simétricos. Como temos um octaedro regular, todas as arestas têm o mesmo comprimento. Assim, como [ABCD] é um quadrado os lados opostos são paralelos. Portanto, os vetores AB e CD (por exemplo) são simétricos. (5).. Efetue as operações seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras. Apresente os raciocínios efetuados. (A) AEC... = A AF F (B) DE FD... = DE DF DE EB DB (C) D FO EB... = D FE EB = D FB = D DE = E (5).. Sabendo que o ponto A tem coordenadas 00,,, mostre que x,y,z,, k,,, k é uma equação vetorial da reta AB e averigue se o ponto Uma equação vetorial de AB é da forma P A k AB, k., 6, 0 pertence a AB. Temos A 00,, e B 0,, 0, portanto AB B A 0,, 0, 0, 0,, 0 Portanto, uma equação de AB é O ponto x,y,z,, k,,, k pertence à reta AB se e só se ' k :, 6, 0, 0, 0 k,, 0, 6, 0 Assim,, 6, 0 k, k, 0 Logo, como não existe um k único, k 6 k 0 0 k 6 k 0 0 k k 0 0, 6, 0 não é ponto da reta AB. ().. Unindo os pontos médios das arestas que se encontram no vértice F obtém-se o quadrilátero [PQRS], conforme ilustra a figura da direita. Diga, justificando, se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa: 8 Volume PQRSF Volume ABCDF As pirâmides [ABCDF] e [PQRSF] são semelhantes de razão r, pois os pontos médios das arestas dividem cada face triangular de forma que AB PQ. Assim, Volume PQRSF Volume ABCDF 8 ou Portanto, Volume ABCDF 8 Volume PQRSF Outro processo: Ver Versão Volume ABCDF Volume PQRSF 8, portanto a afirmação é verdadeira. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/7 Versão
6 . No referencial da figura abaixo estão representadas várias parábolas identificadas por f, f, f e f, sendo a função f definida por f x x. Todas as parábolas têm a mesma abertura, isto é, a. ().. Escreva a expressão algébrica que define cada uma das funções na forma y ax h k. Nota: recordar que a expressão f x ax h k representa a família de parábolas que têm a mesma forma (ou abertura), que é dada por a, e vértice no ponto V h,k. f tem vértice V, e o mesmo sentido da concavidade de f, isto é a. Assim: Portanto, tem expressão f x x f tem vértice V, 0 e concavidade contrária à de f, isto é a. Portanto, tem expressão f x x f tem vértice V, e o mesmo sentido da concavidade de f, isto é a. Portanto, tem expressão f x x Outro processo: obtêm-se de f através de uma translação associada ao vetor v h,k. (0).. Para a função f, indique: o domínio, o contradomínio, os extremos e os intervalos de monotonia. Domínio: Df Contradomínio: D f, Tem apenas um mínimo (absoluto): y É decrescente em, e crescente em, Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/7 Versão
7 (0).. Indique, caso existam, os zeros de f e construa o quadro de sinais da função. A função f tem dois zeros: x e x 5 Tabela de sinais x f x ().. Seja g uma função cujo gráfico tem a mesma abertura do gráfico de f, definida por: g x x 6x Transforme a expressão de g numa expressão do tipo g x ax h k e indique a equação do eixo de simetria e as coordenadas do vértice da parábola de g. g x x 6x Portanto, x x colocando a em evidência x x somando e subtraindo o quadrado de metade de x x x reconstruindo o quadrado x distribuindo a simplificando a expressão x é a equação do eixo de simetria do gráfico de g cujo vértice é V, BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/7 Versão
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