Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

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1 Valores e Vectores Próprios Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 24/25

2 Conteúdo Definição de Valor e Vector Próprios 2 2 Um Eemplo de Aplicação 8 3 Propriedades dos valores e vectores próprios 4 Teorema de Cayley-Hamilton 6 5 Eercícios Resolvidos 7 6 Eercícios Propostos 23 7 Soluções dos Eercícios Propostos 26 Bibliografia 27

3 Vimos atrás que, se E é um espaço vectorial de dimensão finita, qualquer endomorfismo T : E E pode ser representado em diferentes bases por matrizes semelhantes. Coloca-se naturalmente o problema de encontrar a base de E que conduz à mais simples das representações matriciais. O ideal seria que esta matriz fosse diagonal para podermos obter cada componente do vector imagem T ( ) a partir da correspondente componente do vector objecto. Como veremos, isto acontece em algumas situações mas nem sempre é possível. Nestes últimos casos, há contudo a possibilidade de representar a matriz da transformação linear na forma canónica de Jordan, a qual constitui, grosso modo, uma aproimação da forma diagonal. A resolução das questões mencionadas passa pelas noções de valor e vector próprio que introduziremos seguidamente. Definição de Valor e Vector Próprios Seja E um espaço vectorial sobre um corpo K (R ou C) et : E E uma transformação linear (endomorfismo de E). Definição. Um vector não nulo de E designa-se por vector próprio de T se eiste um escalar λ K tal que T ( ) =λ. Oescalarλ diz-se o valor próprio de T associadoaovector próprio. Diz-se também que éumvectorprópriodet associado ao valor próprio λ. O conjunto dos valores próprios de T é designado por espectro de T. Eemplo. (Significado geométrico de valor e vector próprio) Voltemos a considerar a transformação linear T : R 2 R 2 (, ) T (, )=(, ). 2 T ( ) = (, ) 2 = = (, ) 2 Figura : Refleão. Geometricamente, já vimos que a transformação T aplica um vector (, ) no seu simétrico (, ) relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares (observe-se a figura ), dizendo-se, por isso, uma refleão. Verifica-se facilmente que os vectores com a direcção da referida bissectriz (cuja equação é = ) são transformados em si próprios pois, T (, )=(, )=(, ). Tem-se pois que os vectores da forma (, ) (por eemplo, (, ), (2, 2), ( 2, 2), etc.) vectores próprios de T associados ao valor próprio λ =(ver figura 2). são 2 MAIC Ano Lectivo 24/25

4 Também os vectores perpendiculares à bissectriz dos quadrantes ímpares (ver figura 2), isto é, os vectores da forma (, ), são vectores próprios de T associados ao valor próprio λ = pois, T (, )=(, )= (, ). = 2 = 2 T ( ) = T ( ) Figura 2: Vectores próprios de T (, )=(, ). Vê-se, assim, que os vectores próprios de T representam direcções (neste caso do plano) que se mantêm invariantes pela acção da transformação T. Mais precisamente, são vectores transformados por T em vectores colineares, verificando-se que os quocientes entre as componentes homólogas das imagens e dos respectivos objectos são iguais ao valor próprio associado.. Eemplo.2 (O operador de derivação) Seja V o espaço vectorial de todas as funções reais diferenciáveis num intervalo aberto de R. Seja D a transformação linear que a cada função de V faz corresponder a sua derivada, isto é, D : V V f D(f) =f. É costume designar D por operador de derivação. Facilmente se vê que D é uma transformação linear pois, para quaisquer funções f,g V, D(f + g) =(f + g) = f + g = D(f)+D(g) e, sendo λ R e f V, D(λf) =(λf) = λf. Os vectores próprios de D são as funções f não nulas de V que satisfazem a equação D(f) =λf, ou seja, f = λf, para um certo escalar real λ. Esta é uma equação linear de primeira ordem cujas soluções são dadas pela fórmula f() =ce λ, em que c é uma constante arbitrária. Assim, os vectores próprios de D são todas as funções eponencias f() =ce λ com c. Oescalarλ é o valor próprio associado ao vector próprio f() = ce λ. De notar que a transformação D tem uma infinidade de valores próprios e que associado a cada um destes eiste uma infinidade de vectores próprios (basta fazer variar o parâmetro c) 3 MAIC Ano Lectivo 24/25

5 Eercício. Indique, a partir da interpretação geométrica, quais os valores e vectores próprios da transformação P : R 3 R 3 definida por P (, y, z) =(, y, ). Quando E é um espaço vectorial de dimensão finita, a transformação linear T : E E pode ser representada por uma matriz A relativamente a uma base fiada em E. Então, pela definição., um vector próprio de T é um vector não nulo tal que A = λ, visto que esta igualdade equivale a T ( ) =λ. Sendo X a representação matricial de, como A = λ AX = λx AX λx = O (A λi) X = O, onde I éamatrizidentidadeeo uma matriz coluna nula, concluimos que é vector próprio de T associado ao valor próprio λ seesósex é uma solução não nula do sistema homogéneo (A λi) X = O. Mas este sistema possui soluções não nulas se e só se det(a λi) =, pelo que ficaprovadooseguinte: Proposição. Seja E um espaço vectorial de dimensão finita sobre um corpo K e T um endomorfismo de E representado pela matriz A em relação a uma base de E. Então, um escalar λ K é um valor próprio de T se e só se é uma solução da equação det (A λi) =. A proposição anterior sugere o estudo do determinante det(a λi) em função de λ. Admitiremos em tudo o que se segue que os elementos das matrizes intervenientes pertencem a um corpo K (R ou C). Proposição.2 Se A =[a ij é uma matriz de ordem n e I a matriz identidade de ordem n, a função p definida por a λ a 2 a n a 2 a 22 λ a 2n p(λ) =det(a λi) =.... a n a n2 a nn λ é um polinómio em λ de grau n, designado por polinómio característico de A. O coeficiente do termo de grau n do polinómio p é ( ) n e o termo constante é p() = det(a). Demonstração. Recorde-se (ver [4, pág. 82) que o determinante de A λi pode calcular-se multiplicando cada termo da matriz por + ou e somando em seguida os resultados obtidos. Cada termo é o produto de elementos da matriz em que cada linha ou coluna se encontra representada uma e uma só vez. Como os elementos da matriz A λi são constantes ou da forma a ii λ, conclui-se que cada termo de A λi é um polinómio de grau n. Visto que o termo da matriz resultante do produto dos elementos da diagonal principal, (a λ)(a 22 λ) (a nn λ), () é um polinómio de grau n, fica provado que p é um polinómio em λ de grau n. Do que se disse resulta imediatamente que o coeficiente de λ n em p é o coeficiente de λ n em (), ou seja, ( ) n. Por fim, fazendo λ =em p(λ) =det(a λi), obtém-se p() = det A. Sendo E um espaço vectorial de dimensão finita em que se fiou uma base, os valores e os vectores próprios de um endomorfismo de E são também designados por valores e vectores próprios da matriz que o representa. Tem-se pois: Não confundir com a noção de termo de um polinómio. 4 MAIC Ano Lectivo 24/25

6 Definição.2 Se A é uma matriz quadrada, os valores próprios de A são as raízes da equação p(λ) =det(a λi) =, designada por equação característica de A. Os vectores próprios de A associados ao valor próprio λ são as soluções do sistema AX = λx (A λi) X = O, A multiplicidade algébrica de um valor próprio λ é a multiplicidade do escalar λ enquanto raiz da equação característica 2. O espectro de A é o conjunto dos seus valores próprios. Antes da apresentação de alguns eemplos, vamos sistematizar o procedimento a seguir no cálculo dos valores e vectores próprios de uma matriz A quadrada:. Calcular o polinómio característico de A, isto é, p(λ) =det(a λi). 2. Resolver a equação p(λ) =para obter as raízes λ da equação característica (estas raízes são os valores próprios de A). 3. Para cada valor próprio λ obtido no ponto anterior, resolver o sistema homogéneo (A λi)x = O (as soluções não nulas deste sistema são os vectores próprios associados ao valor próprio λ). Eemplo.3 Consideremos a transformação linear refleão T (, )=(, ) dada no eemplo.. Supondo fiada a base canónica em R 3, para calcular os vectores e valores próprios é necessário conhecer a matriz A que representa T.ComoT (, ) = (, ) e T (, ) = (, ) tem-se [ A =. Então det(a λi) = λ λ = λ2 = (λ +)(λ ) = λ = ±, donde A tem dois valores próprios distintos + e, tendo cada um deles multiplicidade algébrica. Vejamos como calcular os vectores próprios. Para isso, vamos resolver, para cada valor de λ, o sistema homogéneo Assim: (A λi) [ Se λ =tem-se [ [ = [ [ = [ λ λ [ [ = + = =. =, donde os vectores próprios associados são os vectores não nulos da forma (, )= (, ). O conjunto destes vectores reunido com o vector nulo representa-se por E[. Assim, E[ = (, ), pelo que E[ é um subespaço vectorial de R 2, designado habitualmente por subespaço próprio associado ao valor próprio ; 2 Do Teorema Fundamental da Álgebra resulta que um polinómio característico p de grau n tem eactamente n zeros, podendo alguns deles ser iguais. Assim, se p tem m zeros distintos λ,λ 2,...,λ m (m n), então pode factorizar-se na forma p(λ) =( ) n (λ λ ) n (λ λ 2 ) n2 (λ λ m ) nm em que n + n n m = n. Os epoentes n,n 2,...,n m são as multiplicidades algébricas dos valores próprios λ,λ 2,...,λ m, respectivamente. Para i =,...,m, n i é pois o número de zeros iguais a λ i. 5 MAIC Ano Lectivo 24/25

7 Se λ = tem-se [ [ [ = + = + = =, donde os vectores próprios associados são os vectores não nulos da forma (, ) = (, ). Então E[ = (, ). Proposição.3 Seja E um espaço vectorial de dimensão finita e T : E E uma transformação linear representada pela matriz A em relação a uma base de E. Para cada valor próprio λ de T,o conjunto E [λ = E : T ( ) =λ } = E :(A λi) = } é um subespaço vectorial de E. Demonstração. Da segunda igualdade conclui-se que E[λ é precisamente o espaço nulo da matriz A λi, pelo que constitui um subespaço de E. Definição.3 Nas condições da proposição anterior, o subespaço E[λ designa-se por subespaço próprio (ou subespaço característico) de T (ou de A) associado ao valor próprio λ. A sua dimensão denomina-se por multiplicidade geométrica de λ. Os subespaços próprios associados a valores próprios de uma transformação T : E E são eemplos de subespaços invariantes de T. Um subespaço F de E diz-se invariante de T seesóse T (F ) F. Deste modo, como para qualquer E[λ, T( ) =λ E[λ, podemos concluir que T (E[λ) E[λ, ou seja, E[λ é invariante de T. Também, como é fácil de verificar, sendo λ e λ 2 valores próprios de T, a soma E[λ +E[λ 2 é um subespaço invariante da transformação T. Ainda outro eemplo: no espaço P n dos polinómios de grau menor ou igual a n, os subespaços P k (k n) são invariantes em relação ao operador de derivação. Com efeito, seja p D(P k ). Como D(P k ) P k, tem-se p P k e, portanto, D(P k ) P k. Voltando ao eemplo.3, vemos que as multiplicidades geométricas de E[ e E[ são ambas iguais a e, portanto, coincidem com as multiplicidades algébricas dos respectivos valores próprios. Mas nem sempre assim acontece como se mostra no eemplo seguinte. Eemplo.4 Consideremos a matriz A = 2 2. Então, det(a λi) = 2 λ 2 λ λ λ = (2 λ) 2 ( + λ)( λ), pelo que a matriz tem os valores próprios 2, e, o primeiro com multiplicidade algébrica 2 eos restantes com multiplicidade algébrica. 6 MAIC Ano Lectivo 24/25

8 Para calcular os vectores próprios, vamos resolver, para cada valor de λ, o sistema homogéneo 2 λ 2 λ λ 3 =. λ 4 Assim: Se λ =2tem-se = = 3 3 = 4 = = 3 = 4 = donde E [2 = (,,, ). Consequentemente, visto que dim E[2 =, a multiplicidade geométrica do valor próprio λ =2é igual a, inferior portanto à sua multiplicidade algébrica, que é 2. Se λ = tem-se = 3 + = 3 = 2 4 = = = 4 = donde E [ = (,,, ) e as multiplicidades algébrica e geométrica coincidem. Se λ =, tem-se E [ = (,,, ) e, portanto, também aqui as multiplicidades algébrica e geométrica coincidem. Este eemplo deia perceber que a multiplicidade geométrica de um valor próprio é menor ou igual à respectiva multiplicidade algébrica. Provaremos adiante na proposição 3.7 que sempre assim acontece. Vejamos agora o caso de uma matriz com valores próprios compleos. Eemplo.5 Consideremos o espaço vectorial compleo C 3. Seja T : C 3 C 3 a transformação linear cuja matriz representativa na base canónica de C 3 édadapor A =. O polinómio característico de A é pelo que os valores próprios de T (ou de A) são p(λ) =( λ) ( λ 2 + ) =( λ)(λ i)(λ + i) λ = λ = i λ = i. Para obter os vectores próprios associados, vamos resolver, para cada valor de λ, o sistema homogéneo λ λ =. λ 3 Assim: 7 MAIC Ano Lectivo 24/25

9 Se λ =tem-se = 2 3 = = 2 = 3 = donde E [ = (,, ). Consequentemente, visto que dim E[ =, as multiplicidades algébrica e geométrica coincidem. Se λ = i tem-se i i i = 3 ( i) = i 3 = i 3 = = = i 3 donde E [i = (,i,). Consequentemente, visto que dim E[=, também neste caso as multiplicidades algébrica e geométrica coincidem. Se λ = i tem-se +i i i = 3 ( + i) = i 3 = + i 3 = = = i 3 donde E [ i = (, i, ). Tal como anteriormente, as multiplicidades algébrica e geométrica coincidem, pois dim E[ i =. Note-se que se podem obter os vectores de E [ i passando as componentes dos vectores de E[i ao conjugado. Este procedimento pode ser sempre utilizado desde que A seja uma matriz de elementos reais. De facto, conjugando ambos os membros da igualdade AX = λx obtém-se A X = λ X, onde X é a matriz coluna cujas componentes são os conjugados das componentes de X. Como T é um endomorfismo do espaço vectorial compleo C 3, os valores próprios de A ede T coincidem, dado que as raízes da equação característica pertencem a C. Se, por outro lado, considerássemos T um endoformismo do espaço vectorial real R 3, representado matricialmente por A, então as raízes +i e i da equação característica não seriam valores próprios de T, visto que não pertencem ao corpo dos números reais. Neste caso T teria unicamente o valor próprio λ =, ou seja, somente a raíz da equação característica pertencente ao corpo de escalares de R 3 seria valor próprio do endomorfismo T. 2 Um Eemplo de Aplicação As aplicações dos valores e vectores próprios são etremamente numerosas. Seguidamente, veremos um eemplo de aplicação à resolução de um sistema de equações diferenciais. Eemplo 2. Consideremos o sistema homogéneo de duas equações diferenciais, y (t) =2y 2 (t) y 2(t) =2y (t), em que y e y 2 representam duas funções incógnitas de uma variável real t, definidas num intervalo V R. Matricialmente este sistema pode escrever-se na forma [ [ [ y y (t) =A y(t) (t) 2 y (t) y 2(t) =. (2) 2 y 2 (t) 8 MAIC Ano Lectivo 24/25

10 Para determinar as funções incógnitas y e y 2, vamos proceder por analogia com o caso univariado. Como recordámos no eemplo.2, as soluções da equação diferencial y (t) =λy(t), em que λ éum escalar real, podem escrever-se na forma y(t) =e λt, em que é uma constante arbitrária dependente das condições iniciais (por eemplo, se y() = ter-se-á = ). Por analogia, suponhamos que o vector [ [ y(t) = e λt y (t) = e y 2 (t) λt 2 [ onde = é um vector de constantes, é uma solução do sistema dado (2). Então, derivando y(t) componente a componente, obtém-se y (t) =λ e λt [ y (t) y 2(t) = [ λe λt. Substituindo y (t) em (2) vem λ e λt = A e λt, pelo que dividindo ambos os membros desta igualdade por e λt, somos conduzidos a A = λ. Assim, para que a função vectorial y(t) = e λt seja solução do sistema dado (2) é necessário que seja um vector próprio da matriz A associado ao valor próprio λ. Determinemos os valores e vectores próprios de A. Ora A λi = λ 2 2 λ = λ2 4= λ =2 λ = 2. Para os vectores próprios temos os seguintes cálculos: Se λ =2, [ pelo que E[2 = (, ). [ [ = =, Se λ = 2, [ [ [ ( 2) 2 = 2 ( 2) pelo que E[ 2 = (, ). [ Então, tomando os vectores próprios = a λ = 2), temos que os vectores [ [ y (t) = e 2t = e 2t e y 2 (t) = e 2t = =, [ (associado a λ =2)e = e 2t (associado são soluções do sistema (2). Mais: como veremos, os vectores y e y 2 são suficientes para gerar todas as suas soluções do sistema, visto que qualquer solução y de (2) é uma combinação linear de y e y 2, isto é, y(t) =c y (t)+c 2 y 2 (t) =c [ e 2t + c 2 [ e 2t 9 MAIC Ano Lectivo 24/25

11 em que c e c 2 são constantes arbitrárias. Consequentemente, as funções incógnitas y e y 2 são dadas por y (t) =c e 2t c 2 e 2t y 2 (t) =c e 2t + c 2 e 2t. (3) Vejamos como visualizar graficamente a solução do sistema. c > c > 2 4 y 2 2 c < c > y c > c < c < c < 2 Figura 3: Esboço do retrato de fase do sistema (2). Para cada escolha das constantes c e c 2, obtemos no plano y y 2 uma curva designada por órbita do sistema. O conjunto de todas as órbitas designa-se por retrato de fase do sistema e o plano y y 2 que contém todas as órbitas recebe a designação de espaço de fases do sistema. Assim, por eemplo, se c 2 =, tem-se que y (t) =y 2 (t) =c e 2t, pelo que a órbita correspondente a c 2 =e c > é a parte da bissectriz y 2 = y situada no o quadrantedoplanoy y 2, comomostraafigura3(asetaindicaadirecçãodecrescimentodavariávelt). Caso c 2 =e c < obtemos a parte da recta y 2 = y situada no 3 o quadrante. Em qualquer das situações vemos que y(t) + quando t +. Por outro lado, se c =, tem-se que y (t) = y 2 (t), qualquer que seja c 2 não nulo. Para qualquer par de valores c e c 2 nestascondições,aórbitacorrespondenteéabissectrizdosquadrantes pares y 2 = y. Tem-se neste caso que y(t) quando t +, como sugerem as setas colocadas sobre aquela bissectriz na figura 3. Quando c c 2, obtêm-se quatro tipos de órbitas conforme se apresenta na mesma figura. Por eemplo, para c > e c 2 < obtém-se soluções representadas por curvas que atravessam o o eo2 o quadrantes do plano y y 2, as quais têm por assimptotas as rectas y 2 = y e y 2 = y. Como se vê, para qualquer combinação de c e c 2 nestas condições, tem-se também que y(t) + quando t + ou t. É evidente que não é possível apresentar o retrato de fase de um sistema na sua totalidade, já que seria necessário representar uma infinidade de curvas cobrindo todo o plano. Assim, é costume representar-se um conjunto de órbitas típicas, formando-se um esboço do retrato de fase. No caso do sistema (2), o esboço do retrato de fase é apresentado na fig. 3. Ele configura uma situação típica de ponto de sela (na origem), a qual ocorre num sistema em que, tal como acontece no sistema (2), os valores próprios da matriz dos coeficientes são reais e de sinais contrários. MAIC Ano Lectivo 24/25

12 Suponhamos, para finalizar, que pretendemos resolver o problema de valores iniciais associado ao sistema (2) com y () = 3 e y 2 () =. Calculando em (3) y () e y 2 () e igualando a 3 ea, respectivamente, obtém-se c c 2 =3 c + c 2 = c =3/2 c 2 = 3/2. A solução procurada é então y = 3 2 e2t e 2t y 2 = 3 2 e2t 3 2 e 2t. e é representada pela curva que se encontra mais à direita na figura 3. 3 Propriedades dos valores e vectores próprios Vejamos agora algumas propriedades dos valores e vectores próprios. Proposição 3. Os valores próprios de uma matriz triangular são os elementos da diagonal principal. Demonstração. Eercício. Proposição 3.2 Seja A =[a ij uma matriz de ordem n e λ,λ 2,...,λ n os seus valores próprios. Então: (a) det A = λ λ 2 λ n. (b) tr A = λ + λ λ n, onde tr A representa o traço da matriz A, istoé,éasomados elementos da diagonal principal de A. Demonstração. Consideremos o polinómio característico da matriz A : p(λ) =det(a λi) =( ) n λ n + c n λ n + + c λ + c. Sendo λ,λ 2,...,λ n as raízes de p(λ), repetidas tantas vezes quanto a sua ordem de multiplicidade, o polinómio pode escrever-se na forma p(λ) =( ) n (λ λ ) (λ λ n ). Comparando estas duas formas de p(λ) conclui-se que o termo independente c e o coeficiente do termo de ordem n são dados por c = λ λ 2 λ n c n = ( ) n (λ + λ λ n ). Como p() = det A = c, conclui-se det A = λ λ 2 λ n, o que prova (a). Para provar (b) teremos de identificar os termos de det(a λi) que contribuem para o termo de grau n em p(λ). Recordando a fórmula de cálculo do determinante à custa dos termos da matriz (ver Teorema 5.2 em [4, pág. 82), somente o termo par (a λ) (a nn λ) daquele determinante pode contribuir para a parcela c n λ n de p(λ). Isto porque, em cada um destes termos, têm de estar presentes pelo menos n factores pertencentes à diagonal principal de A λi; o restante factor tem que representar uma linha e uma coluna diferente da dos anteriores, pelo que não pode deiar de pertencer também à diagonal principal de A λi. Como o coeficiente de λ n em (a λ) (a nn λ) é ( ) n (a + a a nn ), concluimos que c n =( ) n tr A e, portanto, a igualdade (b). MAIC Ano Lectivo 24/25

13 Eercício 3. Demonstre as seguintes propriedades do traço de uma matriz: (a) tr(a + B) =tra +trb; (b) tr(ca) =c tr A (c escalar); (c) tr A T =tra; (d) tr(ab) =tr(ba). Proposição 3.3 Duas matrizes semelhantes têm o mesmo polinómio característico. Demonstração. Se A e B são matrizes quadradas semelhantes, eiste uma matriz P, invertível, tal que B = P AP. Logo, det(b λi) =det ( P AP λi ) =det ( P AP λp IP ) =det [ P (A λi) P = ( det P ) [det (A λi) (det P ) = det (A λi), isto é, os polinómios característicos de A e B coincidem. Proposição 3.4 Se uma matriz A tem k valores próprios distintos, λ,λ 2,...,λ k, então os vectores próprios correspondentes,,,..., k, são linearmente independentes. Demonstração. A demonstração é por indução em k. Se k =, então é linearmente independente pois é não nulo. Admita-se que o enunciado é verdadeiro para os primeiros k valores próprios distintos λ,λ 2,...,λ k eprovemosquetambémoéparak valores próprios distintos λ,λ 2,...,λ k. Ora os correspondentes vectores próprios,,..., k, são linearmente independentes se qualquer combinação linear nula µ + µ µ k k = E (4) tiver os escalares µ i todos nulos. Multiplicando à esquerda (4) por A obtemos µ A + µ 2 A + + µ k A k = E donde, atendendo a que os i são vectores próprios associados aos λ i, vem Multiplicando agora (4) por λ k obtemos e, subtraindo (6) de (5), chegamos a µ λ + µ 2 λ µ k λ k k = E. (5) µ λ k + µ 2 λ k + + µ k λ k k = E, (6) µ (λ λ k ) + µ 2 (λ 2 λ k ) + + µ k (λ k λ k ) k = E. Pela hipótese de indução os k vectores próprios,,..., k são linearmente independentes, donde µ i (λ i λ k )=, para i =,...,k. Como os λ i são distintos, tem-se λ i λ k, para i =,...,k, donde µ i =, para estes valores de i. Substituindo estes µ i em (4) vem µ = E e portanto µ =. Portanto, µ = µ 2 = = µ k =, o que prova a independência linear de,,..., k. Suponhamos agora que A tem n valores próprios λ,λ 2,...,λ n, correspondentes aos vectores próprios,,..., n. Consideremos a matriz n [ P = X X 2 X n, 2 MAIC Ano Lectivo 24/25

14 em que X i é a matriz coluna que representa matricialmente i,i=,...,n. Então, as equações A = λ A = λ 2 podem escrever-se matricialmente na forma em que D =. A n = λ n n AP = PD (7) λ λ 2... λ n é uma matriz diagonal, na qual os valores próprios λ i aparecem dispostos na diagonal principal pela ordem em que os vectores próprios i aparecem colocados nas colunas de P. Se λ,λ 2,...,λ n forem todos distintos,,,..., n, são linearmente independentes e consequentemente P é invertível. Logo (7) implica que P AP = D, isto é, A e D são semelhantes. A matriz A diz-se então diagonalizável e P diz-se uma matriz diagonalizante. Quando A e D representam o mesmo endoformismo em diferentes bases, este também se diz diagonalizável visto que pode ser representado numa certa base pela matriz diagonal D. Neste conteto, a matriz P é a matriz de mudança de base. Fica assim demonstrado que: Proposição 3.5 Se A é uma matriz de ordem n etemn valores próprios distintos, então A é diagonalizável. Eemplo 3. Consideremos a matriz A = Tem-se 2 λ 2 2 A λi = 2 λ 2 λ = λ λ 2 2 +( λ) λ 2 2 λ = [ ( λ) ( λ) 2 8 = λ = λ =+2 2 λ = 2 2. Como A tem três valores próprios distintos, a proposição anterior garante que A é diagonalizável. Calculemos os vectores próprios: Se λ =tem-se = = 2 = 2 = = = 3, donde E [ = (,, ). 3 MAIC Ano Lectivo 24/25

15 Se λ =+2 2 tem-se donde E [ +2 2 = ( 2,, ) = = = = = 2 = 3 Se λ = 2 2 tem-se = = = = = 2 = 3 donde E [ 2 2 = ( 2,, ). Finalmente, sendo P = 2 2 a matriz diagonalizante e D = a matriz diagonal que tem na diagonal principal os valores próprios de A, verifica-se que P AP = D. São relativamente poucas as matrizes que têm todos os valores próprios distintos. Contudo, sendo A umamatrizcomvaloresprópriosλ,λ 2,...,λ n, correspondentes aos vectores próprios,,..., n, pode sempre escrever-se a igualdade AP = PD dada em (7). Assim, sempre que P seja invertível, A é diagonalizável, pois ter-se-á P AP = D. Pode-se pois enunciar: Proposição 3.6 Seja A uma matriz de ordem n. Então A é diagonalizável se e só se é possível encontrar n vectores próprios linearmente independentes. Nestas condições, tem-se que P AP = D A = PDP, onde D é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os valores próprios de A e P é a matriz invertível formada pela disposição em coluna dos correspondentes vectores próprios linearmente independentes. Demonstração. A condição necessária e suficiente resulta das considerações prévias feitas ao enunciado da proposição. A igualdade A = PDP resulta de P AP = D, multiplicando ambos os membros desta última, à esquerda e à direita, por P e P, respectivamente. Na linguagem das transformações lineares, o resultado anterior pode ser enunciado como segue: um endomorfismo T de um espaço vectorial E de dimensão finita é diagonalizável se e só se eiste uma base de E formada por vectores próprios de T. 4 MAIC Ano Lectivo 24/25

16 Eemplo 3.2 Consideremos a matriz A = Tem-se λ A λi = 2 3 λ λ = (2 λ) 3 λ λ λ λ 3 3 = λ 3 +9λ 2 5λ +7= (λ ) 2 (λ 7) = λ =(mult. alg. 2) λ =7. Vê-se assim que A tem dois valores próprios distintos e 7, o primeiro com multiplicidade algébrica 2. Se λ =, tem-se = = = = = 3 donde E [ = (,, ), (,, ), constituindo estes vectores uma base do subespaço próprio. Neste caso as multiplicidades algébrica e geométrica coincidem. Se λ =7tem-se = = = = = 2 3 = 3 2 donde E [7 = (, 2, 3). Como os vectores próprios (,, ), (,, ) e (, 2, 3) são linearmente independentes, a matriz diagonalizante é P = 2 3 De facto, verifica-se que A = PDP, onde D = 7 é a matriz diagonal. Apresenta-se seguidamente o eemplo duma matriz não diagonalizável. Eemplo 3.3 Seja A = 2 2. Esta matriz não é diagonalizável porque: 2 5 A tem valores próprios λ =e λ 2 =6com multiplicidades algébricas 2 e, respectivamente. E[ = (, 5, ) e E[6 = (,, ), isto é, ambas as multiplicidades geométricas são iguais a, donde não é possível obter três vectores próprios linearmente independentes. 5 MAIC Ano Lectivo 24/25

17 Como já referimos, as multiplicidades algébrica e geométrica de um valor próprio relacionam-se como segue: Proposição 3.7 Seja A uma matriz de ordem n. A multiplicidade geométrica de um valor próprio de A é inferior ou igual à respectiva multiplicidade algébrica. Demonstração. Seja λ um valor próprio de A com multiplicidade algébrica k (k n). Seja P umamatrizdeordemn, invertível, em cujas primeiras k colunas estão dispostos k vectores próprios de A associados ao valor próprio λ. Então AP = PB, em que a matriz B tem a forma [ λik B B =, O B 2 sendo I k a matriz identidade de ordem k e O a matriz nula. Assim, P AP = B, ou seja, A e B são semelhantes pelo que, de acordo com a proposição 3.3, têm os mesmos valores próprios. Ora, o polinómio característico de B tem a forma ( λ) k q(), em que q() é um polinómio de grau n k. Consequentemente, k é inferior ou igual à multiplicidade algébrica de λ. O valor próprio λ =da matriz do eemplo 3.3 tem multiplicidade geométrica, inferior à respectiva multiplicidade algébrica, que é 2. Deste modo, não é possível obter dois vectores próprios linearmente independentes associados ao valor próprio λ =, o que inviabiliza a diagonalização da matriz. De facto, a condição necessária e suficiente da proposição 3.6 pode ser enunciada do seguinte modo: Proposição 3.8 Uma matriz é diagonalizável se e só se a multiplicidade algébrica de cada valor próprio for igual à sua multiplicidade geométrica. Demonstração. Eercício. 4 Teorema de Cayley-Hamilton Destacamos das restantes propriedades um teorema muito importante em diversas aplicações, que estabelece que toda a matriz quadrada satisfaz a sua equação característica. Teorema 4. Seja A uma matriz de ordem n e p(λ) =det(a λi) =( ) n λ n + c n λ n + + c λ + c o seu polinómio característico. Então A satisfaz a sua equação característica, isto é, onde O designa a matriz nula. p(a) =O ( ) n A n + c n A n + + c A + c I = O, Demonstração. A demonstração baseia-se na seguinte propriedade dos determinantes: A adj A = (det A) I. Aplicando esta fórmula à matriz A λi vem (A λi)adj(a λi) =p(λ)i. (8) Os elementos da matriz adj (A λi) são, a menos do sinal, determinantes de menores de ordem n da matriz A. Logo, cada elemento daquela matriz não é mais do que um polinómio em λ de grau n. Podemos então escrever n adj (A λi) = λ k B k k= 6 MAIC Ano Lectivo 24/25

18 onde cada coeficiente B k é uma matriz de ordem n com elementos escalares. Substituindo em (8) obtém-se, n (A λi) λ k B k = p(λ)i ou k= n λ n B n + λ k (AB k B k )+AB =( ) n λ n I + c n λ n I + + c λi + c I. k= Igualando os coeficientes homólogos das potências de λ obtêm-se as equações B n =( ) n I AB n B n 2 = c n I. AB B = c I AB = c I. Multiplicando estas equações sucessivamente por A n,a n,...,a, I e somando em seguida os resultados, o primeiro membro da igualdade resultante é a matriz nula O de ordem n. Obtém-se então O =( ) n A n + c n A n + + c A + c I, ou seja, p(a) =O. Vejamos uma aplicação deste teorema ao cálculo da inversa de uma matriz. Assumindo que a matriz A é invertível mutipliquemos a igualdade por A. Resulta então ( ) n A n + c n A n + + c A + c I = O ( ) n A n + c n A n c I + c A = O. Recordando que c = det(a), tem-se c pois A é invertível. Dividindo a igualdade anterior por c e isolando A obtém-se a seguinte fórmula que pode ser utilizada para obter a matriz inversa de A : A = c [ ( ) n A n + c n A n c I. Eemplo 4. Consideremos a matriz A = λ 2 5λ +5. Então [ 3 2, cujo polinómio característico é p(λ) = 5 Eercícios Resolvidos A = [ ( ) 2 A 5I = (A 5I) 5 5 = [ [ 2 2/5 /5 = 5 3 /5 3/5 Mostre que: (a) Se A é uma matriz tal que A 2 = O (matriz nula), então o único valor próprio de A é zero.. 7 MAIC Ano Lectivo 24/25

19 (b) Se duas matrizes A e B têm o mesmo vector próprio v, então v também é vector próprio de A + B e AB. Quais são, em ambos os casos, os correspondentes valores próprios? Resolução (a) Suponhamos que A tem um valor próprio λ e seja um vector próprio que lhe está associado. Então A = λ, pelo que multiplicando à esquerda ambos os membros desta igualdade por A vem, A 2 = λa =λa. pois A 2 =O Como λ, segue-se que A = e, portanto, A =. Assim, é um vector próprio associado ao valor próprio nulo. Mas isto é absurdo, pois estamos a supor que está associado ao valor próprio não nulo λ. O absurdo partiu de supormos que A tem um valor próprio não nulo, pelo que o único valor próprio de A é zero. (b) Sejam respectivamente λ e µ os valores próprios de A e B associados a v. Então, A v = λ v e B v = µ v, pelo que somando as igualdades membro a membro vem (A + B) v =(λ + µ) v. Assim, v é vector próprio de A + B, sendo λ + µ o valor próprio que lhe está associado. Por outro lado, v é um vector próprio de AB associado ao valor próprio µλ pois, AB v = A (µ v) =µa v =(µλ) v. 2 Considere a matriz A = 2 2,aparâmetro real. a a (a) Diga para que valores de a, a matriz admite o valor próprio zero. (b) Para esse valor de a, determine os restantes valores próprios e os correspondentes vectores próprios. Resolução (a) A matriz admite o valor próprio zero se e só se A = A = forumsistema indeterminado, isto é, se det A =. Ora det A = 2 2 a a = 2 2 a a + a 2 2 = (2a 2), pelo que a matriz A tem um valor próprio nulo se e só se (2a 2) =, ou seja, a =. (b) Para a =tem-se λ A λi = 2 2 λ λ = 2 2 λ λ +( λ) λ 2 2 λ = λ +( λ)[( λ)(2 λ) 2= λ +( λ) ( λ 2 3λ ) = λ (λ 2) 2 = λ = λ =2(mult. alg. 2). Cálculo dos vectores próprios: 8 MAIC Ano Lectivo 24/25

20 Para λ =vem 2 2 = = 2 +2 = = = 3 = donde E [ = (,, )} e, portanto, a multiplicidade geométrica de λ =é. Para λ =2vem 2 = + 3 = = 2 = = 2 = 3 donde E [2 = (,, ) e, portanto, a multiplicidade geométrica de λ =2é. 3 Considere a matriz A = m m. m + (a) Calcule o polinómio característico de A assim como os seus valores próprios. (b) Para que valores de m amatriza é diagonalizável? (c) Para os valores obtidos encontre uma matriz diagonal D e uma matriz não singular P tal que A = PDP. Resolução (a) O polinómio característico é dado por: p(λ) = λ m det(a λi) = λ m m + λ = ( λ)( λ)(m + λ) m [( ) (m + λ)+m+[ ( λ) = ( λ)( λ)(m + λ)+m ( λ) ( λ) = ( λ)[( λ)(m + λ)+m = ( λ) [ λ 2 (m +2)λ + m. Os valores próprios de A são as raízes da equação p(λ) = ( λ) [ λ 2 (m +2)λ + m = Resolvendo esta equação, obtém-se λ = λ = m λ =2. (b) Se m/, 2}, amatriza tem 3 valores próprios distintos a que correspondem 3 vectores próprios linearmente independentes. Consequentemente, de acordo com a proposição 3.5, será diagonalizável. Para analisarmos o caso em que m, 2}, vamos obter os vectores próprios de A : Se λ =tem-se m m m pelo que E [ = ( m 2,,m). 3 = m2 = 3 = m 3 9 MAIC Ano Lectivo 24/25

21 Se λ = m tem-se m m m m pelo que E [m = (,, ). Se λ =2tem-se m m m e, assim, E [2 = ( m,, ). 3 3 = = 3 2 = 3 = =( m) 3 2 = 3 Vemos pois que, se m =,E[m =E[, pelo que a multiplicidade algébrica de λ =é2, sendo a multiplicidade geométrica igual a. Logo, A não é diagonalizável. Se m =2, tem-se E[m =E[2, pelo que também neste caso as multiplicidades algébrica e geométrica não coincidem, e, portanto, A não é diagonalizável. Conclui-se então que A é diagonalizável se e só se m/, 2}. (c) Para m/, 2}, tem-se D = m e P = m2 m 2 m. Note-se que det P = m 2 +3m 2, quantidade que é diferente de zero se m/, 2}. Assim P é não singular e verifica-se que P AP = D. 4 Sejam P 2 o espaço dos polinómios de grau menor ou igual a 2 e,,+ } uma base de P 2. Considere as transformações lineares T,S : P 2 P 2 definidas por T [p() = p () e S [p() = p (). (a) Quais as matrizes das transformações T e S? (b) As matrizes obtidas em (a) são diagonalizáveis? Em caso afirmativo, indique a matriz diagonalizante e a matriz diagonal obtida. Resolução (a) Cálculo da matriz de T : como T () = = + + (+) =(,, ) T () == + + (+) =(,, ) T ( + )=2 = +2 + (+) =(, 2, ) tem-se A T = 2. Cálculo da matriz de S : como S() = == + + (+) =(,, ) S() = = = + + (+) =(,, ) S( + )= 2 =2 = (+) =( 2,, 2) 2 MAIC Ano Lectivo 24/25

22 tem-se A S = 2. 2 (b) Equação característica da matriz A T : λ A T λi = λ 2 λ = λ 3 = λ =(mult. alg. 3) Cálculo dos vectores próprios: para λ =tem-se (A T λi) = 2 = 2 = 3 3 = donde E [ = (,, ) e, portanto, λ =tem multiplicidade geométrica. Como não é possível obter 3 vectores próprios linearmente independentes, A T não é diagonalizável. Equação característica da matriz A S : λ 2 A S λi = λ 2 λ = λ ( λ)(2 λ) = λ = λ = λ =2 Cálculo dos vectores próprios: Para λ =, tem-se (A S I) = 2 = 2 = = donde E [ = (,, ) ; Para λ =, tem-se (A S I) = 2 = = 3 3 = donde E [ = (,, ) ; Para λ =2, tem-se (A S 2I) = 2 2 = = = donde E [2 = (,, ). 2 MAIC Ano Lectivo 24/25

23 Conclui-se que é possível obter 3 vectores próprios linearmente independentes, os quais constituem as colunas da matriz diagonalizante: P = A matriz diagonal é a matriz D = 2 com os valores próprios, e 2 dispostos na diagonal principal. De facto, verifica-se que P = = eque PDP = = = A S. 5 Seja A umamatrizdeordemn com valores próprios λ,λ 2,...,λ n, todos distintos, e vectores próprios,,..., n. (a) Mostre que A n = PD n P, onde D é a matriz diagonal com os valores próprios na diagonal principal e P é a matriz cujas colunas são os vectores próprios correspondentes. [ 2 (b) Determine A 2, sendo i) A =, ii) A = Resolução (a) A demonstração faz-se por indução. Se A tem os valores próprios todos distintos, então A é diagonalizável, isto é, eiste uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que A = PDP. Logo, a condição A n = PD n P é verdadeira para n =. Admitindo a sua veracidade para n, provemos que é verdadeira para n. Ora, A n = A n A = ( PD n P )( PDP ) = PD n ( P P ) DP = P ( D n D ) P = PD n P, como queríamos. A 2 a igualdade deve-se à hipótese de indução e as 3 a,4 a e5 a justificam-se pela propriedade associativa da multiplicação de matrizes e pelas definições de matriz inversa e de potência de uma matriz. [ [ [ /2 /2 (b-i) Neste caso tem-se D = e P =. Logo, P 3 = /2 /2 e [ [ A 2 = PD 2 P ( ) 2 [ /2 /2 = 3 2 /2 /2 [ [ 3 2 /2 /2 = 3 2 = [ /2 / MAIC Ano Lectivo 24/25

24 (b-ii) Neste caso obtém-se, de forma análoga, A 2 = Sendo A umamatrizdeordemn, um polinómio matricial em A, p(a), define-se de maneira análoga à do polinómio escalar: p(a) =c m A m + c m A m + + c A + c I, em que c,c,...,c n são os coeficientes. [ 3 Considerando a matriz A =, cujo polinómio característico é p(λ) =λ 2 5λ +5, 2 calculemos o polinómio matricial p(a) =A 4 +3A 3 +2A 2 + A + I. Resolução Pelo teorema de Cayley-Hamilton, a matriz A satisfaz a sua equação característica, isto é, A 2 5A +5I = O.. Então, pelo que A 2 =5A 5I, A 4 = A 2 A 2 =(5A 5I) 2 =25A 2 5A +25I =25(5A 5I) 5A +25I =75A I e A 3 = AA 2 = A (5A 5I) =5A 2 5A =5(5A 5I) 5A =2A 25I. Por conseguinte, p(a) =A 4 +3A 3 +2A 2 + A + I =(75A I)+(6A 75I)+2(5A 5I)+A + I =46A 84I 6 Eercícios Propostos Determine os valores e vectores próprios das matrizes dadas a seguir. Indique, em cada caso, uma base do subespaço próprio associado a cada valor próprio bem como as respectivas multiplicidades algébrica e geométrica. A = 2 [ 2 2 B = 3 2 C = D = 2 3 E = F = 2 G = Diga quais das matrizes do eercício são diagonalizáveis. Para estas, indique a matriz diagonalizante e a matriz diagonal obtida. 23 MAIC Ano Lectivo 24/25

25 3 Sejam T e S endomorfismos de um espaço vectorial real E de dimensão 3 cujas matrizes a respeito de uma certa base são, respectivamente, 2 2 e. 2 2 Determine os valores e vectores próprios de T, S edes T. 4 Suponha que a matriz D do eercício representa uma transformação linear T relativamente à base canónica de R 3. Considerando a base u =(,, ), u 2 =(,, ), u 3 =(,, )} qual é a matriz representativa de T? Que relação eiste entre os valores próprios desta matriz e os da matriz D? Qual a matriz de mudança de base? [ 5 Considere a matriz A = onde m é um número real. m m+ (a) Calcule o polinómio característico de A assim como os seus valores próprios. (b) Para que valores de m, amatriza é diagonalizável? 6 Sendo A umamatrizdeordemn, prove que: (a) Se λ é valor próprio de A, então λ k é valor próprio de A k (k N). (b) Se det A e λ é valor próprio de A, então λ é valor próprio de A. (c) As matrizes A e A T têm os mesmos valores próprios. (d) Sendo B outra matriz de ordem n, os produtos AB e BA têm os mesmos valores próprios. (e) A é invertível se e só se λ =não é valor próprio de A. (f) Se eiste k N tal que A k =, zero é o único valor próprio de A. 7 Seja A umamatrizdeordemn idempotente. Que relação eiste entre os valores e vectores próprios de A e A 2? 8 Seja A uma matriz de ordem 3 tal que A = 2 2, A = 3 e A = (a) Indique os valores próprios de A e as respectivas multiplicidades algébricas. (b) Indique o polinómio característico da matriz A. (c) Indique, se eistir, uma matriz diagonal semelhante a A. (d) Determine, eplicitamente, uma matriz A nas condições do enunciado. 9 Seja A = a b a c, com a, b, c R. Determine a, b, c e os valores próprios λ,λ 2,λ 3 b c de A de modo que =(,, 2), =(,, ) e 3 =(,, ) sejam vectores próprios associados a λ,λ 2,λ 3, respectivamente. Considere o endomorfismo de R 2 definido por f(, y) =(, + ay), em que a R. (a) Para que valores de a a matriz representativa de f é diagonalizável? 24 MAIC Ano Lectivo 24/25

26 (b) Sendo A a matriz representativa de f na base canónica, para os valores obtidos na alínea (a) encontre uma matriz diagonal D e uma matriz não singular P tal que A = PDP. Considere a transformação linear T : C 3 C 3 que, em realção à base canónica de C 3, tem representação matricial A =. (a) Calcule os valores próprios e os vectores próprios de T e indique, justificando, se eiste uma base de C 3 em relação à qual a representação matricial de T é diagonal. Em caso afirmativo, obtenha a referida base, a correspondente matriz diagonal D eamatriz diagonalizante P tal que D = P AP. (b) Resolva a alínea (a) para o caso em que T é igualmente definida por A, mas substituindo C 3 por R 3. (c) Prove que eiste n N tal que A n = I e determine o menor valor de n com esta propriedade. 2 Considere a matriz A = (a) Calcule o polinómio característico assim como os valores e vectores próprios de A. (b) Prove que A é diagonalizável e determine uma matriz não singular P tal que P AP seja diagonal. (c) Mostre que A é não singular e utilize a alínea anterior para calcular A. (d) Prove que ( A 2 6I ) (A +2I) é a matriz nula, onde I é a matriz identidade de ordem 3. Aproveite este resultado para obter A. 3 Seja T um endomorfismo de R 3 tal que o subespaço gerado pelo vector (,, ) é invariante para T, assim como o subespaço S = (, y, z) R 3 : + y + z =}. Sabendo que T (,, ) = (,, ), determine a forma da matriz que representa T na base canónica de R 3. 4 DadaamatrizA = , determine uma matriz B tal que B 2 = A. 4 5 Sejam F,F 2,...,F k subespaços de um espaço vectorial E. Diz-se que o subespaço S = F + F F k é uma soma directa e representa-se por S = F F 2 F k quando, k para cada i, 2,...,k} se tem F i F j = }. j=,j i (a) Mostre que S = F F 2 F k se e só se para quaisquer vectores f F, f 2 F 2,..., f k F k é válida a implicação f + f f k = f = f 2 = = f k =. (equivale a dizer que o vector se escreve de maneira única como soma de k vectores, pertencentes respectivamente a F,F 2,...,F k ). 25 MAIC Ano Lectivo 24/25

27 (b) Sendo T um endomorfismo de um espaço vectorial E, λ,λ 2,...,λ k,kvectores próprios distintos de T e E[λ,E[λ 2,...,E[λ k os respectivos subespaços próprios associados, prove que: i. E[λ +E[λ E[λ k é uma soma directa. ii. T é diagonalizavel se e só se E = E[λ E[λ 2 E[λ k. 7 Soluções dos Eercícios Propostos. A : C : E : F : 2. λ 2 E[λ (,, ) (,, ) m.alg. 2 m. geom. λ 2 E[λ (, ) (, ) m.alg. m. geom. ; D : λ 2 E[λ (,, ) (,, ), (,, ) m.alg. 2 m. geom. 2 λ 2 E[λ (, 2, ) (,, ) (,, ) m.alg. ; m. geom. ; B : λ 3+i 2 3 i 2 2 E[λ ( i 2, 3 3 i 2, ) ( i 2, i 2, ) (,, ) ; m.alg. m. geom. λ 2 2 λ E[λ (,,, ) (,,, ) (,,, ) E[λ (,, ) ; G : m.alg. 2 m.alg. 3 m. geom. m. geom. ; Matriz Diagonalizável? P D A Não B Sim 2 C Sim [ [ 2 2 D Sim i i E Sim 3+ 2i 3 3 2i 3 3 2i 3 2i 2 F Não G Não λ 2 3. T : E[λ ( 2,, 5) ; S : λ E[λ (,, ) (,, ) λ 4 S T : E[λ ( 4, 3, 5) (,, ) (,, 3) 2 4. A T ( u, u 2, u 3 })=. Todas as matrizes que representam uma transformação linear relativamente a diferentes bases são semelhantes e, por isso, têm os mesmos valores próprios. 26 MAIC Ano Lectivo 24/25

28 P =. 5. (a) p(λ) =λ 2 (m +)λ + m, valores próprios.λ = m e λ =;(b) se m, os valores próprios são distintos e eistem 2 vectores próprios linearmente independentes. A matriz é, portanto, diagonalizável neste caso. Se m =, a matriz tem um único valor próprio (λ =)de multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica, pelo que não é diagonalizável. 8(a)2 e 3 com multiplicidades algébricas e 2, respectivamente; (b) p(λ) =( ) 3 (λ 2) (λ +3) 2 = λ 3 4λ 2 +3λ +8;(c) 2 3 ; (d) A = b = c, a + c = 2, λ = c, λ 2 = c +3e λ 3 = 2c.. (a) a ;(b) D =. (a) Eiste, D = [ a i i [ a ; P =., P = i i 2. (a) p(λ) =λ 3 6λ +2λ 2 32; P = A = 3. /4 /4 /4 /4 /4 /4 +α + β α β α +α β +β 4. 5/2 /2 /2 /2 5/2 /2 2 Referências.., com α, β R. 2 ; (b) Não eiste; (c) n =4.,P AP = ; (c) [ Agudo, F. R. D., Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica, Livraria Escolar Editora, 996. [2 Apostol, T., Calculus, Vol 2, Editorial Reverté, 975. [3 Giraldes, E., Fernandes, V. H. e Smith, M. P. M, Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica, Editora McGraw-Hill de Portugal, 995. [4 Luz, C., Matos, A. e Nunes, S., Álgebra Linear (Volume I), 2 a edição, EST Setúbal, 23. [5 Magalhães, L. T., Álgebra Linear como Introdução a Matemática Aplicada, Teto Editora, 99. [6 Strang, G., Linear Algebra and Its Applications, Academic Press, New York, MAIC Ano Lectivo 24/25