Matemática A - 10 o Ano Ficha de Trabalho

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1 Matemática A - 10 o Ano Ficha de Trabalho Álgebra - Divisão Inteira de Polinómios Grupo I 1. Tendo em conta que n N; a n, a n 1,..., a 1, a 0 R e a n 0; b n, b n 1,..., b 1, b 0 R e b n 0, considere os polinómios p(x) = a n x n + a n 1 x n a 0 e o polinómio b(x) = b n x n + b n 1 x n b 0. Considere agora as proposições: p : O grau do polinómio p b é n. q : O grau do polinómio p b é 0 se e somente se a n = b n, a n 1 = b n 1,..., a 0 = b 0. Qual das afirmações é falsa? (A) p q (B) p q (C) p q (D) p q. Considere o polinómio p(x) = x 3 + 5x + 7x + 3 e as proposições: p: Se resto da divisão inteira de p por x + 1 é 0, então 1 é uma raíz de multiplicidade 1 q: O polinómio p tem três raízes distintas, considerando que x = 1 é uma delas. Qual das afirmações é falsa? (A) p q (B) q p (C) p q (D) (p q) p 3. Considere o polinómio p(x) = x 3 + 6x + 11x + 6 divisível pelo monómio x + 1. Em qual dos conjuntos é que a condição p(x) = 0 é impossível? (A) Z + 0 { } (B) Q+ { 1} (C) N { 1,, 3} (D) N ], 3[ 4. Considere um polinómio A de grau n e com coeficientes unitários e um polinómio B dado pela expressão B(x) = x 4 + 3x + x. O termo de maior grau de k 3 A B A é 64x 7. Quais os valores de n e k, respectivamente? (A) 4 e 3 (B) 3 e 3 (C) 3 e 4 (D) 4 e 4 5. Considere o polinómio A(x) = x + k 4 x + 5, divisível pelo monómio x + 1. Qual pode ser o valor de k? (A) 4 3 (B) 3 (C) 4 (D) 6. *Considere o polinómio A(x) = x n + x 4 x + 101, n N. Sabendo que resto da divisão de P (x) por x é 1088, indique qual é o grau de A(x). (A) (B) 4 (C) 6 (D) 8 7. Considere k um número positivo e o polinómio A(x) = x 3 x k, divisível pelo monómio x k. Qual pode ser o valor de k? (A) 1 (B) (C) 3 (D) 8. *Considere k e n constantes reais não nulas e o polinómio A(x) = x 4 + x + n x + nk divisível pelo monómio x 1. Nestas condições, qual a expressão geral dos valores de n? (A) n = ±k (B) n = k ± k 4 3 (C) n = k ± k 1 (D) n = k SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano 1

2 9. Considere o polinómio p(x) = x 8. Seja r 1 o resto da divisão inteira de p por x 1/ e r o resto da divisão inteira de p por x + 1/. Qual o valor de r 1 r? (A) 1/56 (B) 1/18 (C) 1/64 (D) *Considere as constantes reais a e k e os polinómios p(x) = ax 3 kx 4x + 4 e q(x) = kx + x + 4. p é divisível pelo monómio x ; O termo de maior grau de p q é 15x 5 Quais podem ser os valores de a e k, respectivamente? (A) 5 e 3 (B) 3 e 5 (C) 1 e 15 (D) 15 e Considere k uma constante real e n um número natural tais que o polinómio p(x) = x n + kx n + 1 é divisível por x + 1. Qual das combinações de valores n e k abaixo está correcta? (A) n é ímpar e k = 0 (B) n é ímpar e k = (C) n é par e k = 0 (D) n é par e k = 1. Considere k uma constante real e o polinómio A(x) = x 4 + x 3 4x + kx + k. Tendo em conta que 1 é uma raíz de multiplicidade, qual pode ser o valor de k? (A) 1 (B) (C) 0 (D) 13. *Considere k e a duas constantes reais e o polinómio p(x) = x 3 x kx + divisível pelo monómio x 1. Indique qual dos intervalos reais abaixo representa a solução de p(x) 0? (A) ], 1] [1, ] (B) [ 1, 1] [, + [ (C) ], 1] (D) [, + [ 14. *Considere a e b duas constantes reais e o polinómio p(x) = x 3 + ax + bx + 1. p(1) = 0 ; p(x) + p( x) = 0. Qual é o valor do resto da divisão inteira de p por x 4? (A) 45 (B) 53 (C) 77 (D) *Considere o prisma rectangular ao lado de dimensões c l h. c(x) = x 4 l(x) = x 1 h(x) = x 3 4x O volume do prisma é sempre maior que 0 Tendo em conta as dimensões do prisma, qual pode ser o intervalo de valores que corresponde à variável x? h (A) ], [ ]0, 1[ (C) ]1, [ (B) ], 0[ ]1, + ] (D) ], + [ l c SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano

3 Grupo II 1. Tendo em conta que n N; a n, a n+1,..., a 1, a 0 R e a n 0; b n, b n+1,..., b 1, b 0 R e b n 0, considere os polinómios p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 0 e o polinómio b(x) = b n x n +b n 1 x n 1 + +b 0. Determine o grau do polinómio: 1.1 a(x) + b(x), caso a n b n 1. a(x) (a(x) + b(x)), caso a n b n 1.3 a(x) b(x), caso a n = b n 1.4 a(x) b(x), caso a n = b n. Utilizando o algoritmo da divisão inteira de polinómios, determina o quociente e o resto da divisão de A(x) por B(x)..1 A(x) = x + x + 1 e B(x) = x 3. A(x) = x 3 + 4x + x + 1 e B(x) = x.3 A(x) = x 4 + x + x + 1 e B(x) = x.4 A(x) = x 4 + 3x 3 + x + x + 1 e B(x) = x x.5 A(x) = 4x 5 + 3x 3 + x + x e B(x) = x 3 + x x.6 * A(x) = x x x e B(x) = x * A(x) = x 3 + 4x + kx + k e B(x) = x 1.8 * A(x) = x 5 + x 3 + kx + 1 e B(x) = x 1 3. Seja k uma constante real. Determine, se existir, k tal que: 3.1 O resto da divisão inteira do polinómio p(x) = x 3 + k x + x 10 pelo monómio x 4 é 70; 3. O termo independente da multiplicação do polinómio p(x) = x 4 + kx + k pelo polinómio q(x) = x 5 + x 4 + kx + k é 3; 3.3 O polinómio p(x) = x 4 k 3 x 3 + 1x x + 8 tem 1 como raíz de multiplicidade ; 3.4 O polinómio p(x) = x 3 + x + x k verifica p(x) + p( x) = 0; (determine k em função de x) 3.5 * O resto da divisão inteira do polinómio p(x) = x + 4x pelo monómio x k é n, em que n é um número positivo; (determine k em função de n) 3.6 O resto da divisão inteira do polinómio p(x) = x 3 x + x + 1 pelo monómio x k é igual ao resto da divisão inteira do polinómio q(x) = x + x + 1 pelo mesmo monómio x k; 3.7 * O polinómio p(x) = x 3 + x kx + k é divísivel pelo polinómio q(x) = x x * Considerando n um número natural, o polinómio x n+1 x n 3x + k é divisível pelo monómio x Determine o polinómio P (x), sabendo que: 4.1 É de grau, P (1) = P (0) = 0 e o resto da divisão inteira por x + é 18; 4. É de grau 3, o termo independente é 1, é divisível por x 4 e 1 é uma raíz de multiplicidade ; 4.3 *É de grau 5, o coeficiente do termo de grau 4 é 60, 3 é uma raíz de multiplicidade e 0 é uma raíz de multiplicidade 3; (apresente na forma factorizada) 4.4 *É de grau 3, 0 é uma raíz de multiplicidade, o termo de maior grau tem coeficiente unitário e a inequação P (x) 0 tem como conjunto-solução o intervalo [4, + [ SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano 3

4 5. Usando a Regra de Ruffini, calcule o quociente Q e o resto R da divisão do polinómio p(x) pelo polinómio q(x) e escreva p(x) na forma p(x) = q(x)q(x) + R(x). Considere k uma constante real. 5.1 p(x) = x + x + 1 e q(x) = x 1 5. p(x) = x 3 + x + k e q(x) = x p(x) = kx 4 kx 3 + kx kx + k e q(x) = x p(x) = x 5 + x 3 4x 5 e q(x) = x p(x) = x 3 + x 1/ e q(x) = x *p(x) = x 3 6x + 11x 6 e q(x) = x 1 6. Considere que as constantes reais diferentes entre si a, b e c são as únicas raízes de um polinómio p de grau n. 6.1 Considerando n = 10 e que a é uma raíz de multiplicidade 4 e b é uma raíz de multiplicidade 3. Indique, justificando, quais podem ser os valores da multiplicidade de c. 6. *Considerando n = 5 e que a é uma raíz de multiplicidade e b é uma raíz de multiplicidade 1, referente ao polinómio p. Indique, jusitificando, quais podem ser os valores da multiplicidade de c referente ao polinómio p. 6.3 *Considere que p(x) = x 6 1x x 4 144x x 13x + 36 e que a = 1 e b = são ambas raízes de p de multiplicidade. Indique a multiplicidade de c, o seu valor e o polinómio p factorizado. 7. Considere o polinómio p(x) = x 4 + 5x 3 6x Escreva o polinómio p na forma p(x) = q(x)q(x) + C em que q e Q são polinómios de segundo grau e C uma constante real. 7. * Resolva a equação p(x) + q(x) = 0 em que q(x) = 5x 3 + 4x Sugestão: Uma equação do tipo ax 4 + bx + c = 0, a 0 é uma equação biquadrada. Para resolvê-la considere a mundaça de variável y = x. 7.3 Justifique, sem resolver a inequação, o conjunto-solução da inequação p(x) + q(x) < *Considere o polinómio p(x) = ax 5 3x 4 + bx 3 + 7x + cx + 1 em que a, b e c são constantes reais. 8.1 Determine o valor de a + b + c, caso o polinómio p(x) for divisível por x Sabe-se que se a = 1, b = 5 e c = 3, o polinómio p tem uma raíz dupla para x =. Factorize o polinómio p. 8.3 Considere a = b = c = 0 e resolva a equação p(x) = 0. Sugestão: Uma equação do tipo ax 4 + bx + c = 0, a 0 é uma equação biquadrada. Para resolvê-la considere a mundaça de variável y = x. 8.4 Sendo b = 3 e c = 7, resolva a inequação p(x) ax Considere uma constante positiva k. Sabe-se que um polinómio p é de grau 3 e apresenta o seguinte quadro de sinais: 9.1 Justifique que 0 < k < 1. x 0 k k + Sinal de p(x) Escreva o polinómio p na forma factorizada, sabendo que o termo de maior grau tem coeficiente unitário. 9.3 *Considere k = 1 e o polinómio q(x) = x3 3 4 x + 1 x. Resolva a inequação p(x) q(x) **Considere n e k constantes reais tal que 0 < n < 1 e k > 0. Prove que se o polinómio p(x) = x 4 x kx + n é divisível pelo monómio x k então k = 1 ± 1 n. SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano 4

5 Soluções Grupo I 1. (C) 4. (C) 7. (C) 10. (B) 13. (B). (D) 5. (A) 8. (B) 11. (C) 14. (A) 3. (D) 6. (C) 9. (D) 1. (A) 15. (D) Grupo II 1.1 Grau n 1. Grau n.1 R(x) = 16; Q(x) = x + 5. R(x) = 9; Q(x) = x + 6x R(x) = x + 9; Q(x) = x R(x) = 7x + 1; Q(x) = x + 5x k = ± / 3. k = ± 3.3 k = 3.4 k = x 4.1 3x(x 1) 4. 6x 3 4x + 30x (x 1)(x 3) (x 1)(x + x + ) + k (x + 1)(kx 3 kx + 3kx 4k) + 5k ou Grau n Grau n.5 R(x) = 53x + 4x; Q(x) = 4x 8x R(x) = 0; Q(x) = x x R(x) = 5 + k; Q(x) = x + 5x + (5 + k).8 R(x) = ( + k)x + 1; Q(x) = x 3 + x 3.5 k = ± 6 + n 3.6 k = 0 k = Não existe 3.8 k = x 3 (x + 3) 4.4 x (x 4) ( ) x 5.4 (x 4) 4 + x3 + 3x + 6x ( x 1 ) ( x + x (x 1)(x 6) + 1x 1 ) 6.3 x = 3, multiplicidade, (x 1) (x ) (x 3) 7.1 x (x + 5x 6) x = ±1 7.3, (x 1) > a + b + c = (x ) (x 1) (x + 3) ( 97+9) ( 97+9) 8.3 x = x = 8.4 [ 3, 0] [1, 3] 9.1 k < k 0 < k < 1 9. x(x k )(x k) 9.3 {0, 1/4, 1/} SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano 5