Sistema de equações lineares

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1 Sistema de equações lineares Sistema de m equações lineares em n incógnitas sobre um corpo ( S) a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b n n n n 2 m1 1 m2 2 mn n m a ij são elementos de um corpo Ω b j são elementos de um corpo Ω x 1, x 2,..., x n são variáveis tomando valores em Ω coeficientes termos independentes variáveis ou incógnitas ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 1 Sistema de equações lineares Representação matricial A a a a a a a n n = a a a m1 m2 mn X x1 b1 x 2 b 2 = B= xn bm AX = B A matriz dos coeficientes do sistema ou matriz do sistema B matriz dos termos independentes X matriz das incógnitas ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 2

2 Sistema de equações lineares Solução de um sistema de equações Uma solução s do sistema de equações (S) é constituída por n escalares, s 1, s 2,..., s n tal que s1 s = = sn 2 s As B Conjunto de soluções do sistema colecção de todas as soluções do sistema (S) ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 3 Sistema de equações lineares Classificação dos sistemas determinado (solução única) possível (tem soluções) Sistema indeterminado (múltiplas soluções) impossível (não tem solução, equações são incompatíveis) Sistema homogéneo os termos independentes são todos nulos; é sempre possível pois admite pelo menos a solução nula. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 4

3 Sistema de Cramer Sistemas de Cramer - o número de equações é igual ao número de incógnitas; - a matriz dos coeficientes, A, tem característica idêntica à ordem da matriz (r(a) = n; det(a) 0) Os sistemas de Cramer podem ser resolvidos por: - inversão de matrizes - Teorema de Cramer ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 5 Sistemas de Cramer Resolução por inversão de matrizes Se AX=B é um sistema de Cramer, A -1 AX=A -1 B I n X= A -1 B X = A -1 B ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 6

4 Sistemas de Cramer Teorema de Cramer O valor de cada incógnita x j é obtido pelo quociente de dois determinantes: - o determinante do denominador é o determinante A da matriz dos coeficientes; - o determinante do numerador é o determinante que resulta de A substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita x j pela coluna dos termos independentes. x j = coluna x j a a b a n a a b a n a a b a n1 n2 n nn a a a a j 1n a a a a j 2n a a a a n1 n2 nj nn ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 7 Resolução de sistemas Resolução usando operações elementares Fundamento do método Transformação do sistema inicial num sistema equivalente de resolução mais simples. Sistemas equivalentes admitem o mesmo conjunto de soluções Seja (S): AX=B um sistema de m equações em n incógnitas e C uma matriz invertível de ordem m. Então o sistema (S ): (CA)X=CB é equivalente ao sistema (S). ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 8

5 Resolução de sistemas Resolução usando operações elementares Seja (S): AX=B um sistema de m equações em n incógnitas. Seja [A B ] uma matriz obtida a partir da matriz completa do sistema, [A B], através de um número finito de operações elementares sobre as linhas. Então, o sistema A X=B é equivalente ao sistema AX=B. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 9 Resolução de sistemas Resolução usando operações elementares Procedimento para a resolução do sistema AX=B 1. Construção da matriz completa do sistema [A B]; 2. Aplicação de operações elementares às linhas da matriz completa do sistema, transformando-a numa nova matriz [F K]; esta nova matriz é uma matriz em formato de linhas escalonadas. O sistema correspondente à matriz [F K] é equivalente ao original e pode ser resolvido de forma (quase) directa. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 10

6 Resolução de sistemas Matriz em formato de linhas escalonadas (a) qualquer linha contendo um elemento não nulo precede as linhas cujos elementos são todos nulos; (b) o primeiro elemento não nulo em cada linha é 1 e ocorre numa coluna à direita do primeiro valor 1 em qualquer linha anterior; (c) o primeiro elemento não nulo em cada linha é o único elemento não nulo na respectiva coluna. m. triangular superior m. diagonal O processo usado para transformar a matriz completa do sistema numa matriz em formato de linhas escalonadas designa-se eliminação Gaussiana. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 11 Resolução de sistemas Eliminação Gaussiana (2 passos) Passo 1 a matriz completa do sistema é transformada numa matriz triangular superior com o valor 1 no primeiro elemento não nulo de cada linha; cada um destes valores ocorre numa coluna à direita do primeiro elemento não nulo da linha precedente (condições (a) e (b)); Passo 2 a matriz triangular é transformada numa matriz com as linhas escalonadas (condição (c)). ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 12

7 Sistemas homogéneos Sistemas homogéneos Um sistema AX=B de m equações em n incógnitas é homogéneo se B= O. Qualquer sistema homogéneo tem pelo menos uma solução, a solução nula 0 0 s = 0 Esta solução é designada solução trivial do sistema homogéneo. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 13 Sistemas homogéneos Conjunto fundamental de soluções de um sistema homogéneo O sistema AX=O tem soluções não nulas se e só se r(a) < n, isto é se a característica da matriz dos coeficientes for inferior ao número de incógnitas. Um conjunto X 1, X 2,..., X k de soluções linearmente independentes do sistema AX=O é um conjunto fundamental de soluções se qualquer solução do sistema é uma combinação linear das soluções X 1, X 2,..., X k. O número de soluções de qualquer conjunto fundamental é igual ao grau de indeterminação do sistema homogéneo. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 14

8 Sistemas homogéneos Relação entre as soluções de um sistema e as soluções do sistema homogéneo associado A solução geral do sistema AX=B pode ser obtida somando uma solução particular deste sistema (s 0 ) com a solução geral do sistema homogéneo AX=O associado (s). Com efeito, se As= O e As 0 = B, então A(s+s 0 )= O+B = B. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 15