Recordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I.

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1 Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Detalhes sobre a Secção.3 dos Apontamentos das Aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: LMAC, MEBiom e MEFT (semestre, 0/0, Prof. Paulo Pinto) Recordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q I. Observação i) Se Q é uma matriz ortogonal, então Q é invertível, Q Q T, det(q) ± e portanto a transposta Q T também é ortogonal QQ T I. ii) Seja {v, v,, v n } uma base ortonormada de R n quando munido com o produto interno usual. Seja ainda Q a matriz cuja coluna i é o vector v i (com i,,, n). Então Q é ortogonal e podemos resumidamente escrever. v v n matriz ortogonal {v,...v n } base ortonormada de R n. com o p.i. usual. Definição Seja A [a ij ] M n n (C). A matriz A cuja entrada (i, j) é dada por a ji é habitualmente designada pela matriz transconjudada de A; i.e. A A T. Dizemos que a matriz A é. normal se AA A A,. hermitiana se A A, 3. anti-hermitiana se A A, 4. unitária A for invertível e se A A. Se A tiver entradas em R, então a matriz A diz-se normal, simétrica, anti-simétrica e ortogonal, respectivamente. Temos (A ) A e (αab) αb A e A M n n (C) hermitiana ou anti-hermitiana ou unitária A normal. A M n n (R) simétrica ou anti-simétrica ou ortogonal A normal. 0 Note que A 0 é normal AA A A mas não é unitária nem (anti)hermitiana! 0 Seja K R ou K C. Usando a definição de A juntamente com o produto interno usual em K n, dado por podemos provar o seguinte resultado fulcral. u, v x y x n y n com u (x,..., x n ), v (y,..., y n ), Teorema 3 Au, v u, A v para quaisquer u, v K n. Prova Sejam u (x,..., x n ) e v (y,..., y n ). Usando a definição de produto interno usual e produto matricial, temos Au, v x y A.,. (Au) i y i a ij x j y i ( ). x n y i i j n Analogamente, u, A v i x i (A v) i i x i (A ) ij y j j i que é a expressão em (*), efectuando a troca de i com j. Q.E.D. x i a ji y j j i Teorema 4. λ valor próprio de A se e só se λ valor próprio de A (i.e. σ A σ A ). a ji x i y j, j

2 . A normal se e só se Au, Av A u, A v para quaisquer u, v. 3. A hermitiana se e só se Au, v u, Av para quaisquer u, v. 4. A unitária se e só se Au, Av u, v para quaisquer u, v. 5. A hermitiana, então os valores próprios de A são todos reais.. A unitária então os valores próprios de A têm modulo, isto é λ para qualquer valor próprio λ de A. 7. Se A é normal, vectores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais. 8. Se A é normal, então Au λu se e só se se A u λu. Prova:. Uma vez que p A (λ) det(a λi) det(a T λi) det((a λi) T ) det(a λi) det(a λi) det(a λi) p A (λ), temos p A (λ) p A (λ); logo λ é valor próprio de A sse λ é valor próprio de A.. Observe que se AA A A, então pelo Teorema 3 temos Au, Av u, A Av u, AA v A u, A v. Reciprocamente, novamente pelo Teorema 3 e hipótese temos AA u, A Au A u, A A Au Au, AA Au A Au, A Au e analogamente A Au, AA u AA u, AA u. Assim podemos facilmente calcular e concluir que (A A AA )u (A A AA )u, (A A AA )u 0 logo (A A AA )u 0 para todo o u, i.e. A A AA Trivial pelo Teorema Se A é uma matriz unitária então temos Au, Av u, A Av u, A Av u, v, como pretendido. Reciprocamente, a hipótese implica que Au u para todo o u (fazendo u v), logo N (A) {0} e portanto A é invertível. Por outro lado, (A A I)u, v A Au, v u, v 0, para quaisquer u, v. logo A A I Seja λ um valor próprio de A e u um vector próprio associado: Au λu. Então usando a parte 3) deste Teorema temos λu λ u, u λu, u Au, u u, Au u, λu λ u, u λu, logo λ λ (i.e. λ R).. Seja λ um valor próprio de A e u um vector próprio associado: Au λu. Então temos λλu λλ u, u λu, λu Au, Au u, u u, logo λλ. 7 Sejam u e v vectores próprios de A associados a valores próprios λ e λ distintos, respectivamente. Assim temos Au λ u e Av λ v e portanto, (λ λ ) u, v λ u, v u, λ v Au, v u, A v 0, onde usamos a parte ) deste teorema assim como o Teorema 3. Como λ λ podemos concluir que u, v Sendo A normal, pela parte ) deste teorema podemos concluir que Au A u para todo o vector u. Mais, podemos verificar que A λi também é uma matriz normal, para todo o escalar λ. Assim se Au λu temos 0 (A λi)u (A λi) u (A λi)u o que prova que u é um vector próprio de A associado ao valor próprio λ sse u é um vector de A associado ao valor próprio λ. Q.E.D. Como caso particular, temos o seguinte para matrizes reais.

3 Teorema 5 Seja A M n n (R) e considere o p.i. usual em R n.. temos Au, v u, A T v para quaisquer u, v R n,. Os valores próprios de uma matriz simétrica são todos reais. Mais, se u for um vector próprio de uma matriz simétrica então u R n. 3. Se A fôr simétrica, então vectores próprios associados a valores próprios diferentes são ortogonais (e portanto linearmente independentes). Prova. É um caso particular do Teorema 3 e 3. Segue pela parte 7) do Teorema 4.. Os valores próprios de uma matriz (real) simétrica são reais resulta, como caso particular, da parte ) do Teorema 4. Ora se λ R e A também tem entradas em R, então os vectores em N (A λi) são vectores em R n. O conceito de matriz transconjugada/transposta indica-nos como construir transformações lineares em espaços euclideanos gerais. Lema (Teorema de representação de Riesz) Seja E um espaço euclidiano de dimensão finita sobre K e Φ : E K uma transformação linear. Então existe um e um só u 0 E tal que Φ(u) u, u 0, para todo o u E. Prova: Se Φ(u) 0 para todo u E então podemos escolher u 0 : 0. Se Φ 0, seja M : N (Φ) {u E : Φ(u) 0}. Claro que M é um subespaço linear de E e M E pois Φ 0. Seja y M. Então Φ(y) c 0 seja z c y, pelo que Φ(z). Para qualquer u E, temos Φ(u)z u M logo Φ(u)z u z, portanto Φ(u)z u, z 0, u E. Esta equação pode ser escrita como Φ(u) u, z pelo que basta escolher u z 0 : z, o que prova a existência. z Quanto à unicidade, sejam u 0 e u tais que u, u 0 u, u para todo u E. Assim u, u 0 u 0 para todo u E, i.e. u 0 u E {0}. Q.E.D. Seja E for um espaço euclidiano de dimensão finita sobre K e T : E E uma transformação linear. Teorema 7 (Transformação linear adjunta) Sendo E um espaço euclidiano de dimensão finita, a equação T (u), v u, T (v), () para quaisquer u, v E define unicamente uma transformação linear T : E E (a transformação adjunta de T ). Prova: Para cada v E seja L v : E K definido por L v (u) T (u), v. Claro que L v é uma transformação linear, logo pelo Lema existe um único vector (designado por T (v) ) tal que L v (u) u, T (v). Fica assim construída uma função T : E E obedecendo à Eq. (). Falta provar que T é uma transformação linear. Ora, isto resulta da Eq. () porque u, T (λv + v ) T (u), λv + v λ T (u), v T (u), v λ u, T (v ) + u, T (v ) u, λt (v ) + T (v ) logo T (λv + v ) λt (v ) + T (v ) para λ K, v, v E. Q.E.D. Observação 8. Seja A M n n (K) e T : K n K n a transformação linear definida por T (u) Au; então T (u) A u se o produto interno em K n for o produto interno usual. Assim a transformação adjunta T é uma generalização de matriz transconjugada.. Podemos definir o que é uma transformação normal T T T T, hermíteana..., exactamente como o fizemos no caso das matrizes na Definição. 3. Mais, os resultados do Teorema 4 continuam válidos com as mesmas demonstrações para o contexto de transformações adjuntas (substituindo A por T e A por T ) num espaço euclidiano qualquer de dimensão finita!! podemos remover a restrição de E ser de dimensão finita, mas para tal precisamos de desenvolver o conceito de continuidade para transformações lineares, e é para essas transformações lineares que o Lema e a Eq. () continuam válidos! 3

4 Claro que (T ) T e se v,..., v n for base ortonormada de E; é fácil ver que essa transformação T é dada por T (u) u, T (v i ) v i () Teorema 9 Seja T : E E uma transforma cão linear num espaço euclidiano E de dimensão finita com coeficientes em K. Então as seguintes afirmações são equivalentes:. Existe uma base ortonormada de E constituída por vectores próprios de A.. T é normal e os seus valores próprios pertencem a K. Dem.: Prova de ) ). Seja v,..., v n uma base de E formada por vectores próprios de T. Temos então T (v i ) λ i v i com λ i K. A matriz de T nessa base (ordenada) é portanto a matriz diagonal λ 0 D λ n pelo que o polinómio característico de T é p(λ) det(d λi) ( ) n (λ λ )(λ λ ) (λ λ n ). Sendo então {λ,.., λ n } os valores próprios de T, que estão em K. Admitindo agora que essa base v,..., v n é ortonormada, temos que para u ξ v ξ n v n e v η v η n v n (com os coeficientes em K): T (u), T (v) ξ T (v ) ξ n T (v n ), η T (v ) η n T (v n ) ξ λ v +...ξ n λ n v n, η λ v +...η n λ n v n ξ i λ i λj η j v i, v j ξ i λ i λi η i. i,j Por outro lado, usando a equação () temos: T (u), T (v) n u, T (v i ) v i, v, T (v j ) v j j u, T (v i ) v, T (v j ) v i, v j i,j u, λ i v i v, λ i v i u, T (v i ) v, T (v i ) λ i λ i u, v i v, v i λ i λ i ξ v ξ n v n, v i η v η n v n, v i λ i λ i ξ i η i. Ou seja T (u), T (v) T (u), T (v) e portanto T é normal. Prova de ) ). Vamos mostrar, utilizando o método de indução, que existe uma base própria de E, relativa a T que é ortonormada. Se dim(e), não há nada a provar. Suponhamos que o enunciado é válido para dim(e) n 0 e vamos provar que o resultado também é válido para dim(e) n. Seja λ K um valor próprio de T e seja v 0 tal que T (v ) λ v e ponha-se w v v ; pelo que w. Seja F L({v }) o complemento ortogonal do espaço gerado pelo vector v em E; portanto dim(f ) n. Provamos que T (F ) F (para tal basta verificar que T (v), v 0 para todo v F, o que é de facto acontece usando a definições de T e de F ). Pelo que a restrição T F é uma transformação linear de F para F. Ora essa restrição T F continua a ser uma transformação linear normal, pelo que pela hipótese de indução, existe uma base ortonormada w,..., w n de F formada por vectores próprios de T F. É claro que então w, w,..., w n é uma base ortonormada de E de vectores próprios de T. Q.E.D. Usando o produto interno usual em K n e a transformação definida à custa da matriz T (u) Au, temos a seguinte consequência do Teorema 9. 4

5 Corolário 0. (Matrizes unitariamente diagonalizáveis) A matriz normal existe uma base ortonormada de C n constituida por vectores próprios de A.. (Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis) A real e simétrica os valores próprios de A são reais e existe uma base ortonormada de R n constituida por vectores próprios de A. Observação Nas condições deste Corolário 0:. A unitariamente diagonalizável existe uma matriz diagonal D e uma matriz unitária U tais que D UAU.. A ortogonalmente diagonalizável existe uma matriz diagonal real D e uma matriz ortogonal Q tais que D QAQ T. 3. A matriz real tal que AA T A T A então A é unitariamente diagonalizável[ porque A] é matriz normal. No 0 entanto, A poderá não ser ortogonalmente diagonalizável! por exemplo A é normal AA 0 T I A T A no entanto σ A {±i} e os vectores próprios são vectores com entradas em C e não em R. Procedimento para diagonalizar ortogonalmente uma matriz A M n n (R) simétrica. Calcule os valores prṕrios λ,..., λ n de A e determine uma base para cada espaço próprio de A.. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a cada base de cada de espaços próprio de A. Temos assim uma base ortogonal de R n constituída por vetores próprios de A. Normalize esta base, construindo assim uma base {v,..., v n } ortonormada de R n constituída por vetores próprios. 3. Seja Q T a matriz cuja coluna i é o vector v i e D a matriz diagonal cuja entrada (i, i) é o valor próprio λ i de A associado ao vector próprio v i, com i {,..., n}. 4. A teoria garante que D QAQ T. 4 Exemplo Seja A 4. Como A é simétrica sabemos que existe uma matriz ortogonal Q e uma 4 matriz diagonal D tais que D QAQ T. Vamos então construir Q T, D e naturalmente Q (Q T ) T. ) o polinómio característico de A é p(λ) det(a λi) det 4 λ 4 λ 4 λ... (λ ) (λ 8), pelo que os valores próprios de A são λ (raiz dupla) e λ 8 (raiz simples). O espaço próprio associado a λ é E N (A I) cujos vectores u (,, 0), u (, 0, ) forma uma base de E. O espaço próprio associado a λ 8 é E 8 N (A 8I) e o vector u 3 (,, ). ) Aplicando o processo de Gram-Schmidt às bases {u, u } e {u 3 } e depois normalizando, obtém-se: v (, 3) Então temos D , 0 ), v (,,, Q T ), v3 ( 3, 3, 3 ). e Q (Q T ) T e 4) sem fazer cálculos D QAQ T. 5

6 Teorema 3 Seja B {v,..., v n } uma base ordenada num espaço linear real E, A matriz n n real e u B as coordenadas do vector u na base B. Então u, v : [ u B ]A v B define um produto interno em E se e só se A A T (matriz simétrica) e σ A R + (os valores próprios de A são todos estritamente positivos). Prova: i) O axioma da linearidade verifica-se sem nenhuma restrição; nomeadamente λu + v, w [ (λu + vu) B ]A w B λ[ u B ]A w B + [ v B ]A w B λ u, w + v, w. ii) Vejamos o axioma da simetria. Ora [ u B ]A v B é uma matriz logo simétrica, portanto u, v [ u B ]A v B ( [ u B ]A v B ) T [ vb ]A T u B, Portanto u, v v, u sse A A T. ii) Vejamos o axioma da positividade ( u, u > 0, u 0). Note que u, u [ u B ]A u B [ u B ] A + AT u B e A+AT é sempre matriz simétrica. Assim, podemos assumir que A é simétrica. Pelo Corolário 0 a matriz A é ortogonalmente diagonalizável: D QAQ T com D diag(λ,..., λ n ) matriz diagonal e Q matriz ortogonal. Dado u E seja cada x u B e y Qx. Assim u, u [ x ]A x [ x ]Q T DQ x [ y ]D y λ i yi. Como n λ iy i > 0 para todo y (y,..., y n ) sse λ > 0,..., λ n > 0 podemos concluir que o axioma da positividade é equivalente à positividade de todos os valores próprios da matriz simétrica A. Q.E.D. O resultado análogo a este teorema para produtos internos em espaços lineares sobre C é óbvio: A A e σ A R +. Exemplo 4 Vamos provar que (x, x x 3 ), (y, y, y 3 ) 4x y + x y + x y + x y 3 + x 3 y + 4x y + x y 3 + x 3 y + 4x 3 y 3, define um produto interno em R 3. Ora (x, x x 3 ), (y, y, y 3 ) [ ] 4 y x x x 3 4 y, como a 4 y 3 matriz é simétrica, falta somente verificar que os valores próprios de A são estritamente positivos (pelo Teorema 3)! Todavia pelo Exemplo : σ A {,, 8} R +. Portanto (*) define um produto interno em R 3. Teorema 5 Seja Q : R n R a forma quadrática Q(x) a ij x i x j associada a uma matriz A [a ij ] real e simétrica. Então Q é: definida positiva (Q(x) > 0, x 0) sse σ A R + semi-definida definida positiva (Q(x) 0, x e Q(x) 0 para algum x 0) sse 0 σ A R + 0 definida negativa (Q(x) < 0, x 0) sse σ A R semi-definida negativa (Q(x) 0, x e Q(x) 0 para algum x 0) sse 0 σ A R 0 indefinida ( x : Q(x) > 0 e y : Q(y) < 0) sse A tem valores prṕrios positivos e negativos. Exemplo A forma quadrática Q definida usando a matriz da métrica A de um p.i. u, v uav T é uma forma quadrática definida positiva, pois Q(u) u, u.