FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 2

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 5º Teste 0º Ano de escolaridade Versão Nome: Nº Turma: Professor: José Tinoco 04/05/07 É permitido o uso de calculadora gráfica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples Nota: Evite alterar a ordem das questões BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página /8 Versão

2 Considere as funções reais de variável real, f e g, definidas por: f x x e g x x (5) Determine, analiticamente, o domínio de cada uma das funções Em f, como a variável está no denominador, temos Df x : x 0 \ Em g, como a variável está no radicando, temos Dg x : x 0 A inequação o polinómio Zeros: x 0 resolve-se por uma tabela de sinais, depois de calcular os zeros e fatorizar x x 0 x x Assim, x x x Portanto, Nota: também se podia usar a fórmula da diferença de quadrados x x 0 + x x x 0 x,, Logo, Dg,, (0) Estude a função g quanto à injetividade g é injetiva sse a,b Dg, g a g b a b Usando a definição g a g b a b a a ba b 0 b a b a b 0 a b 0 a b 0 a b a b Como objetos simétricos também têm a mesma imagem ( a b), a função é não injetiva Outro processo: Usando um contraexemplo (só serve porque a função é não injetiva) g é injetiva sse a,b Dg, a b g a g b g 0 Temos g 0 e Logo, como e g g a função é não injetiva (0) 3 Seja h a restrição da função g ao conjunto A,, 3, Determine o gráfico de h, G h O gráfico de h é o conjunto dos pares ordenados h g 0 Temos, h, isto é, h g A x,g x, em que xa,, 3, g Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página /8 Versão h g h g 4 3 Assim, G h, 0,,, 3,,, 3

3 (5) 4 Mostre que a função f é bijetiva e caracterize a sua função inversa f é bijetiva y CC, ' x \ : y f x y f x y x xy y y xy y x x y y x tem uma única solução y Assim, para todo o y 0, a equação Portanto, f é bijetiva Ou, mostrar que f é injetiva e sobrejetiva De acordo com os cálculos anteriores, temos Temos também, f x x 0 e D' f Df \ Df \ (0) 5 Indique, justificando, qual é o valor de f g (A) 3 (B) 3 (C) (D) 3 Temos f g f g e Assim, f g g g B No referencial cartesiano da figura seguinte encontra-se uma representação gráfica da função real de variável real, f (0) Indique o domínio e o contradomínio de f Temos, Df 33, D' f, (0) Indique os intervalos de monotonia de f f é crescente em 3, f é decrescente em f é constante em 0, 0, e 3, Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 3/8 Versão

4 (5) 3 Indique todos os extremos de f, absolutos de relativos, e respetivos minimizantes e maximizantes Mínimo absoluto: não tem Máximo absoluto: y e minimizante x Mínimos relativos: y para x 0, ; y 0 para x 3 Máximos relativos: y 0 para x ; y para x 0, ; y para x (0) 4 Diga, justificando, quantos zeros tem a função g definida por g x f x (A) Nenhum (C) Dois (B) Uma infinidade (D) Três Como o gráfico da função g se obtém do gráfico de f através de uma reflexão de eixo Ox, mantendo os zeros (- e -3) de f ; De seguida, o gráfico de Portanto, g tem uma infinidade de zeros 3 f x desce uma unidade, passando a ter zeros em, Opção B Outro processo: gx 0 f x 0 f x x 3 x, 3 No referencial cartesiano da figura do lado está representada um função f, de domínio, e contradomínio 66, (0) 3 Indique, justificando, o valor lógico da proposição: Se a função f é par então não é ímpar A função não é par, pois o gráfico de f não é simétrico em relação ao eixo Oy Portanto, o antecedente é Falso A função é ímpar, pois o gráfico de f é simétrico em relação à origem do referencial O consequente também é Falso Assim, a proposição dada é VERDADEIRA, pois F F V 0 0 (0) 3 Sendo a, b um ponto do gráfico de f, diga, justificando, qual dos pontos seguintes pertence necessariamente ao gráfico da função g definida por g x f x (A) a, b (B) a, b a (C), b (D) a, b O ponto a, b sofre, sucessivamente, as seguintes transformações: º uma reflexão de eixo Oy, através de y f x º uma dilatação vertical de fator, através de 3º uma translação vertical de vetor 0 Portanto, a opção B está correta, passando a a, b ; y f x, passando a a, b ; y f x, passando a a, b v,, através de Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 4/8 Versão

5 (0) 33 Determine, apresentando todos os raciocínios efetuados, o domínio e o contradomínio da x h x f função h definida por Sabemos que Dh Df Como Df, x, pois depende das transformações que afetam os objetos x x temos x Dh Df 4 x 4 Portanto, Dh 44, O contradomínio de h depende das transformações que afetam as imagens de f x Assim, como D' f D' f x, 66, temos: 6 f x 6 6 f x 6 6 f x 6 hx Logo, D' h 48, 4 8 (0) 34 Os gráficos seguintes foram obtidos a partir de transformações do gráfico de f Diga, justificando, qual dos gráficos representa a função i definida por ix f x O gráfico de f sofre, sucessivamente, as seguintes transformações: º uma translação horizontal, para a esquerda, de vetor v 0,, através de y f x ; º uma contração vertical de fator ½, através de y f x Portanto, só a opção D está correta ; Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 5/8 Versão

6 4 Na figura abaixo está representada uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV] Fixado um referencial ortonormado, sabe-se que: A base da pirâmide está contida no plano de equação y 4; O ponto D pertence ao eixo das ordenadas; A aresta [AD] está contida no plano xoy; O vértice V da pirâmide tem coordenadas,, (0) 4 Justifique que o ponto B tem coordenadas 4, 4, 4 Como a base [ABCD] está no plano de equação y 4, todos os seus pontos têm ordenada -4 Assim, o ponto D, que está no eixo das ordenadas, tem coordenadas 0, 4, 0 Também sabemos que a projeção ortogonal do vértice V sobre a base da pirâmide é o ponto E de coordenadas, 4, Assim, DE E D, 4, 0, 4, 0, 0, B E DE,,,,,, ou B D DE Portanto, o ponto B tem coordenadas e 4, 4, 4 (0) 4 Escreva a condição que define a esfera de diâmetro [BV] A esfera tem centro no ponto médio de [BV] e raio Temos, M,, 3,, 3 BV r (ou r MV ) r MV MV Assim, a esfera é definida por x y z 3 3 x 3 y z 3, isto é, Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 6/8 Versão

7 (5) 43 Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta BV com o plano yoz O plano yoz tem equação x 0 Assim, as coordenadas do ponto procurado são da forma 0,b,c Determinemos uma equação vetorial da reta BV: Sendo BV V B,, 4, 4, 4, 6,, uma equação vetorial de BV é 6 x,y,z,, k,,, k Assim, substituindo vem 0,b,c,, k, 6, 0,b,c k, 6k, k 0 k b 6k c k k k b 6 c k b 8 c 0 Portanto, a reta BV interseta yoz no ponto de coordenadas 0,, 8 0 (0) 44 Diga, justificando, qual das condições seguintes define o segmento de reta AB (A) x 4 y 4 (B) 0z 4 (C) x 4 y 4 (D) x 4 y 4 0 z 4 Temos B 4, 4, 4 e A 4, 4, 0 Assim, como AB é paralelo a Oz, as abcissas e ordenadas são constantes e as cotas variam entre 0 e 4 Portanto, x 4 y 4 0 z 4 opção D (0) 5 Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha 5A Seja g: uma função afim estritamente decrescente Mostre que g Sabemos que a função g é da forma Temos de provar que a função também é uma função afim estritamente decrescente g g x ax b, com a 0, pois é decrescente também tem declive negativo Determinemos a expressão algébrica da inversa de g Assim, Logo, y ax b y b ax y b x a b x y a a b g x x é uma função afim e tem declive negativo, pois se a 0 então 0 a a a g é uma função afim estritamente decrescente Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 7/8 Versão

8 5B Seja f : uma função ímpar e seja g: uma função par Mostre que g f é uma função par Sabemos que: f é ímpar, isto é, x, f x f x g é par, isto é, x, g x g x Queremos mostrar que g f é par, ou seja, x D, g f x g f x Assim, g f x = g f x = g f x = g f, por definição da composta de g com f, porque f é ímpar g f x, porque g é par = g f x cqm Nota: g f = x : x f x = x : x conduniversal D x : x Df f x Dg = Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 8/8 Versão