Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Tarefa intermédia nº 4 A

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1 1º Ano de Matemática A Tarefa intermédia nº 4 A 1. No referencial da figura estão partes das representações gráficas das funções f e g definidas por: f ( ) = 6 e g( ) 4 = Indique o domínio, o contradomínio, os zeros e uma equação da assímptota do gráfico de f. 1.. Calcule as coordenadas dos pontos em que os gráficos das funções f e g intersetam o eio Oy Identifique as transformações que deve fazer ao gráfico da função m, definida em IR por m( ) =, para obter o gráfico de f Determine, analiticamente, os valores de para os quais se verifica cada uma das seguintes condições: ( f + g)( ) < f ( ) > g( ) f y g P 1.5. A função h é definida por uma epressão do tipo y = k 3. Determine k, sabendo que o ponto P (ponto de interseção dos gráficos de f e de g) assinalado na figura pertence ao gráfico de h.. Houve uma descarga poluente na ribeira que passa na aldeia do Tomás. Diariamente, após o sinal de alerta, foram recolhidos peies mortos junto às margens da ribeira. O número P, de peies recolhidos, em centenas, t dias após o sinal de alerta, é modelado por: P( t) = ; P em centenas e t em dias..1. Quantos peies foram recolhidos no dia em que foi dado o sinal de alerta?.. Quando t tende para +, para que valor tende P( t )? Interprete esse valor no conteto apresentado..3. A recolha diária deiou de ser feita quando o número de peies mortos nas margens passou a ser inferior a 5. Em quantos dias consecutivos foi feita a recolha? Questões Total Cotações: Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 11/1

2 1º Ano de Matemática A Tarefa intermédia nº 4 A proposta de resolução 1. No referencial da figura estão partes das representações gráficas das funções f e g definidas por: f ( ) = 6 e g( ) 4 = o domínio de f é IR, o contradomínio é ],6[ porque > < 6 < 6, f só tem um zero que é = log 6 f y g porque ( ) f = 6 = = 6 = log 6 e uma P equação da assímptota do gráfico de f é y = 6 porque ( ) ( ) lim f = lim 6 = Porque f ( ) = 6 = 5 f interseta o eio Oy no ponto de coordenadas (,5 ) e porque ( ) (,1 ). g = 4 = 1, g interseta o eio Oy no ponto de coordenadas 1.3. O gráfico de f resulta do de m por uma simetria em relação a O seguida de uma translação associada ao vetor de coordenadas (,6 ) Determinemos, analiticamente, os valores de para os quais se verifica cada uma das seguintes condições: ( f + g)( ) < < 6 4 < < < <, pelo que os valores de que verificam a condição são: ],[ f ( ) > g( ) 6 > > + 6 < Fazendo y = pretendemos resolver a condição y + y 6 <, calculemos os zeros de 1± 1+ 4 y + y 6 : y + y 6 = y = y = 3 y =. Porque a concavidade da parábola, que y y 6 + = define, está virada para cima, y y 6 y ] 3,[ Voltando à variável ficamos com + 6 < > 3 < IR < 1 < 1 O conjunto de valores de pedidos é: ],1[ + < A função h é definida por uma epressão do tipo y = k 3. Determinemos k, sabendo que o ponto P (ponto de interseção dos gráficos de f e de g) assinalado na figura pertence ao gráfico de h. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 11/1

3 Comecemos por calcular as coordenadas de P: f ( ) = g( ) 6 = = 1± 1+ 4 = = = = 3 1 e f ( 1) = 6 = 4 então as coordenadas de P são ( 1,4 ) que substituídas em 4 = k 3 4 = k = k y = k 3 dá. Houve uma descarga poluente na ribeira que passa na aldeia do Tomás. Diariamente, após o sinal de alerta, foram recolhidos peies mortos junto às margens da ribeira. O número P, de peies recolhidos, em centenas, t dias após o sinal de alerta, é modelado por: P( t) = ; P em centenas e t em dias..1. No dia em que foi dado o sinal de alerta foram recolhidos 4 peies porque: P() = = 4.. Quando t tende para +, ( ) lim e t + P t tende para zero porque lim = t + porque = +. Esse valor no conteto apresentado significa que com o passar dos dias deia de haver peies mortos para recolher nas margens da ribeira..3. A recolha diária deiou de ser feita quando o número de peies mortos nas margens passou a ser inferior a 5. Para sabermos em quantos dias consecutivos foi feita a recolha precisamos de resolver uma equação ou uma inequação, por eemplo: P( t) >,5 >,5 resolver a inequação gráfica ou analiticamente. Graficamente: dado que 5 peies é,5 centenas de peies. Podemos Concluímos então que a recolha foi feita em 1 dias consecutivos. Analiticamente: ln36 P( t) >,5 >,5 4 > 36 > e e > e ln36 ln36 > t < t < 1,3,35 Concluímos então que a recolha foi feita em 1 dias consecutivos. Questões Total Cotações: Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 11/1

4 1º Ano de Matemática A Critérios de classificação Domínio Contradomínio 3 Zeros 3 Equação da assímptota Calcular f() e dar as coordenadas (,5) 4 Calcular g() e dar as coordenadas (,1) Simetria em relação a O 4 Translação associada ao vetor de coordenadas (,6) Substituir 1 Reduzir a uma desigualdade entre potências de 4 Resolver a inequação 4 Dar a resposta Substituir 1 Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 11/1

5 Reduzir a uma inequação do º grau em 4 Fazer y= Resolver a inequação 5 Dar a resposta Calcular as coordenadas de P (1,4) 5 Determinar k Identificar P() Calcular P() Dar a resposta 1.. Calcular o limite de P quando t tende para + 1 Interpretar o resultado Escrever a condição 5 Resolver a condição 5 Dar a resposta 4 Total 1 Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 11/1