Resumo. Sistemas e Sinais Composição de Máquinas de Estados (2) Retroacção. Esta Aula

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1 Resumo Sistemas e Sinais Composição de Máquinas de Estados () lco@ist.utl.pt Retroacção Retroacção bem-formada Retroação sem entradas Máquinas de saída determinada pelo estado Instituto Superior Técnico Sistemas e Sinais p./ Sistemas e Sinais p./ Esta Aula Retroacção O que é uma composição com retroação? Quantos pontos fixos podem existir numa composição com retroação? O que é uma composição com retroacção bem-formada? O que significa o símbolo reage? O que caracteriza uma máquina de saída determinada pelo estado? f Num sistema simples de retroacção a saída de uma máquina de estados é re-alimentada como entrada da mesma máquina. Na composição síncrona, em cada reacção a mudança do símbolo de saída de uma máquina é simultânea com a do símbolo de entrada. No caso da composição em retroacção a saída ao mudar faz também mudar simultaneamente a entrada que por sua vez afectará a saída. x Sistemas e Sinais p.3/ Sistemas e Sinais p.4/

2 Ponto Fixo Composição bem-formada Numa equação na forma: x= f (x) à solução, se existir, chama-se ponto fixo.. x= x solução única (x=0,5). x= x solução dupla (x=0e x=) 3. x=+ x sem solução para x f No contexto das máquinas de estados, uma composição de retroacção sem ponto fixo num estado acessível é considerada mal concebida. A composição de retroacção é bem-formada se, para todos os estados acessíveis, existir um ponto fixo único que não seja o correpondente à entrada nula. As máquinas de estados que não respeitam este critério são denominadas de mal-formadas. x Sistemas e Sinais p.5/ Sistemas e Sinais p.6/ Retroacção sem Entradas O caso mais simples de uma composição em retroacção de uma máquina de estados: Para a composição ser possível: Saidas A Entradas a A n-ésima reacção será: (s(n+), (n))=actualiza A (s(n), (n)). Para cada estado s(n) a saída será o ponto fixo da função: (n)=saida A (s(n), (n)) Se a máquina é bem-formada tem de existir uma solução para além da trivial: (n)=nulo a máquina composta é bem-formada Sistemas e Sinais p.7/ Sistemas e Sinais p.8/

3 Resultado da Composição {reage}/f {V, F} {reage}/v A máquina composta alterna de estado e de valor de saída em cada reacção. Não há ponto fixo: a máquina composta é mal-formada Sistemas e Sinais p.9/ Sistemas e Sinais p.0/ Saída Determinada pelo Estado Mais do que um ponto fixo: a máquina composta é mal-formada Uma máquina A tem a saída determinada pelo estado se em cada estado acessível s(n) Estados A, existe um único símbolo de saída (n) = b que independentemente do símbolo de entrada não nulo, ou seja: : x(n) nulo= saida A (s(n), x(n))=b Sistemas e Sinais p./ Sistemas e Sinais p./

4 Composição Resultado Quando uma máquina receptiva com saída determinada pelo estado é combinada com outra qualquer máquina de estados numa composição de retroacção, a composição resultante é bem-formada. : {V, F} {reage}/f {reage}/f (,) (,) {V, F} (,) {reage}/v (,) {reage}/v Máquina B Sistemas e Sinais p.3/ Sistemas e Sinais p.4/ Retroacção Bem-Formada Retroacção com Entradas A composição em retroacção com uma máquina receptiva com saída determinada pelo estado é sempre bem-formada. É possível que uma composição em retroacção seja bem-formada mesmo que não inclua uma máquna receptiva de saída determinada pelo estado. Pode ser consideravelmente mais difícil encontrar o comportamento de uma composição com retroacção que não inclua uma máquina com saídas determinada pelo estado. EntradasA EntradasA Saidas A Saidas A A composição é bem-formada se, para todos os estados acessíveis s(n) Estados A e para cada símbolo da entrada externa x (n) Entradas A, existir um símbolo de saída único e não-nulo (n) Saidas A que verifique: saida A (s(n), (x (n), (n)))= (n) Sistemas e Sinais p.5/ Sistemas e Sinais p.6/

5 Composição com Retroacção x x n s(n+)=0,5s(n)+ x (n)+ x (n) (n)= s(n) Começar num estado a da máquina composta e assumir que a entrada é reage Começar por assumir que as ligações de retroacção tem o valor desconhecido. Examinar as máquinas da composição e verificar se impõem um valor fixo às ligações de retroacção No caso afirmativo voltar a examinar as máquinas para determinar o valor da saída. Repetir o processo para os restantes estados. Se, para todos os estados acessíveis, se conseguir eliminar as ligações com desconhecido, então a composição é bem-formada. Sistemas e Sinais p.7/ Sistemas e Sinais p.8/ Pesquisa Exaustiva {0}/(0,) {}/(,) {0}/(0,0) a b x/(,x) {}/(,0) x Quando o procedimento anterior falha, não significa que a máquina seja mal-formada. A alternativa é procurar o ponto fixo através de uma pesquisa exaustiva que consistem em, para todos estados acessíveis e para todas as entradas da composição possíveis, tentar todas as transições possíveis dos estados actuais da máquinas que constituem a composição. As transições que levam a contradições são rejeitadas. A pesquisa exaustiva só funciona quando o número de estados acessíveis é finito e quando o número de transições de saída de cada estado for também finito. Sistemas e Sinais p.9/ Sistemas e Sinais p.0/

6 Máquinas Não-Determinísticas Conclusões As máquinas não-determinísticas podem ser compostas da mesma forma do que as determinísticas. Nas composições com retroacção, em cada reacção passam a existir: EntradasPossiveis Entradas, ProximosEstadosPossiveis Estados, ProximasSaidasPossiveis Saidas. Em cada iteração podem ser adicionadas elementos aos conjuntos ProximosEstadosPossiveis e ProximasSaidasPossiveis O processo converge quando a partir de uma iteração não são adicionados mais elementos a esses conjuntos. Muitos sistemas são concebidos como máquinas de estados. A sua concepção é estruturada pela composição de máquinas simples. Estudámos a composição síncrona. A composição em retroacção é particularmente difícil porque o símbolo de entrada numa reacção depende do próprio símbolo da saída. Se uma das máquinas da composição em retroacção tiver a saída determinada pelo estado, então é fácil determinar a reacção. Sistemas e Sinais p./ Sistemas e Sinais p./