FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproimação, pretende-se sempre o valor eato. 1. No referencial ortonormado da figura seguinte, estão assinalados os pontos A 0, e 0 a reta AB e o triângulo AOB. B,, (15) 1.1. Determine a equação reduzida da reta AB e escreva uma condição que represente a área da região sombreada, incluindo a fronteira. Equação reduzida de AB: y m b 0 v m AB ou AB B A 0,, 0, e mab 0 v Como B 0, é um ponto da reta sabemos que b. Portanto, a equação reduzida de AB é y A região sombreada está acima da reta AB, abaio do eio O e à esquerda do eio Oy. Assim, a região sombreada é definida pela condição y y 0 0 (10) 1.. Escreva a equação reduzida da reta r paralela a AB e que passa pelo ponto P, 1. Se r AB então mr mab. AB, Já foi calculado atrás. Assim, a equação reduzida de r é da forma y b. P, 1 r 1 b 1 b 1 b 1 Portanto, a equação de r é y 1 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 1/6 Versão

2 (10) 1.. Determine os valores de c de modo que o vetor u c, seja colinear com AB. Qualquer vetor colinear com AB é da forma u k AB, para algum k. AB,. Portanto, u k AB c, k, c, k, k Já sabemos que c k k c k Assim, para qualquer valor 9 c k 9 c os vetores u c, e AB, u v Outro processo: Os vetores u e v são colineares se e só se u1 v1 Portanto, u e AB são colineares se 9 c c c. No referencial ortonormado Oyz, da figura seguinte, está representado um cubo com centímetros de aresta, de modo que três arestas estão contidas nos eios do referencial. Os pontos P e Q são vértices do cubo contidos no plano Oz e R é o ponto médio da aresta que está é Oy. não são colineares. (10).1. Construa a secção produzida no cubo pelo plano PQR. Comecemos por traçar a reta RQ, pois os pontos R e Q estão na mesma face do cubo. Como P está na face oposta à que contém [RQ], traçamos uma paralela a QR pelo ponto P que interseta a aresta do cubo no ponto S. Finalmente, só temos de traçar [SR], pois a secção contém a aresta [PQ]. Obtemos assim o retângulo [PQRS], desenhada a sombreado. (10).. Calcule a área da secção obtida na questão anterior. Sendo [PQRS] um retângulo, temos Área PQRS QR QP. Como o cubo tem centímetros de aresta, sabemos que QP. Sendo R o ponto médio da aresta, temos R 0,, 0 e 0 0 assim Q,,, QR ou T. Pitágoras Área PQRS 5 cm Portanto, 5 9 (10).. Admita que o ponto R, partindo da origem do referencial, se desloca ao longo do semieio positivo O. Seja g a função que a cada valor da ordenada de R faz corresponder a área a da secção produzida no cubo pelo plano PQR. Das representações gráficas seguintes, apenas uma representa a função g. Identifique-a e, para cada uma das restantes opções, apresente uma razão para a rejeitar. No momento em que o ponto R inicia o movimento (a partir de O) a secção obtida 0 9 cm. corresponde à face OQP do cubo. Portanto, a área inicial da secção é Isto permite rejeitar o gráfico D. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /6 Versão g

3 À medida que R se desloca até chegar ao outro etremo da aresta a secção produzida é um retângulo cuja área vai aumentando, atingindo aí o valor (máimo) que corresponde a g 9 cm de df 9. Isto permite rejeitar o gráfico A. A partir daí, a secção continua a ser um retângulo mas a sua área vai diminuindo, aproimando-se do valor inicial à medida que a secção produzida se aproima da face paralela à que está no plano yoz. Isto permite rejeitar o gráfico B. Portanto, só o gráfico C representa a função g.. Considere a função real de variável real f, definida por f 1. (10).1. Determine, analiticamente, os zeros de f. 0 f Os zeros de f são -1 e (10).. Defina a função por ramos (sem usar módulos). 1 se 1 0 Temos 1 1 se se 1 1 se 1 1 se 1 Multiplicando por - fica 1 1 se 1 se 1 Somando, vem f 1 se 1 se 1 se 1 6 se 1 se 1 (15).. Resolva, gráfica e analiticamente, a condição f. Nota: Na resolução gráfica deve apresentar um esboço do gráfico ou gráficos utilizados e assinalar os pontos usados para chegar à resposta. Resolução analítica: f S,, Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /6 Versão

4 Resolução gráfica: pretendemos saber os valores de onde as imagens de f são inferiores ou iguais a. Para isso, traçamos os gráficos de f e a reta y. Observando os gráficos, vemos que f é menor ou igual a para 0. Outro processo: Transformar a inequação dada em f 0 e ver onde o gráfico da função g f é não positiva (conforme ilustra o gráfico da direita). (15).. Usando as transformações de gráficos, eplique como pode obter o gráfico da função f a partir do gráfico da função y. O gráfico de f 1 obtém-se, sucessivamente: 1.º deslocando o gráfico de y uma unidade para a direita, obtendo-se y 1 ;.º esticando o gráfico de y 1 para o dobro na vertical, obtendo-se y 1;.º fazendo uma simetria de y 1 em relação a O, obtendo-se y 1;.º deslocando o gráfico de y 1 quatro unidades para cima, obtendo-se y 1.. No referencial da figura seguinte está representada uma função g, definida por ramos, formada por parte de uma parábola de vértice no ponto e por parte de uma função constante. (15).1. Determine a epressão algébrica da função g., função cons tante se 0 1 A epressão algébrica de g é da forma g função quadrática se 1 Como a parábola tem vértice, a sua epressão algébrica é da forma a. g 1 0, através deste podemos descobrir o valor de a y a, com 0 Como Temos: a1 0 a1 a Assim, a epressão algébrica da parábola é y Portanto, g 0 se 0 1 se 1 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /6 Versão

5 (10).. No referencial anterior, prolongue o gráfico de g de modo a obter uma função ímpar. Uma função é ímpar quando objetos simétricos têm imagens simétricas. Assim, só temos de refletir o gráfico através de O, mantendo a parte da direita (feita no referencial anterior). (15).. Indique o domínio, o contradomínio, os etremos e os respetivos maimizantes e 1 minimizantes da função h definida por h g. O gráfico de h obtém-se por uma compressão vertical de fator 1/ (comprime para metade) Assim: Dh 0, D' h 10, Notar que o domínio não muda Etremos: mínimo y 1 minimizante mínimo 0 máimo 0 (10).. Seja Pa,b um ponto qualquer do gráfico de g. y minimizantes 01, y maimizantes 01, Dos pontos seguintes, diga, justificando, qual deles é garantidamente um ponto da função j definida por j g (A) a 1. 1, b (B) a 1,b (C) a, 1 b (D) a 1, b O ponto a,b sofre, sucessivamente, as seguintes transformações: 1.º translação de 1 unidade para a esquerda, através de y f 1, passando a a 1,b ;.º simetria em relação a O, através de y f 1, passando a a 1, b ;.º translação de unidades para cima, através de y f 1, passando a a 1, b Portanto, só a opção A está correta. 5. Na figura abaio encontra-se uma representação gráfica da função f, polinomial do quarto grau, onde estão assinalados os três zeros e o ponto 1,. (15) 5.1. Os gráficos seguintes foram obtidos a partir de transformações do gráfico de f. ; Diga, justificando, qual dos gráficos representa a função g definida por g f. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 5/6 Versão

6 O gráfico de g obtém-se do gráfico de f através de uma simetria de eio Oy, seguida uma dilatação vertical de fator (esticando para o dobro). Por eemplo, o ponto 1, é transformado em 1, e depois em 1,. Desta forma, só o gráfico A representa a função g f. (10) 5.. Determine a epressão algébrica de f, na forma de um polinómio reduzido e ordenado, sabendo que quando dividida por d 1 se obtém quociente resto r 7 1. Pretendemos determinar f tal que f d q r Temos f q 1 e, conforme este esquema (15) 5.. Sabendo que definida por f, mostre que a função f é divisível pela função h, h, e indique o quociente entre as duas funções. f é divisível por h se o resto da divisão de f por h é zero. Apliquemos o algoritmo da divisão inteira ou Método dos coeficientes indeterminados 0 0 Cálculos auiliares monómio de maior grau do quociente monómio de grau 1 do quociente Como o resto é zero, f é divisível por h e o quociente é q BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 6/6 Versão