ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO 12º A1 Grupo I

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 1º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO 1º A1 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita dá o mesmo número. Por exemplo: 797 e são capicuas. Quantas capicuas existem com cinco algarismos, sendo o primeiro algarismo ímpar? (A) 300 (B) 400 (C) 00 (D) 00. Admita que, numa certa escola, a variável «altura das alunas do 1º ano de escolaridade» segue uma distribuição aproximadamente normal, de média 170 cm. Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do 1º ano dessa escola. Relativamente a essa rapariga, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável? (A) (B) (C) (D) A sua altura ser superior a 180 cm. A sua altura ser inferior a 180 cm. A sua altura ser superior a 1 cm. A sua altura ser inferior a 1 cm. 3. Na figura está parte da representação gráfica de uma função g, polinomial do terceiro grau. A função g admite máximo relativo igual a 3 para x = 1 e admite mínimo relativo igual a para x = 1. Qual é o conjunto dos valores de b para os quais a equação g( x) = b tem três soluções distintas? (A) ],3[ (B) ], + [ (C) [,3] (D) ],3[ PROFESSORA: Rosa Canelas 1 1º A1 00/00 17/0/00

2 4. Seja g uma função, de domínio IR, tal que a sua segunda derivada é definida por: g ( x) = 1 x Em qual das figuras seguintes poderá estar parte da representação gráfica da função g? (A) (B) (C) (D). Seja z um complexo de argumento. Qual poderá ser um argumento do simétrico de z. (A) (B) + (C) (D) +. Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Na figura está representado um hexágono regular, centrado na origem O, cujos vértices são as imagens geométricas dos números complexos representados pelas letras A, B, C, D, E e F. O vértice C é a imagem geométrica do número complexo 3 cis 4 Represente, na forma trigonométrica, os números complexos cujas imagens geométricas são os restantes vértices do hexágono. PROFESSORA: Rosa Canelas 1º A1 00/00 17/0/00

3 . Na figura está representado o gráfico da função f, de domínio [ 0, ], definida por f( x) = x+ cosx A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de f..1. Por processos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes:.1.1. Mostre que a ordenada do ponto A é + 3 e que a do ponto B é Qual é o contradomínio de f?.. Considere a recta tangente ao gráfico de f no ponto A. Essa recta intersecta o gráfico num outro ponto C. Recorrendo à calculadora, determine um valor aproximado para a abcissa do ponto C (apresente o resultado arredondado às décimas). Explique como procedeu (na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver a questão). 3. Seja f uma função de domínio IR, com derivada finita em todos os pontos do domínio, e crescente. Sejam a e b dois quaisquer números reais. Considere as rectas r e s, tangentes ao gráfico de f nos pontos de abcissas a e b, respectivamente. Prove que as rectas r e s não podem ser perpendiculares. 4. Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: Espadas, Copas; Ouros e Paus. Cada naipe tem três figuras: Rei, Dama e Valente Retirando, ao acaso, seis cartas de um baralho completo, qual é a probabilidade de entre elas, haver um e um só Rei? Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas. 4.. De um baralho completo extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Sejam E 1, C e F os acontecimentos: E 1: sair Espadas na primeira extracção; C : sair Copas na segunda extracção; F : sair uma figura na segunda extracção. Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de PF ( C E) 1. Numa pequena composição com cerca de dez linhas, explicite o raciocínio que efectuou. O valor pedido deverá resultar apenas da interpretação do significado de PF ( C E) 1, no contexto da situação descrita. PROFESSORA: Rosa Canelas 3 1º A1 00/00 17/0/00

4 COTAÇÕES Grupo I... 4 Cada resposta certa... 9 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo III TOTAL PROFESSORA: Rosa Canelas 4 1º A1 00/00 17/0/00

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 1º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO 1º A1 proposta de resolução Grupo I 1. (C) Capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita dá o mesmo número. Por exemplo: 797 e são capicuas. O número de capicuas que existem com cinco algarismos, sendo o primeiro algarismo ímpar, é dado por = 00. (C) Admita que, numa certa escola, a variável «altura das alunas do 1º ano de escolaridade» segue uma distribuição aproximadamente normal, de média 170 cm. Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do 1º ano dessa escola. Relativamente a essa rapariga, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável? (A) (B) (C) (D) A sua altura ser superior a 180 cm. A sua altura ser inferior a 180 cm. A sua altura ser superior a 1 cm. A sua altura ser inferior a 1 cm Comparando as quatro situações que se podem visualizar nestes dois gráficos verificamos que o mais provável é a sua altura ser superior a 1 cm. 3. (D) Na figura está parte da representação gráfica de uma função g, polinomial do terceiro grau. A função g admite máximo relativo igual a 3 para x = 1 e admite mínimo relativo igual a para x = 1. O conjunto dos valores de b para os quais a equação g( x) tem três soluções distintas é ],3[. = b PROFESSORA: Rosa Canelas 1º A1 00/00 17/0/00

6 4. (C) g é uma função, de domínio IR, tal que a sua segunda derivada é definida por: g ( x) = 1 x A figura onde poderá estar parte da representação gráfica da função g é a da figura ao lado. Se estudarmos o sinal da segunda derivada verificamos que ela é positiva no intervalo ] 1,1[ e negativa fora dele pelo que nesse intervalo a concavidade do gráfico está virada para cima e fora dele está virada para baixo.. (B) Seja z um complexo de argumento. rcis() Um argumento do simétrico de z. é + - rcis( + ) - Grupo II 1. Na figura está representado um hexágono regular, centrado na origem O, cujos vértices são as imagens geométricas dos números complexos representados pelas letras A, B, C, D, E e F. O vértice C é a imagem geométrica do número complexo 3 cis 4 Porque o hexágono é regular e centrado na origem todos os vértices estão à mesma distância da origem que o vértice C pelo que todos os números complexos pedidos têm o mesmo módulo. Os vértices do hexágono dividem a circunferência circunscrita ao hexágono em arcos todos com a mesma medida =. 3 Assim teremos: 3 C= cis, D= cis + = cis 4 3 1, E = cis + = cis B = cis = cis 4 3 1, A = cis = cis e F = cis = cis PROFESSORA: Rosa Canelas 1º A1 00/00 17/0/00

7 . Na figura está representado o gráfico da função f, de domínio [ 0, ], definida por f( x) = x+ cosx A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de f..1. Por processos exclusivamente analíticos, resolvamos as duas alíneas seguintes:.1.1. Mostremos que a ordenada do ponto A é + 3 e que a do ponto B é 3 Como A e B são extremos relativos vamos calcular a derivada e estudar o seu sinal: f ( x) = 1 senx 1 f ( x) = 0 1 senx = 0 senx = x = x = x 0 ( x) f f( x ) M m A ordenada de A é 3 3 f cos + = + = + = A ordenada de B é 3 3 f cos = + = =.1.. Para calcularmos o contradomínio de f precisamos ainda de calcular f( ) = + cos( ) = +. O contradomínio é 3, +... Consideremos a recta tangente ao gráfico de f no ponto A que é a recta de equação + 3 y = (recta horizontal por a derivada em A ser zero) Essa recta intersecta o gráfico num outro ponto C cuja abcissa é aproximada às décimas 3,8 PROFESSORA: Rosa Canelas 7 1º A1 00/00 17/0/00

8 3. Seja f uma função de domínio IR, com derivada finita em todos os pontos do domínio, e crescente. Sejam a e b dois quaisquer números reais. Consideremos as rectas r e s, tangentes ao gráfico de f nos pontos de abcissas, a e b, respectivamente. As rectas r e s não podem ser perpendiculares porque para serem perpendiculares os seus 1 declives têm de verificar a relação m =, o que significa que têm de ter sinais diferentes, m e isso não pode acontecer porque se a função é crescente a derivada em todos os pontos é positiva o que significa serem os declives das rectas tangentes ao gráfico em todos os pontos positivos. 4. Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: Espadas, Copas; Ouros e Paus. Cada naipe tem três figuras: Rei, Dama e Valente Retirando, ao acaso, seis cartas de um baralho completo, a probabilidade de entre elas, haver um e um só Rei é, na forma de dízima, com aproximação às milésimas, P= 0, C C 4.. De um baralho completo extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Sejam E 1, C e F os acontecimentos: E 1: sair Espadas na primeira extracção; C : sair Copas na segunda extracção; F : sair uma figura na segunda extracção. ( ) PF C E é a probabilidade de tirar uma figura de copas na segunda extracção, sabendo que 1 na primeira extracção saiu uma carta de espadas. Então a segunda extracção é feita tendo no baralho 1 cartas entre as quais há três figuras de 3 copas. A probabilidade de nestas condições tirar uma figura de copas é p =. Valor calculado por 1 aplicação da Lei de Laplace, que diz ser a probabilidade de um acontecimento o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, quando todos os acontecimentos elementares têm a mesma probabilidade de acontecer. PROFESSORA: Rosa Canelas 8 1º A1 00/00 17/0/00