REVISÃO DE ÁLGEBRA. Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.

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1 REVISÃO DE ÁLGEBRA 1ª. AULA CONJUNTOS BÁSICOS: Conjuntos dos números naturais: * + Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais. Conjunto dos inteiros: * + Conjunto bem mais recente do ponto de vista histórico, além dos naturais, inclui seus opostos negativos e o zero. Aparece em situações como no cômputo de saldo bancários ou saldo de gols. Conjunto dos racionais: * + Na antiguidade clássica, os Gregos já trabalhavam com números racionais na forma de razão entre grandezas. Eles achavam que todo número era deste tipo, mas eles mesmos descobriram que existiam números que não podiam ser escritos como uma razão de inteiros. De fato, consideremos um quadrado de raio. Pelo Teorema de Pitágoras, a medida de sua diagonal é um número que elevado ao quadrado é igual a, isto é, a medida de sua diagonal é, um número que não pode ser escrito como razão de inteiros. Este tipo de número foi chamado de irracional. Foram descobertos muitos outros números irracionais, como por exemplo:, 1

2 ,, etc. Na verdade, pode-se provar que existem mais números irracionais que racionais... A união dos números racionais com os irracionais dá origem ao conjunto dos números reais, o qual será o conjunto com o qual iremos trabalhar na maior parte do tempo. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM OS NÚMEROS REAIS: Os números reais têm a seguintes propriedades com relação às operações de adição e multiplicação: (propriedade comutativa) (propriedade associativa) (propriedade distributiva) Obs.: Usaremos as seguintes notações para multiplicação entre números reais: ou. Exemplos: simplifique (ou expanda) as expressões: a) b) c) Uma expressão importante para sabermos calcular é: No caso em que e, obtemos a famosa fórmula do quadrado da soma: (importante) Analogamente obtemos a fórmula do quadrado da diferença: Exemplos: simplifique as expressões: a) b) c) 2

3 FRAÇÕES: Para adicionarmos frações com mesmo denominador, basta utilizarmos a propriedade distributiva: Portanto, vale a regra: Evite o seguinte ERRO: Para checar que não vale, tome. Exemplos. Para adicionarmos frações com denominadores diferentes, utilizamos um denominador comum: Exemplos na lousa. FALTA FRAÇÕES EQUIVALENTES E MMC. 3

4 Para multiplicarmos frações: Em particular, vale: Para dividirmos frações, basta inverter e multiplicar: Mais exemplos: a) b) c) d) Solução no quadro. 4

5 Meme do Facebook: Robin: Batman (após dar um tapa na cara do Robin): 5

6 2ª. AULA EQUAÇÃO DO 1o. GRAU: Consideremos o polinômio de grau 1 Em muitas situações, queremos achar a raiz deste polinômio e para isto montamos a equação, cuja solução é obtida isolando o : Exemplo: Resolva a equação: Interpretação geométrica: gráfico da função linear P(x)=ax +b é uma reta. O ponto onde esta reta intercepta o eixo dos x é a raiz da equação P(x)=0. EQUAÇÃO DO 2o. GRAU: É uma equação do tipo onde é um polinômio do segundo grau. Sua solução vai depender do valor de : Se a equação não tem solução Se a equação possui solução única Se a equação possui duas soluções: Exemplos: Resolva as equações: a) b) c) d) e) f) 6

7 Também podemos fazer uma interpretação geométrica, pois o gráfico da função quadrática é uma parábola e as raízes da equação são os pontos onde a parábola corta o eixo dos x. FATORAÇÃO: Vimos anteriormente que a propriedade distributiva é útil para expandir ou simplificar certas expressões. A fatoração é o processo inverso. A ideia é transformar uma expressão complexa no produto de expressões mais simples. Por exemplo, o caso mais trivial ocorre quando a expressão tem um fator comum: 7

8 3ª. AULA Fatoração de polinômios do segundo grau: Podemos fatorar polinômios do segundo grau como o produto de dois polinômios de grau 1. Isso será feito em termos de suas raízes: Importante: - Se não tem raiz, então não é possível fatorar o polinômio e dizemos que o mesmo é irredutível. - Se tem uma raiz, então: - Se tem duas raízes e, então: Exemplos: Fatore, se possível, os polinômios de grau 2 abaixo: a) b) c) d) Diferença de quadrados: (importante) Obs.: os termos e são chamados conjugados um do outro. Quando multiplicamos termos conjugados obtemos a diferença de quadrados. Exemplos: Fatore as expressões abaixo: a) b)4 c) Obs.: A diferença de quadrado é uma forma rápida de fatorar certos polinômios de grau 2. 8

9 Problema: Simplifique a expressão abaixo: Dica: Fatore os polinômios de grau 2 no numerador e no denominador como produto de dois polinômios de grau 1. Depois é só simplificar... Outras fórmulas importantes de fatoração: Exemplo: Fatore e. 9

10 4ª. AULA Fatoração de polinômios de grau maior ou igual a 3 usando raízes: Aqui, novamente é importante o conhecimento das raízes. O problema é que não existe uma fórmula geral para o cálculo de raízes de polinômios de grau maior ou igual a 5. Para polinômios de grau 3 e 4, existem fórmulas, mas não são práticas. No entanto, temos dois Teoremas que nos ajudarão em alguns casos: Teorema 1: Se é um polinômio e é uma raiz, isto é,, então é um fator de. Se tem grau, então, onde é um polinômio de grau. Exemplo: Fatore. Note que, por inspeção,, logo 1 é raiz do polinômio e, pelo Teorema 1, fatora. Dividindo por obtemos. Portanto Uma questão importante que surge: como chutar a raiz certa? O seguinte teorema nos ajuda a achar uma raiz de um polinômio (em alguns casos) Teorema 2: Considere um polinômio do tipo, onde os coeficientes, com, são números inteiros. Se este polinômio tiver raiz inteira, então é divisível por. Este teorema nos ajuda a direcionar um chute para candidatos a raiz de um polinômio. Exemplo: calcule as raízes de Solução: pelo Teorema 2, se existir raiz inteira, ela deverá dividir 30. Logo, os candidatos a raiz inteira são todos os divisores de 30: e. O negócio agora é testar um a um: 10

11 , logo não é raiz., logo não é raiz., obaaahh!!, é raiz!!! Basta agora dividir P(x) por (x-2) obtendo como resultado um polinômio de grau dois, o qual é facilmente fatorado encontrando suas raízes via fórmula de Bháskara. Na lousa. Exercícios: 1)Fatore o polinômio 2)Fatore usando os teoremas anteriores e também usando a fórmula da soma de cubos. 11

12 COMPLETANDO QUADRADOS Técnica útil para esboçar gráfico de certas curvas como círculos, parábolas, hipérboles e elipses. Significa escrever: Exemplos: 1) = 2) 3) 4) Não é tão óbvio assim... Procedimentos: 1. Fatore (coloque em evidência) nos termos em, deixando entre parênteses os termos com. 2. Dentro dos parênteses, adicione e subtraia o quadrado da metade do novo coeficiente de x. 3. Distribua com a parte negativa e some com a parte de fora dos parênteses. Em geral: ( ) ( ) 12

13 BINÔMIO DE NEWTON Considere as identidades: Em geral, para inteiro positivo: Os coeficientes em negrito são chamados de coeficientes binomiais e, além da fórmula, podem ser obtidos através do triângulo de Pascal, vide o link: Exemplo: calcule ( na lousa) 13

14 RADICAIS: o tipo mais comum de radical é a raiz quadrada. O símbolo significa a raiz quadrada positiva de. Então Desde que, o símbolo só faz sentido quando. Valem as regras: Obs.: um erro comum: É fácil verificar que esta fórmula não é válida, tomando, por exemplo, e Exemplos: a) b) Obs.: Vale a seguinte igualdade: onde é o módulo ou valor absoluto de x. Mais à frente voltaremos a falar de valor absoluto de um número. Um erro comum do aluno é achar que para todo. Para mostrar que isto não vale sempre, tome Raízes n-ésimas: Em geral, se é um inteiro positivo, Observe que, se é par, então e x Exemplos:, pois. No entanto, não está definida. Valem as regras: 14

15 Exemplo: Dica importante: Para simplificar (ou racionalizar) um numerador ou denominador que contenha uma expressão do tipo, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado desta expressão:. De fato, através da fórmula da diferença de quadrados obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) Exemplo: Racionalize a expressão POTÊNCIAÇÃO: Seja um número positivo e um inteiro positivo. Definimos Valem: ( ) Exemplos: a) b) c) ( ) 15

16 Regras de Potenciação: sejam a e b números positivos, m e n números racionais. Então: Exemplos. NOTAÇÃO CIENTÍFICA E DECIMAIS Um número x está escrito em notação científica se onde satisfaz e é um número inteiro. O número é chamado mantissa e o número é chamado ordem de grandeza. Expressa de forma mais simples números muito grandes ou muito pequenos. 16

17 Exemplos: 1) 2) 3) 4) (velocidade da luz) 5) (número de Avogadro) 6) (massa da terra) 7) (massa do elétron) Facilita operação com números decimais. Exemplos: 1) 2) 3) Exercícios: 1)Escreva em notação científica os seguintes números: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 17

18 2) Escreva o valor de cada número abaixo: a) b) c) d) 3) Calcule: a) b) c) d) Problemas: Simplifique as expressões abaixo, deixando a resposta final em notação científica: ( ) ( ) 18

19 Gabarito dos exercícios de notação científica: 1)Escreva em notação científica os seguintes números: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2) Escreva o valor de cada número abaixo: a) b) c) d) 3) Calcule: a) b) =20 c) d) 19

20 6ª. AULA DESIGUALDADES E INEQUAÇÕES: Regras: Se, então ; Se e, então ; Se e, então ; Se e, então ; Se, então. Exemplos: 1)Se tomarmos a desigualdade e multiplicarmos por, obtemos. No entanto, se multiplicarmos por, obtemos. 2)Resolva a inequação. A ideia é isolar o x, utilizando as regras anteriores. Solução na lousa. Este é um exemplo de inequação do 1º. Grau. 3)Resolva a inequação. Solução: a dica é fatorar o polinômio de 2º grau no lado direito da inequação como produto de dois polinômios de 1º grau:, resolvendo a inequação equivalente: As raízes e do polinômio dividem a reta real em três intervalos: Basta analisar o sinal de cada fator do polinômio em cada intervalo e utilizar a regra do produto para determinar o sinal do polinômio. Solução na lousa. Este é um exemplo de inequação do 2º. Grau. Um método alternativo é utilizar o fato de que o gráfico da função polinomial de 2º grau é uma parábola e resolvermos a inequação geometricamente. Solução na lousa. 4)Resolva a inequação. Dica: reescreva a inequação como, fatore o polinômio do 3º grau e proceda como no exemplo anterior. 20

21 VALOR ABSOLUTO: O valor absoluto ou módulo de um número x, denotado, é a distância de até na reta real. Note que, por ser distância, o módulo é positivo, isto é,, para todo número. Exemplos na lousa. A definição algébrica de valor absoluto é: { Reforçamos a caracterização geométrica do módulo em termos de distância. De uma forma geral, Em particular, Exemplos: 1)Resolva a equação modular. Solução: basta pensarmos em termos de distância: procuro todos os valores cuja distância até é. Olhando na reta real, verificamos que só pode ser ou. Obs.: a solução algébrica da equação é obtida fazendo. Tiramos o módulo obtendo duas soluções e, cujas soluções são e. 2)Expresse Solução na lousa. sem o símbolo de valor absoluto. Propriedades: Suponha que a e b são números reais e n é um inteiro. Então: 1) 2) 3) 4) 21

22 Algumas regras que ajudam a resolver equações e inequações modulares. Seja a um número positivo. a) b) c) d) e) Mais exemplos: 3)Resolva a equação 4)Resolva a inequação Solução na lousa. REFERÊNCIAS: James Stewart, Review of Algebra, Gelson Iezzi e outros, Matemática volume único. Editora Atual. Roberto Ribeiro Paterlini, Aritmética dos números reais, 22

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