Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares
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- Maria Castro Imperial
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1 Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 46 DeMat-ESTiG
2 Sumário Método da Matriz Inversa Representação Matricial de um Sistema Cálculo da Matriz Inversa Matemática I 2/ 46 DeMat-ESTiG
3 Sumário Método da Matriz Inversa Representação Matricial de um Sistema Cálculo da Matriz Inversa Método de Cramer Matemática I 2/ 46 DeMat-ESTiG
4 Sumário Método da Matriz Inversa Representação Matricial de um Sistema Cálculo da Matriz Inversa Método de Cramer Método de Eliminação de Gauss Matemática I 2/ 46 DeMat-ESTiG
5 Sumário Método da Matriz Inversa Representação Matricial de um Sistema Cálculo da Matriz Inversa Método de Cramer Método de Eliminação de Gauss Classificação dos sistemas Classificação Matemática I 2/ 46 DeMat-ESTiG
6 Motivação Exemplo 1: aplicação de sistemas de equações lineares Uma empresa de transportes marítimos transporta as suas mercadorias em caixas de 3 tipos, designados por A, B e C, dispondo igualmente de 3 tipos de contentores, designados por I, II e III, que podem transportar as seguintes quantidades de caixas: A B C I II III Quantas caixas de cada tipo (x 1, x 2 e x 3 ) deve a empresa preparar para o caso de ter ao seu dispor 42 contentores do tipo I, 27 do tipo II ou 33 do tipo III? Matemática I 3/ 46 DeMat-ESTiG
7 Motivação, continuação Exemplo 1: solução é obtida resolvendo o seguinte sistemas 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 42 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 27 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 33 Matemática I 4/ 46 DeMat-ESTiG
8 Motivação, continuação Exemplo 1: solução é obtida resolvendo o seguinte sistemas 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 42 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 27 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 33 Este sistema pode representar-se na forma matricial: 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = Matemática I 4/ 46 DeMat-ESTiG
9 Motivação, continuação Exemplo 1: solução é obtida resolvendo o seguinte sistemas 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 42 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 27 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 33 Este sistema pode representar-se na forma matricial: 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = x 1 x 2 x 3 = Matemática I 4/ 46 DeMat-ESTiG
10 Motivação, continuação Exemplo 1: solução é obtida resolvendo o seguinte sistemas 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 42 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 27 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 33 Este sistema pode representar-se na forma matricial: 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = x 1 x 2 x 3 = Como resolver este sistema? Matemática I 4/ 46 DeMat-ESTiG
11 Representação Matricial de um Sistema O sistema com m equações e n incógnitas pode ser representado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Matemática I 5/ 46 DeMat-ESTiG
12 Representação Matricial de um Sistema O sistema com m equações e n incógnitas pode ser representado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Matemática I 5/ 46 DeMat-ESTiG
13 Representação Matricial de um Sistema O sistema com m equações e n incógnitas pode ser representado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b =... a m1 } a m2... {{ a mn } x n } {{ } b m } {{ } A x b Matemática I 5/ 46 DeMat-ESTiG
14 Representação Matricial de um Sistema O sistema com m equações e n incógnitas pode ser representado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b =... a m1 } a m2... {{ a mn } x n } {{ } b m } {{ } A x b Ax = b Matemática I 5/ 46 DeMat-ESTiG
15 Representação Matricial de um Sistema Equação Matricial Sistema pode ser representado pela equação matricial Ax = b A é a matriz dos coeficientes x é vector da incógnitas (solução so sistema) b é vector dos termos independentes do sistema Matemática I 6/ 46 DeMat-ESTiG
16 Representação Matricial de um Sistema Equação Matricial Sistema pode ser representado pela equação matricial Ax = b A é a matriz dos coeficientes x é vector da incógnitas (solução so sistema) b é vector dos termos independentes do sistema Resolver o sistema consiste em resolver a equação matricial Ax = b em ordem ao vector x Matemática I 6/ 46 DeMat-ESTiG
17 Representação Matricial de um Sistema Equação Matricial Sistema pode ser representado pela equação matricial Ax = b A é a matriz dos coeficientes x é vector da incógnitas (solução so sistema) b é vector dos termos independentes do sistema Resolver o sistema consiste em resolver a equação matricial Ax = b em ordem ao vector x Vamos resolver apenas sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas (m = n), nesse caso a matriz A é quadrada Matemática I 6/ 46 DeMat-ESTiG
18 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que AA 1 = A 1 A = I Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG
19 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG
20 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b A 1 Ax = A 1 b Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG
21 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG
22 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b A solução do sistema é igual à multiplicação da matriz inversa, A 1, pelo vector dos termos independentes, b Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG
23 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b A solução do sistema é igual à multiplicação da matriz inversa, A 1, pelo vector dos termos independentes, b Resolução do sistema passa por calcular A 1 Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG
24 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Adjunta Definição de Matriz Adjunta: Considerando A uma matriz de ordem n, chama-se matriz adjunta de A, e designa-se por adj(a), à matriz de ordem n cujo (j, i)-ésimo elemento é o cofactor (ou complemento algébrico) A ij de a ij : adj (A) = A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n... A n1 A n2 A nn T = A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2... A 1n A 2n A nn Matemática I 8/ 46 DeMat-ESTiG
25 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 2: Matriz Adjunta Calcular a matriz adjunta de A, do Exemplo 1, A = Matemática I 9/ 46 DeMat-ESTiG
26 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 2: Matriz Adjunta Calcular a matriz adjunta de A, do Exemplo 1, A = Começamos por calcular os cofactores A 11 = ( 1) = 0; A 12 = ( 1) = 5 A 13 = ( 1) = 5; A 21 = ( 1) = 9 A 22 = ( 1) = 8; A 23 = ( 1) = 2 A 31 = ( 1) = 6; A 32 = ( 1) = 2 A 33 = ( 1) = 7 Matemática I 9/ 46 DeMat-ESTiG
27 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 2, continuação adj(a) = T = Matemática I 10/ 46 DeMat-ESTiG
28 Cálculo da Matriz Inversa Desenvolvimento de Laplace Se A for quadrada e de ordem n verifica-se que { A se i = k, a i1 A k1 + a i2 A k a in A kn = 0 se i k. Se i = k corresponde ao determinante de A obtido através do desenvolvimento de Laplace segundo a i-ésima linha Caso i k corresponde ao determinante de uma matriz B cuja linha k é substituída pela linha i, que pelas propriedades dos determinantes é nulo Matemática I 11/ 46 DeMat-ESTiG
29 Cálculo da Matriz Inversa Desenvolvimento de Laplace Se A for quadrada e de ordem n verifica-se que { A se i = k, a i1 A k1 + a i2 A k a in A kn = 0 se i k. Se i = k corresponde ao determinante de A obtido através do desenvolvimento de Laplace segundo a i-ésima linha Caso i k corresponde ao determinante de uma matriz B cuja linha k é substituída pela linha i, que pelas propriedades dos determinantes é nulo Matemática I 11/ 46 DeMat-ESTiG
30 Cálculo da Matriz Inversa Desenvolvimento de Laplace Se A for quadrada e de ordem n verifica-se que { A se i = k, a i1 A k1 + a i2 A k a in A kn = 0 se i k. Se i = k corresponde ao determinante de A obtido através do desenvolvimento de Laplace segundo a i-ésima linha Caso i k corresponde ao determinante de uma matriz B cuja linha k é substituída pela linha i, que pelas propriedades dos determinantes é nulo Este resultado pode extender-se ao desenvolvimento de Laplace por coluna { A se j = k, a 1j A 1k + a 2j A 2k a nj A nk = 0 se j k. Matemática I 11/ 46 DeMat-ESTiG
31 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 3: Desenvolvimento de Laplace Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. Desenvolvimento da linha 2 2. Desenvolvimento da linha 2 com os cofactores da 3 a linha 3. Desenvolvimento da coluna 3 com os cofactores da 1 a coluna Matemática I 12/ 46 DeMat-ESTiG
32 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 3: Desenvolvimento de Laplace Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. Desenvolvimento da linha 2 2. Desenvolvimento da linha 2 com os cofactores da 3 a linha 3. Desenvolvimento da coluna 3 com os cofactores da 1 a coluna Respostas: 1. a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 = (3)( 9)+(2)(8)+(2)( 2) = 15 = A Matemática I 12/ 46 DeMat-ESTiG
33 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 3: Desenvolvimento de Laplace Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. Desenvolvimento da linha 2 2. Desenvolvimento da linha 2 com os cofactores da 3 a linha 3. Desenvolvimento da coluna 3 com os cofactores da 1 a coluna Respostas: 1. a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 = (3)( 9)+(2)(8)+(2)( 2) = 15 = A 2. a 21 A 31 + a 22 A 32 + a 23 A 33 = (3)(6) + (2)( 2) + (2)( 7) = 0 Matemática I 12/ 46 DeMat-ESTiG
34 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 3: Desenvolvimento de Laplace Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. Desenvolvimento da linha 2 2. Desenvolvimento da linha 2 com os cofactores da 3 a linha 3. Desenvolvimento da coluna 3 com os cofactores da 1 a coluna Respostas: 1. a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 = (3)( 9)+(2)(8)+(2)( 2) = 15 = A 2. a 21 A 31 + a 22 A 32 + a 23 A 33 = (3)(6) + (2)( 2) + (2)( 7) = 0 3. a 13 A 11 + a 23 A 21 + a 33 A 31 = (2)(0) + (2)( 9) + (3)(6) = 0 Matemática I 12/ 46 DeMat-ESTiG
35 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa A adj(a) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i1 a i2 a in... a n1 a n2 a nn A 11 A 21 A j1 A n1 A 12 A 22 A j2 A n2.... A 1n A 2n A jn A nn Como o (i, j)-ésimo elemento da matriz produto A adj(a) é { A se i = j, a i1 A j1 + a i2 A j a in A jn = 0 se i j Matemática I 13/ 46 DeMat-ESTiG
36 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa, continuação A A 0 A adj(a) = = A 0 0 A = A I n Da mesma forma adj(a) A = A I n adj(a) A = A I n 1 A adj(a) A = I n A 1 A = I n Matemática I 14/ 46 DeMat-ESTiG
37 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa, continuação Se A for uma matriz quadrada de ordem n a sua inversa é A 1 = 1 A adj(a) Matemática I 15/ 46 DeMat-ESTiG
38 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa, continuação Se A for uma matriz quadrada de ordem n a sua inversa é A 1 = 1 A adj(a) A admite inversa se e só se A 0 Matemática I 15/ 46 DeMat-ESTiG
39 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 4: Resolução pelo Método da Matriz Inversa Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. A 1, a matriz inversa de A 2. Resolver o sistema Ax = b, enunciado no Exemplo 1 Matemática I 16/ 46 DeMat-ESTiG
40 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 4: Resolução pelo Método da Matriz Inversa Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. A 1, a matriz inversa de A 2. Resolver o sistema Ax = b, enunciado no Exemplo 1 Respostas: A 1 = 1 A adj(a) = = Matemática I 16/ 46 DeMat-ESTiG
41 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 4: Resolução pelo Método da Matriz Inversa Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. A 1, a matriz inversa de A 2. Resolver o sistema Ax = b, enunciado no Exemplo 1 Respostas: A 1 = 1 A adj(a) = 1 15 x = A 1 b = = = Matemática I 16/ 46 DeMat-ESTiG
42 Componentes do Vector Solução Como vimos anteriormente, a solução dum sistema Ax = b, com n equações e n incógnitas, existe e é única se A 0 e é dada por x = x 1 x 2. x n = A 1 b = A 11 A. A 1i A. A 1n A A 21 A A 2i A A 2n A A n1 A A ni A A nn A b 1 b 2. b n. Matemática I 17/ 46 DeMat-ESTiG
43 Componentes do Vector Solução Como vimos anteriormente, a solução dum sistema Ax = b, com n equações e n incógnitas, existe e é única se A 0 e é dada por x = x 1 x 2. x n = A 1 b = A 11 A. A 1i A. A 1n A Da igualdade anterior verificamos que A 21 A A 2i A A 2n A A n1 A A ni A A nn A b 1 b 2. b n x i = A 1i A b 1 + A 2i A b A ni A b n para (1 i n). Matemática I 17/ 46 DeMat-ESTiG
44 Método de Cramer Seja A i uma matriz obtida de A, substituindo a coluna i por b a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Matemática I 18/ 46 DeMat-ESTiG
45 Método de Cramer Seja A i uma matriz obtida de A, substituindo a coluna i por b a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Calculando A i pelo desenvolvimento de Laplace da i-ésima coluna: A i = b 1 A 1i + b 2 A 2i + + b n A ni Matemática I 18/ 46 DeMat-ESTiG
46 Método de Cramer Seja A i uma matriz obtida de A, substituindo a coluna i por b a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Calculando A i pelo desenvolvimento de Laplace da i-ésima coluna: A i = b 1 A 1i + b 2 A 2i + + b n A ni = x i A Matemática I 18/ 46 DeMat-ESTiG
47 Método de Cramer Seja A i uma matriz obtida de A, substituindo a coluna i por b a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Calculando A i pelo desenvolvimento de Laplace da i-ésima coluna: A i = b 1 A 1i + b 2 A 2i + + b n A ni = x i A Assim concluímos que x i = A i, para i = 1, 2,..., n A Matemática I 18/ 46 DeMat-ESTiG
48 Exemplo 5: Método de Cramer Resolver sistema Ax = b, do Exemplo 1, pelo método de Cramer Matemática I 19/ 46 DeMat-ESTiG
49 Exemplo 5: Método de Cramer Resolver sistema Ax = b, do Exemplo 1, pelo método de Cramer x 1 = A 1 A = = = 3 Matemática I 19/ 46 DeMat-ESTiG
50 Exemplo 5: Método de Cramer Resolver sistema Ax = b, do Exemplo 1, pelo método de Cramer x 1 = A 1 A x 2 = A 2 A = = = = 3 = = 4 Matemática I 19/ 46 DeMat-ESTiG
51 Exemplo 5: Método de Cramer Resolver sistema Ax = b, do Exemplo 1, pelo método de Cramer x 1 = A 1 A x 2 = A 2 A x 3 = A 3 A = = = = = 3 = = 4 = = 5 Matemática I 19/ 46 DeMat-ESTiG
52 Sistemas Equivalentes Dois sistemas dizem-se equivalentes se todas as soluções de um deles (e só essas) forem também soluções do outro. Matemática I 20/ 46 DeMat-ESTiG
53 Sistemas Equivalentes Dois sistemas dizem-se equivalentes se todas as soluções de um deles (e só essas) forem também soluções do outro. 1. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por alteração da ordem de duas das suas equações: E i E j Matemática I 20/ 46 DeMat-ESTiG
54 Sistemas Equivalentes Dois sistemas dizem-se equivalentes se todas as soluções de um deles (e só essas) forem também soluções do outro. 1. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por alteração da ordem de duas das suas equações: E i E j 2. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por multiplicação de uma das suas equações por um escalar não nulo: E i αe i, com α 0 Matemática I 20/ 46 DeMat-ESTiG
55 Sistemas Equivalentes Dois sistemas dizem-se equivalentes se todas as soluções de um deles (e só essas) forem também soluções do outro. 1. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por alteração da ordem de duas das suas equações: E i E j 2. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por multiplicação de uma das suas equações por um escalar não nulo: E i αe i, com α 0 3. Dois sistemas são equivalentes se a uma das suas equações for adicionado (ou subtraído) um múltiplo de outra equação: E i E i + αe j. Matemática I 20/ 46 DeMat-ESTiG
56 Exemplo 1: Sistemas Equivalentes Os seguintes sistemas são equivalentes E 1 2E 1 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 2x + 2y 2z = 2 2x 3y + z = 4 3x z = 1 x y + z = 1 E 1 E 2 E 3 E 3 E 1 x + y z = 1 2x 3y + z = 4 3x z = 1 x y + z = 1 2x + 2y 2z = 2 2x 3y + z = 4 x 2y + z = 3 x y + z = 1 Matemática I 21/ 46 DeMat-ESTiG
57 Exemplo 1, continuação Operações sobre equações apenas afecta linhas das matrizes A e b, sistema Ax = b é representado, para efeitos de resolução, pela matriz aumentada [A b] L 1 2L L 1 L L 3 L 3 L Matemática I 22/ 46 DeMat-ESTiG
58 Exemplo 1, continuação Operações sobre equações apenas afecta linhas das matrizes A e b, sistema Ax = b é representado, para efeitos de resolução, pela matriz aumentada [A b] L 1 2L L 1 L L 3 L 3 L Estas operações são designadas por operações elementares por linhas Matemática I 22/ 46 DeMat-ESTiG
59 Sistemas Triangulares Os sistemas triangulares são facilmente resolvidos por substituição Matemática I 23/ 46 DeMat-ESTiG
60 Sistemas Triangulares Os sistemas triangulares são facilmente resolvidos por substituição Matemática I 23/ 46 DeMat-ESTiG
61 Sistemas Triangulares Os sistemas triangulares são facilmente resolvidos por substituição Se A é triangular superior os elementos abaixo da diagonal principal são nulos: a ij = 0 para i > j e o sistema Ax = b é resolvido por substituição regressiva n x n = b n /a nn, x i = b i a ij x j /a ii, i = n 1,..., 1 j=i+1 Matemática I 23/ 46 DeMat-ESTiG
62 Sistemas Triangulares Os sistemas triangulares são facilmente resolvidos por substituição Se A é triangular superior os elementos abaixo da diagonal principal são nulos: a ij = 0 para i > j e o sistema Ax = b é resolvido por substituição regressiva n x n = b n /a nn, x i = b i a ij x j /a ii, i = n 1,..., 1 j=i+1 Se A é triangular inferior os elementos acima da diagonal principal são todos nulos: a ij = 0 para i < j e o sistema Ax = b é resolvido por substituição progressiva i 1 x 1 = b 1 /a 11, x i = b i a ij x j /a ii, i = 2,..., n j=1 Matemática I 23/ 46 DeMat-ESTiG
63 Exemplo 2: Sistemas Triangulares Sistema triangular inferior y 1 = 3 2y Ay = b 1 + y 2 = 7 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 17 3y 1 + 4y 2 + y 3 + y 4 = 15 Matemática I 24/ 46 DeMat-ESTiG
64 Exemplo 2: Sistemas Triangulares Sistema triangular inferior y 1 = 3 2y Ay = b 1 + y 2 = 7 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 17 3y 1 + 4y 2 + y 3 + y 4 = 15 Resolvendo por substiutição progressiva obtemos y = [ ] T Matemática I 24/ 46 DeMat-ESTiG
65 Exemplo 2: Sistemas Triangulares Sistema triangular inferior y 1 = 3 2y Ay = b 1 + y 2 = 7 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 17 3y 1 + 4y 2 + y 3 + y 4 = 15 Resolvendo por substiutição progressiva obtemos y = [ ] T Sistema triangular superior 2x 1 + x 2 + x 3 = 3 x Ax = b 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 3 + 2x 4 = 2 2x 4 = 0 Matemática I 24/ 46 DeMat-ESTiG
66 Exemplo 2: Sistemas Triangulares Sistema triangular inferior y 1 = 3 2y Ay = b 1 + y 2 = 7 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 17 3y 1 + 4y 2 + y 3 + y 4 = 15 Resolvendo por substiutição progressiva obtemos y = [ ] T Sistema triangular superior 2x 1 + x 2 + x 3 = 3 x Ax = b 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 3 + 2x 4 = 2 2x 4 = 0 Resolvendo por substituição progressiva obtemos x = [ ] T Matemática I 24/ 46 DeMat-ESTiG
67 Método de Gauss 1. Reduzir o sistema à forma triangular através de operações elementares por linhas Matemática I 25/ 46 DeMat-ESTiG
68 Método de Gauss 1. Reduzir o sistema à forma triangular através de operações elementares por linhas 2. Resolver o sistema triangular por substituição Matemática I 25/ 46 DeMat-ESTiG
69 Método de Gauss 1. Reduzir o sistema à forma triangular através de operações elementares por linhas 2. Resolver o sistema triangular por substituição Este método é por vezes designado por método de eliminação de Gauss, pois consiste em eliminar as incógnitas das equações até se poder resolver o sistema por substituição Matemática I 25/ 46 DeMat-ESTiG
70 Exemplo 3: Método de Eliminação de Gauss 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 Matemática I 26/ 46 DeMat-ESTiG
71 Exemplo 3: Método de Eliminação de Gauss 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = x y = 1 1 z Matemática I 26/ 46 DeMat-ESTiG
72 Exemplo 3: Método de Eliminação de Gauss 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 A matriz aumentada é igual a x y = 1 1 z Matemática I 26/ 46 DeMat-ESTiG
73 Exemplo 3: Método de Eliminação de Gauss 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 A matriz aumentada é igual a x y = 1 1 z L 1 L Matemática I 26/ 46 DeMat-ESTiG
74 Exemplo 3, continuação L 2 L 2 2L1 L 3 L 3 3L1 L 4 L 4 + L Matemática I 27/ 46 DeMat-ESTiG
75 Exemplo 3, continuação L 2 L 2 2L1 L 3 L 3 3L1 L 4 L 4 + L L 3 L 3 (3/5)L /5 2/ Matemática I 27/ 46 DeMat-ESTiG
76 Exemplo 3, continuação L 2 L 2 2L1 L 3 L 3 3L1 L 4 L 4 + L L 3 L 3 (3/5)L /5 2/ Terminada a primeira faze vamos proceder à substituição regressiva x + y z = 1 5y + 3z = 6 1/5z = 2/5 0 = 0 Matemática I 27/ 46 DeMat-ESTiG
77 Exemplo 3, continuação L 2 L 2 2L1 L 3 L 3 3L1 L 4 L 4 + L L 3 L 3 (3/5)L /5 2/ Terminada a primeira faze vamos proceder à substituição regressiva x + y z = 1 5y + 3z = 6 1/5z = 2/5 0 = 0 x + y z = 1 5y + 3(2) = 6 z = 2 Matemática I 27/ 46 DeMat-ESTiG
78 Exemplo 3, continuação x + y z = 1 y = 0 z = 2 Matemática I 28/ 46 DeMat-ESTiG
79 Exemplo 3, continuação x + y z = 1 y = 0 z = 2 x = 1 y = 0 z = 2 Matemática I 28/ 46 DeMat-ESTiG
80 Exemplo 3, continuação x + y z = 1 y = 0 z = 2 x = 1 y = 0 z = 2 x = 1 y = 0 z = 2 Matemática I 28/ 46 DeMat-ESTiG
81 Método de Gauss-Jordan 1. Anular todos os coeficientes situados fora da diagonal principal Matemática I 29/ 46 DeMat-ESTiG
82 Método de Gauss-Jordan 1. Anular todos os coeficientes situados fora da diagonal principal 2. Assegurar que todos os coeficientes da diagonal principal são unitários. Matemática I 29/ 46 DeMat-ESTiG
83 Método de Gauss-Jordan 1. Anular todos os coeficientes situados fora da diagonal principal 2. Assegurar que todos os coeficientes da diagonal principal são unitários. Este método consiste em manter apenas uma incógnita por equação, eliminado as restantes, de maneira a obter directamente a solução do sistema Matemática I 29/ 46 DeMat-ESTiG
84 Exemplo 4: Método de Gauss-Jordan Sistema do exemplo 4 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 Matemática I 30/ 46 DeMat-ESTiG
85 Exemplo 4: Método de Gauss-Jordan Sistema do exemplo 4 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 é equivalente a outro que pode ser representado pela matriz aumentada Matemática I 30/ 46 DeMat-ESTiG
86 Exemplo 4: Método de Gauss-Jordan Sistema do exemplo 4 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 é equivalente a outro que pode ser representado pela matriz aumentada L 1 L 1 + L L 2 L 2 3L Matemática I 30/ 46 DeMat-ESTiG
87 Exemplo 4, continuação L 2 ( 1/5)L Matemática I 31/ 46 DeMat-ESTiG
88 Exemplo 4, continuação L 2 ( 1/5)L L 1 L 1 L Matemática I 31/ 46 DeMat-ESTiG
89 Exemplo 4, continuação L 2 ( 1/5)L que corresponde ao sistema L 1 L 1 L 2 x = 1 y = 0 z = Matemática I 31/ 46 DeMat-ESTiG
90 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Se A uma matriz n n, procuramos uma matriz B tal que AB = BA = I n Matemática I 32/ 46 DeMat-ESTiG
91 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Se A uma matriz n n, procuramos uma matriz B tal que AB = BA = I n Colunas de B denotadas por x j, isto é B = [x 1 x 2... x n], com b 1j b 2j x j = (1 j n). b nj Matemática I 32/ 46 DeMat-ESTiG
92 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Se A uma matriz n n, procuramos uma matriz B tal que AB = BA = I n Colunas de B denotadas por x j, isto é B = [x 1 x 2... x n], com b 1j b 2j x j = (1 j n). b nj Denotamos colunas de I n por e j, tal que I n = [e 1 e 2... e n], com e 1 =., e 2 =.,, en = Matemática I 32/ 46 DeMat-ESTiG
93 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan, continuação Temos que AB = A [x 1 x 2... x n ] = [Ax 1 Ax 2... Ax n ] Matemática I 33/ 46 DeMat-ESTiG
94 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan, continuação Temos que AB = A [x 1 x 2... x n ] = [Ax 1 Ax 2... Ax n ] Por outro lado queremos determinar B tal que AB = I n, isto é [Ax 1 Ax 2... Ax n ] = [e 1 e 2... e n ] Matemática I 33/ 46 DeMat-ESTiG
95 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan, continuação Temos que AB = A [x 1 x 2... x n ] = [Ax 1 Ax 2... Ax n ] Por outro lado queremos determinar B tal que AB = I n, isto é [Ax 1 Ax 2... Ax n ] = [e 1 e 2... e n ] Que corresponde a resolver n sistemas lineares da forma Ax j = e j, (1 j n) Matemática I 33/ 46 DeMat-ESTiG
96 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan, continuação Temos que AB = A [x 1 x 2... x n ] = [Ax 1 Ax 2... Ax n ] Por outro lado queremos determinar B tal que AB = I n, isto é [Ax 1 Ax 2... Ax n ] = [e 1 e 2... e n ] Que corresponde a resolver n sistemas lineares da forma Ax j = e j, (1 j n) Como a matriz dos coeficientes A é a mesma, podem ser resolvidos em simultâneo pelo método de Gauss-Jordan aplicado à matriz aumentada [A e 1 e 2... e n ] = [A I n ] Matemática I 33/ 46 DeMat-ESTiG
97 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG
98 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG
99 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A 2. Reduzir através de operações elementares por linhas a matriz A à matriz identidade; se nesta faze aparecer uma linha só com elementos nulos paramos pois significa que A não admite inversa Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG
100 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A 2. Reduzir através de operações elementares por linhas a matriz A à matriz identidade; se nesta faze aparecer uma linha só com elementos nulos paramos pois significa que A não admite inversa 3. Concluída a fase anterior obtemos [C D] Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG
101 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A 2. Reduzir através de operações elementares por linhas a matriz A à matriz identidade; se nesta faze aparecer uma linha só com elementos nulos paramos pois significa que A não admite inversa 3. Concluída a fase anterior obtemos [C D] 3.1 Se C = I n, então D = A 1 Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG
102 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A 2. Reduzir através de operações elementares por linhas a matriz A à matriz identidade; se nesta faze aparecer uma linha só com elementos nulos paramos pois significa que A não admite inversa 3. Concluída a fase anterior obtemos [C D] 3.1 Se C = I n, então D = A Se C I n, então C tem uma linha nula. Neste caso A não admite inversa, é singular Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG
103 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Calcular a inversa de A = Matemática I 35/ 46 DeMat-ESTiG
104 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Calcular a inversa de A = Começamos por construir a matriz aumentada [A I] Matemática I 35/ 46 DeMat-ESTiG
105 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Calcular a inversa de A = Começamos por construir a matriz aumentada [A I] L 3 L 3 L Matemática I 35/ 46 DeMat-ESTiG
106 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG
107 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG
108 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L 2 L 3 (1/2)L /2 0 1/2 Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG
109 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L 2 L 3 (1/2)L L 1 L 1 L /2 0 1/2 1/2 2 1/ /2 0 1/2 Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG
110 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L 2 L 3 (1/2)L L 1 L 1 L A 1 = /2 0 1/2 1/2 2 1/ /2 0 1/2 1/2 2 1/ /2 0 1/2 = [ I A 1] Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG
111 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG
112 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG
113 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Solução múltipla Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG
114 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Solução múltipla Não ter solução Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG
115 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Solução múltipla Não ter solução Exemplo: seja o sistema x + 3z = 2 2x + 3y 2z = 1 3y + 4z = 3 Verifique que os vectores [ 2 1 0] T e [7 3 3] T são ambos solução deste sistema Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG
116 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Solução múltipla Não ter solução Exemplo: seja o sistema x + 3z = 2 2x + 3y 2z = 1 3y + 4z = 3 Verifique que os vectores [ 2 1 0] T e [7 3 3] T são ambos solução deste sistema Como determinar o tipo de solução sem resolver? Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG
117 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG
118 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG
119 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a x 1. + x 22 a n b xn. = 2. a m1 a m2 a mn b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG
120 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a x 1. + x 22 a n b xn. = 2. x 1a i1 + x 2 a i x na in = b a m1 a m2 a mn b m Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG
121 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a x 1. + x 22 a n b xn. = 2. x 1a i1 + x 2 a i x na in = b a m1 a m2 a mn b m Vector b é gerado pela combinação linear dos vectores coluna de A Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG
122 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a x 1. + x 22 a n b xn. = 2. x 1a i1 + x 2 a i x na in = b a m1 a m2 a mn b m Vector b é gerado pela combinação linear dos vectores coluna de A Vector x contêm os coeficientes da combinação linear Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG
123 Sistemas com 2 equações 2 incógnitas Ax = b [ ] [ ] a11 a 12 x1 = a 21 a 22 x 2 [ b1 b 2 ] Matemática I 39/ 46 DeMat-ESTiG
124 Sistemas com 2 equações 2 incógnitas Ax = b [ ] [ ] a11 a 12 x1 = a 21 a 22 x 2 [ b1 b 2 ] [ ] [ ] a11 a12 x 1 + x a 2 = 21 a 22 [ b1 b 2 ] Vectores a i1 e a i2 IR 2 geram qualquer vector b IR 2 se forem não colineares: A 0 solução única Matemática I 39/ 46 DeMat-ESTiG
125 Sistemas com 2 equações 2 incógnitas Ax = b [ ] [ ] a11 a 12 x1 = a 21 a 22 x 2 [ b1 b 2 ] [ ] [ ] a11 a12 x 1 + x a 2 = 21 a 22 [ b1 b 2 ] Vectores a i1 e a i2 IR 2 geram qualquer vector b IR 2 se forem não colineares: A 0 solução única Se a i1 e a i2 forem colineares ( A = 0) só geram b se este for também colinear A j = 0 (para j = 1 ou 2) solução múltipla Matemática I 39/ 46 DeMat-ESTiG
126 Interpretação Geométrica de um Sistemas 2 2 b ai1 x1ai1 b ai1 ai2 x2ai2 ai1 e ai2 não colineares: solução única ai2 ai1, ai2 e b colineares: solução múltipla ai1 b ai2 ai1 e ai2 colineares e b não colinear: não existe solução Matemática I 40/ 46 DeMat-ESTiG
127 Sistemas com 3 equações 3 incógnitas Ax = b a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 Matemática I 41/ 46 DeMat-ESTiG
128 Sistemas com 3 equações 3 incógnitas Ax = b a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = b 2 x 1 a 21 +x 2 a 22 +x 3 a 23 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 a 31 a 32 a 33 b 3 Vectores a i1, a i2 e a i3 IR 3 geram qualquer vector b IR 3 se forem não coplanares: A 0 solução única Matemática I 41/ 46 DeMat-ESTiG
129 Sistemas com 3 equações 3 incógnitas Ax = b a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = b 2 x 1 a 21 +x 2 a 22 +x 3 a 23 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 a 31 a 32 a 33 b 3 Vectores a i1, a i2 e a i3 IR 3 geram qualquer vector b IR 3 se forem não coplanares: A 0 solução única Se a i1, a i2 e a i3 forem coplanares ( A = 0) só geram b se este for também coplanar A j = 0 (para j = 1 e 2) solução múltipla Matemática I 41/ 46 DeMat-ESTiG
130 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG
131 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n 1. Sistema consistente (sistema com solução) Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG
132 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n 1. Sistema consistente (sistema com solução) 1.1 Solução única A 0 Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG
133 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n 1. Sistema consistente (sistema com solução) 1.1 Solução única A Solução múltipla A = 0 e A j = 0, para j = 1, 2,..., n 1 Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG
134 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n 1. Sistema consistente (sistema com solução) 1.1 Solução única A Solução múltipla A = 0 e A j = 0, para j = 1, 2,..., n 1 2. Sistema inconsistente A = 0 e existir um A j tal que A j 0, j = 1, 2,..., n 1 (sistema sem solução) Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG
135 Classificação Exemplo 6: classificação de sistemas lineares x 2 Ax = b y = z 3 1. Indique que tipo de solução (sem a calcular) admite este sistema 2. Calcule a solução do sistema Matemática I 43/ 46 DeMat-ESTiG
136 Classificação Exemplo 6: classificação de sistemas lineares x 2 Ax = b y = z 3 1. Indique que tipo de solução (sem a calcular) admite este sistema 2. Calcule a solução do sistema A = = 0 solução múltipla ou sem solução Matemática I 43/ 46 DeMat-ESTiG
137 Classificação Exemplo 6: classificação de sistemas lineares x 2 Ax = b y = z 3 1. Indique que tipo de solução (sem a calcular) admite este sistema 2. Calcule a solução do sistema A = = 0 solução múltipla ou sem solução A 1 = = 0 e A = = 0 solução múltipla Matemática I 43/ 46 DeMat-ESTiG
138 Classificação Exemplo 7, continuação Aplicando o método de eliminação de Gauss [A b] L 2 L 2 +2L Matemática I 44/ 46 DeMat-ESTiG
139 Classificação Exemplo 7, continuação Aplicando o método de eliminação de Gauss [A b] L 2 L 2 +2L L 3 L 3 L x + 3z = 2 3y + 4z = 3 0 = 0 x = 2 + 3z y = 3 4z 3 z IR Matemática I 44/ 46 DeMat-ESTiG
140 Classificação Exemplo 7, continuação Aplicando o método de eliminação de Gauss [A b] L 2 L 2 +2L L 3 L 3 L α Solução geral é com α IR 3 4α 3 α x + 3z = 2 3y + 4z = 3 0 = 0 x = 2 + 3z y = 3 4z 3 z IR Matemática I 44/ 46 DeMat-ESTiG
141 Classificação Exemplo 7, continuação Aplicando o método de eliminação de Gauss [A b] L 2 L 2 +2L x + 3z = 2 x = 2 + 3z L 3 L 3 L y + 4z = 3 y = 3 4z = 0 z IR 2 + 3α Solução geral é 3 4α com α IR 3 α Podemos obter soluções particulares atribuindo valores a α Matemática I 44/ 46 DeMat-ESTiG
142 Classificação Sistemas homogéneos Sistemas em que o vector dos termos independentes é o vector nulo Ax = 0 Têm sempre pelo menos uma solução: Matemática I 45/ 46 DeMat-ESTiG
143 Classificação Sistemas homogéneos Sistemas em que o vector dos termos independentes é o vector nulo Ax = 0 Têm sempre pelo menos uma solução: Se A 0, x = A 1 0 = 0 (solução trivial x = 0 é única) Matemática I 45/ 46 DeMat-ESTiG
144 Classificação Sistemas homogéneos Sistemas em que o vector dos termos independentes é o vector nulo Ax = 0 Têm sempre pelo menos uma solução: Se A 0, x = A 1 0 = 0 (solução trivial x = 0 é única) se A = 0 então como a coluna j de A j é nula temos A j = 0 (solução múltipla) Matemática I 45/ 46 DeMat-ESTiG
145 Classificação Sistemas homogéneos Sistemas em que o vector dos termos independentes é o vector nulo Ax = 0 Têm sempre pelo menos uma solução: Se A 0, x = A 1 0 = 0 (solução trivial x = 0 é única) se A = 0 então como a coluna j de A j é nula temos A j = 0 (solução múltipla) x + 3z = 0 Exemplo: Ax = 0 2x + 3y 2z = 0, como A = 0, verifique 3y + 4z = 0 que admite outras soluções para além da trivial, [0 0 0] T, como por exemplo [9 4 3] T Matemática I 45/ 46 DeMat-ESTiG
146 Classificação Bibliografia Bernard Kolman, "Introdução à Álgebra Linear com Aplicações", Prentice-Hall do Brasil, 1998 Ia. S. Bugrov e S. M. Nikolski, "Matemática para Engenharia, Vol. 1 - Elementos de Álgebra Linear e de Geometria Analítica", Editora Mir Moscovo, 1986 Matemática I 46/ 46 DeMat-ESTiG
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