Matemática para Ciência de Computadores

Transcrição

1 Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP

2 Complexidade 2002/03 1 Representação de Relações Definição: Uma relação binária de um conjunto A num conjunto B é um subconjunto R A B. Definição: Um grafo dirigido, D, de A em B é uma coleção de vértices V A cupb e uma colecção de ramos R A B. Se (X, y) R então existe uma arco ou ramo de x para y em D. Matrizes Seja R uma relação entre A = {a 1, a 2,..., a m } e B = {b 1, b 2,..., b n }. R pode ser representada pela matriz M R = {m ij, onde m ij = { 1 se (ai, b j ) R 0 se (a i, b j ) R

3 Complexidade 2002/03 2 Propriedades de relações (sob a forma matricial) Reflexividade R é reflexiva em A se (a, a) R para todo o a A. Ou seja se todos os elementos da diagonal principal forem iguais a 1. R a b c d a 1 b 1 c 1 d 1

4 Complexidade 2002/03 3 Exemplos Diga, justificando, se a seguinte relação R é reflexiva. R a b c a b c 0 1 1

5 Complexidade 2002/03 4 Propriedades de relações (sob a forma matricial) Reflexividade R é reflexiva em A se (a, a) R para todo o a A. Simetria R é simétrica em A se (a, b) R implica que (b, a) R. R é simétrica se m ij = m ji, i, j. Ou seja R é simétrica se M R = (M R ) t.

6 Complexidade 2002/03 5 Exemplos Diga, justificando, se a seguinte relação R é simétrica. R a b c a b c 0 1 1

7 Complexidade 2002/03 6 Grafos dirigidos: reflexividade a b c

8 Complexidade 2002/03 7 Grafos dirigidos: simetria a b c

9 Complexidade 2002/03 8 Grafos dirigidos: transitividade a b c

10 Complexidade 2002/03 9 Fecho reflexivo A relação R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2)} em A = {1, 2, 3} não é reflexiva. Problema determinar a menor relação reflexiva contendo R. Resposta adiciaonar os pares (2, 2) e (3, 3). O fecho reflexivo de uma relação R num conjunto A pode ser formado adicionando a R todos os pares da forma (a, a) com a A.

11 Complexidade 2002/03 10 Exercícios Qual o fecho reflexivo da relação R = {(a, b) : a < b} no conjunto dos naturais.

12 Complexidade 2002/03 11 Fecho simétrico A relação R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} em A = {1, 2, 3} não é simétrica. Problema determinar a menor relação simétrica contendo R. Resposta adiciaonar os pares (2, 1) e (1, 3). O fecho simétrico de uma relação R num conjunto A pode ser formado considerando a união da relação com o seu inverso, i.e, R R 1 é o fecho simétrico de R. (R 1 = {(b, a) : (a, b) R})

13 Complexidade 2002/03 12 Exercícios Qual o fecho simétrico da relação R = {(a, b) : a < b} no conjunto dos naturais.

14 Complexidade 2002/03 13 Fecho transitivo A relação R = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (3, 2)} em A = {1, 2, 3, 4} não é transitiva. Problema determinar a menor relação transitiva contendo R. Resposta adiciaonar os pares (1, 2), (2, 3), (2, 4) e (3, 1)? Não... na relação resultante estão os seguintes pares (3, 1) e (1, 4) mas não está (3, 4).

15 Complexidade 2002/03 14 Caminhos em grafos dirigidos. Definição: Um grafo dirigido, D, de A em B é uma coleção de vértices V A cupb e uma colecção de ramos R A B. Se (X, y) R então existe uma arco ou ramo de x para y em D. Definição: Seja R uma relação num conjunto A. Existe um caminho de tamanho n N de a para b se e só se (a, b) R n.

16 Complexidade 2002/03 15 Fecho transitivo Definição: Seja R uma relação num conjunto A. A relação de conectividade R é constituida por todos os pares (a, b) para os quais existe um caminho de tamanho pelo menos 1 de a para b em R. R = n=1r n. Teorema: o fecho transitivo de uma relação R é igual a relação de conectividade.

17 Complexidade 2002/03 16 Exemplo Seja R a relação no conjunto de todas as pessoas do mundo que contém o par (a, b) se a conhece b. Qual a relação R n, com n N? e R?

18 Complexidade 2002/03 17 Fecho transitivo Teorema: o fecho transitivo de uma relação R é igual a relação de conectividade. Lema: Seja A um conjunto com n elementos, e seja R uma relação em A. Se existe um caminho de tamanho pelo menos 1 de a para b, então existe um caminho de tamanho menor ou igual a n.

19 Complexidade 2002/03 18 Fecho transitivo Definição: Seja A = [a ij ] uma m k matriz 0, 1 e B = [b ij ] uma k n matriz 0, 1. o produto Booleano de A por B, A B, é a matriz m n com c ij = (a i1 b 1j ) (a i2 b 2j )...(a ik b kj ) Teorema: Seja M R uma matriz 0, 1 de uma relação R num conjunto com n elementos. A matriz 0, 1 da relação R é dada por M R = M R M 2 R M 3 R... M n R