QUESTÕES DE ESCOLHA MÚLTIPLA

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Elias Candal Chaplin
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1 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 9/ TÓPICOSDERESOLUÇÃODO o TESTE(DIURNO) QUESTÕES DE ESCOLHA MÚLTIPLA. [,]SejamAeB duas matrizes quadradas da mesmaordemtais que A é uma matriz ortogonal(istoé,aa T =A T A=I n )eb éumamatrizsimétrica. Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? A) Aéumamatrizsingular. B) A T B=(BA) T. C) A T eb T sãopermutáveis. D) AB éumamatrizsimétrica. Resolução: AmatrizAéortogonallogoteminversa(A =A T ),peloqueaopcãoa) éfalsa;béumamatrizsimétricalogob=b T vindo(ba) T =A T B T =A T B,peloque B)éaopçãocorrecta.. [,]ConsidereoconjuntoS={+x, x,x+x } P (R). Qual das seguintes afirmações é necessariamente falsa? A) Opolinómio4+xéumacombinaçãolineardoselementosdeScomoscoeficientes, e, respectivamente. B) 4+x S. C) Os elementos de S são linearmente independentes. D) Épossívelobteropolinómio+x+x apartirdoselementosdesdeduasformas distintas. Resolução: (+x)+( x )+(x+x )=4+x,peloqueaopcãoA)éverdadeira; viu-seque4+xécombinaçãolineardos elementos des logo4+x S, dondeaopçãob)éverdadeira;x+x =(+x) ( x )portantooselementosde S são linearmente dependentes e C) é falsa.

A) Aéumamatrizsingular. B) A T B=(BA) T. C) A T eb T sãopermutáveis. D) AB éumamatrizsimétrica.

2 3. [,]Considere a matriz ondekéumparâmetroreal. A= k k k, I. Sek=,asegundalinhaécombinaçãolineardasrestantes. II. Qualquerquesejaovalordek,aquartalinhaécombinaçãolineardasrestantes. III. Qualquer que seja o valor de k, as três primeiras colunas de A são linearmente independentes. IV. AslinhasdamatrizAsãolinearmenteindependentesparak. A lista completa das afirmações correctas é: A)IeIV. B)IIIeIV. C)IeII. D)IIeIII. Resolução: (,,,) = λ (,,,)+λ (,,,)+λ 3 (,,,) é impossível, pelo queaopcãoi.éfalsa; (,,,)=λ (,,k,)+λ (,k,,)+λ 3 (,,, k)éimpossível,sendoaopcãoii. falsa; k k k... k k k Dadiscussãodacararacterísticadamatrizresultaque,sek todasascolunaselinhas da matriz são linearmente independentes, donde as opções III. e IV. são verdadeiras e a opçãocorrectaéaopçãob). RESUMO: A) B) C) D) X X 3 X

A lista completa das afirmações correctas é: A)IeIV. B)IIIeIV. C)IeII. D)IIeIII. Resolução: (,,,) = λ (,,,)+λ (,,,)+λ 3 (,,,) é impossível, pelo queaopcãoi.

3 . Considereoseguintesistemadeequaçõeslineares,emqueaebsãoparâmetrosreais: x+y+z=a ax+y z=. ax ay=b (a) [,5]Discuta o sistema em função dos parâmetros. Resolução: Recorrendo à matriz ampliada do sistema, [A B], vamos fazer a sua condensação por forma a obtermos a matriz em escada: [A B] = a a a a b al +L al +L 3 a a+ a a +. a a +b Vamos agora proceder à discussão do sistema (usando o teorema de Rouché e corolário): Sea a,entãoc(a)=c(a B)=3=n. o incógnitas. Logo,osistema é possível e determinado. Decontrário,istoé,sea= a=,temosduassituações: Sea=,então: Seb=,entãoc(A)=c(A B)= 3=n. o incógnitas,logo,osistemaé possível e indeterminado. Seb,entãoc(A)= 3=c(A B),logo,osistemaéimpossível. Sea=,então 3 6 b+4 3 L +L b Seb=,entãoc(A)=c(A B)= 3=n. o incógnitas,logo,osistemaé possível e indeterminado. Seb,entãoc(A)= 3=c(A B),logo,osistemaéimpossível. (b) [,]Admitaquea= eb=. RecorrendoaoMétododeGauss,resolvaosistema. Resolução: Usando os cálculos já efectuados na alínea(a), tem-se 3 6. Assim, o sistema é equivalente a L 3 6 L 3 L +L. istoé, { x y= z= { x=y z=, y R. 3

4 (c) [,5]Indique, justificando, o valor lógico de: "O sistema homogéneo associado a um sistema impossível é um sistema impossível". Resolução: Afirmação falsa porque um sistema homogéneo é sempre possível. Neste caso, o sistema homogéneo seria possível e indeterminado. (d) [,5]Pode afirmar que o conjunto das soluções de um sistema homogéneo é um subespaço vectorial? Justifique. Resolução: Sim. O conjunto das soluções de um sistema homogéneo constitui o espaço nulo da matriz dos coeficientes do sistema.. Considereasmatrizes A= 4 e B= (a) [,5]CalculeA. Resolução: AmatrizinversaA obtém-seampliandoamatrizacomamatriz identidadei 3 ereduzindoamatrizresultante. Istoé: Assim, L +L L +L 3 L 4 L 3 L +L A = (b) SendoX umamatriz,resolvaaequaçãoax B=O. Resolução: TendoemcontaqueexisteA,tem-se:. L L 3 L 3 +L Assim, AX B=O AX=O+B AX=B A AX=A B ( A A ) X=A B A A=I 3 I 3 X=A B X=A B. X=A B= =

(d) [,5]Pode afirmar que o conjunto das soluções de um sistema homogéneo é um subespaço vectorial? Justifique. Resolução: Sim.

5 3. Sejam V o subespaço de R 3 gerado por (,,) e (,3,) e W o conjunto de R 3 definido por W = { (x,y,z) R 3 :x+y z= }. (a) [,]Caracterize V por meio de um sistema de equações. Resolução: Seja u =(u,u,u 3 ) V u (,,),(,3,) a=u (u,u,u 3 )=a(,,)+b(,3,) a+3b=u a+b=u 3 passando para a forma matricial tem-se: u u 3 u L +L 3 u +u u 3 L +L 3 u +u 3 u 3 u +u u +u 3 3 (u +u ) 3 L +L 3 para o sistema ser possível tem-se que u +u 3 3 (u +u )= u +u 3 3 (u +u )= u +u 3u 3 =,logo V = { (x,y,z) R 3 :x+y 3z= } (b) [,5]MostrequeW ésubespaçovectorialder 3. Resolução: W ésubespaçovectorialder 3 sse: W (?) como.+ == (,,) W = W u, v W? = u + v W u =(u,u,u 3 ) W = u +u u 3 =(i) v =(v,v,v 3 ) W = v +v v 3 =(ii) mostrarque u + v =(u +v,u +v,u 3 +v 3 ) W émostrarque (u +v )+(u +v ) (u 3 +v 3 )=. masatendendoa(i)e(ii)sabemosque (u +u u 3 )+(v +v v 3 )= (u +v )+(u +v ) (u 3 +v 3 )= entãopodemosconcluirque: u, v W = u + v W 5

6 u W, λ R? = λ u W mostrarqueλ u =(λu,λu,λu 3 ) W émostrarque (λu )+(λu ) (λu 3 )= atendendoa(i)tem-seλ(u +u u 3 )= (λu )+(λu ) (λu 3 )= entãopodemosconcluirque: u W, λ R= λ u W Conclusão: W ésubespaçovectorialder 3. (c) [,5]Determine V W. Resolução: Seja u V W = u V u W = u {(x,y,z) R 3 :x+y 3z= x+y z=} { { { x+y z= y=z x y= 5x x+y 3z= z= 3x z= 3x então V W = { (x,y,z) R 3 :y= 5x z= 3x } ={(x, 5x, 3x):x R}= (, 5, 3). [ 4. [,5]ConsidereamatrizA= 4 deaeindiqueasuadimensão. ]. Determineumabasedoespaçodascolunas Resolução: OespaçodascolunaséC(A)=<C,C,C 3 >=<(,),(,),(, 4)> peloque(,),(,)e(, 4)sãogeradores. Para constituirem uma base os vectores têm de ser linearmente independentes: [ ] [ ] 4 L +L A característica da matriz é logo as duas colunas dos redutores são linearmente independentes, portanto {(,),(,)} é base de C(A), donde dimc(a) = (n o de vectores da base). 6

ésubespaçovectorialder 3. (c) [,5]Determine V W.

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