Matemática para Ciência de Computadores

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1 Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes [email protected] DCC-FCUP

2 Complexidade 2002/03 1 Inteiros e divisão Definição: Se a e b são inteiros com a 0, dizemos que a divide b se existe um inteiro c tal que b = ac. Quando a divide b dizemos que a é um factor de b e que b é um múltiplo de a. a b denota a divide b. Exercício 1: diga se 3 7 e se Exercício 2: Sejam n e a inteiros positivos. Quantos inteiros positivos que não excedem n dividem a?

3 Complexidade 2002/03 2 Divisão Seja a um inteiro e d um inteiro positivo. Então existem inteiros q e r únicos, com 0 r < q, tal que a = dq + r. Na equação anterior: d é o divisor. a é o dividendo. q é o quociente (q = a div d). r é o resto (r = a mod d).

4 Complexidade 2002/03 3 Divisão: exemplo Quando dividimos 17 por 5, temos: 5 é o divisor. 17 é o dividendo. 3 é o quociente (3 = 17 div 5). 2 é o resto (2 = 17 mod 5).

5 Complexidade 2002/03 4 Divisão: exemplo Quando dividimos 11 por 3, temos: 3 é o divisor. -11 é o dividendo. -4 é o quociente ( 4 = 11 div 3). 1 é o resto (1 = 11 mod 3). Note que o resto não pode ser negativo!

6 Complexidade 2002/03 5 Divisibilidade propriedades Teorema: Sejam a,b e c inteiros. Então: 1. se a b e a c, então a (b + c). 2. se a b, então a bc para todo o inteiro c. 3. se a b e b c, então a c. Provas: 1. Suponhamos que a b e a c, então por definição existem inteiros s e t tais que b = as e c = at. Logo b + c = as + at = a(s + t)

7 Complexidade 2002/03 6 Números primos Definição: um inteiro positivo maior do que 1 é chamado número primo se os únicos factores positivos de p são 1 e p. Um inteiro positivo maior do que 1 que não seja primo é chamado de composto. Exercício 1: dos seguintes números identifique os primos, 3, 7, 9, 11 e 14. Teorema fundamental da aritmética todo o inteiro positivo maior do que 1 pode ser escrito de forma única como o produto de dois ou mais primos. Exercício 2: Determine a factorização em números primos de: 100, 641, 999 e 1024.

8 Complexidade 2002/03 7 Números primos Teorema: Se n é um inteiro composto, então n tem um divisor primo menor ou igual a n. Prova: Se n é um número composto, tem um factor a com 1 < a < n. Logo n = ab com a e b inteiros positivos maiores do que 1. Então a n ou b n, caso contrário ab > n n = n. Logo n tem um factor menor do que n, este factor ou é um número primo ou usando o teorema fundamental da aritmética pode ser decomposto num produto de números primos.

9 Complexidade 2002/03 8 Visão crítica do resultado anterior Um inteiro é um número primo se não for divisível por nenhum número primo menor ou igual a sua raíz quadrada.

10 Complexidade 2002/03 9 Exercícios 1. Qual o quociente e o resto da divisão de 19 por 7? 2. Mostre que se a, b e c são inteiros tais que ac bc então a b. 3. Mostre que 101 é um número primo. 4. Determine a factorização de 7007.

11 Complexidade 2002/03 10 Quantos números primos? Teorema: Existe uma infinidade de números primos. Prova:Sup. que existe um número finito de primos p 1, p 2,..., p n. Seja Q = p 1 p 2... p n + 1 T. F. A. Q é primo ou pode ser escrito como o produto de dois ou mais primos. Contudo, nenhum dos primos p i divide Q, senão p i (Q p 1 p 2... p n = 1). O que é uma contradição, visto que assumimos que p 1, p 2,..., p n listava todos os primos. Logo existe uma infinidade de números primos.

12 Complexidade 2002/03 11 Máximo divisor comum Definição: Sejam a e b inteiros diferentes de zero. O maior inteiro d tal que d a e d b é chamado de máximo divisor comum de a e b, d = mdc(a, b). Exercício 1: Calcule mdc(24, 36). Exercício 2: Calcule mdc(22, 17). Definição: Os inteiros a e b são primos relativos se o seu máximo divisor comum é 1.

13 Complexidade 2002/03 12 Máximo divisor comum Uma outra forma de determinar o máximo divisor comum é factorizar os inteiros a = p a 1 1 pa pa n n b = p b 1 1 pb pb n n todos os números primos presentes na factorização de a e b estão presentes na fórmula anterior. Então mdc(a, b) = p min(a 1,b 1 ) 1 p min(a 2,b 2 ) 2...p min(a n,b n ) n Exercício 1: Calcule mdc(120, 500).

14 Complexidade 2002/03 13 Mínimo múltiplo comum Definição: Sejam a e b inteiros positivos, o mínimo múltiplo comum entre a e b é o menor inteiro que é divisível por a e por b, mmc(a, b). Se a = p a 1 1 pa pa n n b = p b 1 1 pb pb n n todos os números primos presentes na factorização de a e b estão presentes na fórmula anterior. Então mmc(a, b) = p max(a 1,b 1 ) 1 p max(a 2,b 2 ) 2...p max(a n,b n ) n Exercício 1: Calcule mmc(120, 500).

15 Complexidade 2002/03 14 Mínimo múltiplo comum Teorema: Sejam a e b inteiros positivos. Então ab = mdc(a, b)mmc(a, b)

16 Complexidade 2002/03 15 Aritmética modular Definição: Sejam a e b inteiros e m um inteiro positivo, dizemos que a é congruente com b modulo m se m divide a b, a b (mod m). Teorema: Sejam a e b inteiros e m um inteiro positivo. Então a b (mod m) se e só se a mod m = b mod m. Exercício 1: determine se 17 é congruente com 5 modulo 6.

17 Complexidade 2002/03 16 Exercícios 1. Quais os inteiros positivos menores do que 12 são primos relativos com 12? 2. Seja m um inteiro positivo. mostre que a b (mod m) se a mod m = b mod m. 3. Determine: mdc(1000, 645), mmc(1000, 645). 4. Calcule 17 mod 2, e 144 mod 7.