DIVISÃO DE POLINÔMIOS

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1 DIVISÃO DE POLINÔMIOS Prof. Patricia Caldana A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enuncia-lo como sendo: A divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo a obter os polinômios Q(x) e R(x). Esse algoritmo da divisão pode ser expressado pelo Método de Descartes também conhecido como Método dos coeficientes determinantes, da seguinte forma: E(x). Q(x) + R(x) = D(x) Ou seja: Divisor. Quociente + Resto = Dividendo A divisão de polinômio pode também ser representada pelo método da chave, veja: Dividindo um polinômio por um monômio Para efetuarmos essa divisão temos que dividir cada termo do polinômio pelo monômio. Observe o exemplo abaixo: Exemplo: Obtenha o resultado da divisão de 6a 2 b 2 12ab+3a 2 b 3 3ab Solução: Podemos utilizar 2 processos distintos para solucionar essa divisão, acompanhe a seguir cada um deles: Pagina: 1

2 Dividindo um polinômio por outro polinômio A operação de divisões é composta por dividendo, divisor, quociente e resto, no caso da divisão de polinômio por polinômio, considerando que cada um deles seja formado por mais de um monômio. A divisão de um polinômio por outro polinômio pode ser realizada por dois métodos: método da chave e método de Descartes. divisor. Método da Chave Iremos considerar a seguinte divisão: D(x) E(x) R(x) Q(x) Onde D(x) é o dividendo; E(x) divisor; Q(x) quociente e R(x) resto. OBSERVAÇÃO: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser: Igual a zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor. 5). Para compreender, vejamos um exemplo: Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x 4 10x 3 + 9x 2 + 9x 5) : (2x 2 4x + Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações: Pagina: 2

3 Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x. Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar. Feita as verificações podemos iniciar a divisão. O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos). 6x 4 10x 3 + 9x 2 + 9x 5 2x 2 4x + 5 Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: 6x 4 : 2x 2 = 3x 2 O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x 2 4x + 5 (divisor). (2x 2 4x + 5). (3x 2 ) = 6x 4 12x x 2 Esse resultado deverá ser subtraído pelo polinômio 6x 4 10x 3 + 9x 2 + 9x 5 (dividendo). Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x 3 6x 2 + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x 2 4x + 5). 2x 3 : 2x 2 = x O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x 2 4x + 5 (divisor) (2x 2 4x + 5). (x) = 2x 3 4x 2 + 5x Esse resultado deverá ser subtraído pelo polinômio 2x 3 6x 2 + 9x 5. Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x2 +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x 2 4x + 5). -2x 2 : 2x 2 = -1 O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x 2 4x + 5 (divisor) Pagina: 3

4 (2x 2 4x + 5). (-1) = - 2x 2 + 4x - 5 Prof. Patricia Caldana O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x 2 +4x 5. Portando, podemos dizer que (6x 4 10x 3 + 9x 2 + 9x 5) : (2x 2 4x + 5) = 3x 2 +x 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x 2 +x 1) por 2x 2 4x + 5 e verificar se a solução será 6x 4 10x 3 + 9x 2 + 9x 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto. Exemplo: Divida (x³ - 6x² x + 12) por (x 2). Método de Descartes Há uma outra maneira de dividir um polinômio f(x) por um g(x) e obter um quociente q(x) e um resto r(x). Este método se utiliza da identidade de polinômios e se baseia no fato de que o grau do resto deve ser menor do que o do divisor. Observe um exemplo de como o método funciona. Iremos dividir f(x)= x 3 +4x 1 por g(x) = x 2 x. Como o dividendo possui grau 3 e o divisor possui grau 2, o quociente q(x) terá grau 1, que é esta diferença entre os graus. Assim, representamos q(x) como um polinômio de grau 1 genérico: q(x) = ax + b Pagina: 4

5 O resto r(x) terá grau 1 ou menor, pois o divisor possui grau 2. Portanto, representamos como: r(x) = mx + n É importante não usar as mesmas letras para q e r, pois os coeficientes não são necessariamente iguais. Agora, lembre-se da seguinte igualdade: f(x) = g(x) q(x) + r(x) Iremos substituir as expressões que temos até agora e resolver a identidade de polinômios: As equações que extraímos da igualdade de polinômios são: As equações I e IV já trazem resultados imediatos. Levando o resultado de I em II obtemos o seguinte: b 1 = 0 b = 1 E levando este resultado em III: 1+ m = 4 m=5 Desta forma, o quociente que era q(x) = ax = b passa a ser: q(x) = 1x + 1 = x + 1 E o resto r(x) = mx + n passa a ser: r(x)=5x + 1 Exemplo: Iremos dividir 2x 4 6x + 1 por x Como o grau do dividendo é 4 e o grau do divisor é 2, então o grau do quociente é 4 2 = 2. Iremos representá-lo com coeficientes desconhecidos: q(x) = ax 2 + bx + c Pagina: 5

6 Como o quociente possui grau 2, o resto possui grau 1 no máximo. Representando-o de maneira genérica, temos: r (x) = mx + n Não utilizamos as mesmas letras para o resto e o quociente porque os coeficientes não são iguais necessariamente. Agora, utilizamos a igualdade que a divisão deve obedecer: o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente, somado ao resto. Substituímos os polinômios conhecidos e resolvemos a igualdade de polinômios: Da igualdade obtemos as seguintes equações: teremos: As duas primeiras equações são imediatas. Substituindo a = 2 na 3ª equação Substituindo b=0 na 4ª equação, teremos: Substituindo c = 4 na 5ª equação, teremos: Portanto, o quociente que antes era representado por q(x)=ax 2 +bx+c, agora fica: Pagina: 6

7 E o resto fica: r(x) = 6x + 9 Prof. Patricia Caldana Pagina: 7