Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT

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Luca Miranda Espírito Santo
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1 Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT Fazer exercícios 1, 4, 5, 7, 8, 9 da seção pgs 186, 187 do livro texto. 2. Fazer exercícios 1), 2), 3), 5)(b), 6), 8) (veja neste exercício a noção de fluxo de um campo de vetores F através de uma curva fechada ) da seção 8.5.2, pgs 192, 193,194 do livro texto. 3. Fazer exercícios 1), 4) da seção pgs 198, 199 e 6), 9), 10), 11), 12) da seção 8.7 pgs 198,199, 200 do livro texto. 4. Fazer exercícios 1), 2), 3), 4) da seção pgs 207, 208 e exercícios 1), 2), 6), 7), 9) seção pgs 213, 214 do livro texto. 5. Fazer exercícios 3), 4) da seção pgs 224, 225 e exercícios 1), 2), 3), 4), 8) da seção pgs 228, 229 do livro texto. 6. Fazer exercícios 1), 2) da seção pg 254 e 1)(a), 2), 3), 4), 5), 6) da seção pgs 257, 258, 259 do livro texto. (Trabalho) 7. Seja 1 o semi-círculo x 2 + y 2 = 1, y 0 parametrizado de maneira simples com a projeção x da curva crescendo de 1 até 1. onsidere o campo F (x, y) = ( x 2 y 2, y 2). 8. alcule o trabalho W 1 realizado pelo campo F ao longo de 1. Resposta: W 1 = 4/15. Em seguida calcule o trabalho W 2 do mesmo campo F ao longo do semi-círculo orientado de maneira que a projeção x da curva decresça de 1 até 1. 1

6.3 pgs 198, 199 e 6), 9), 10), 11), 12) da seção 8.7 pgs 198,199, 200 do livro texto. 4. Fazer exercícios 1), 2), 3), 4) da seção 9.1.2 pgs 207, 208 e exercícios 1), 2), 6), 7), 9) seção 9.2.5 pgs 213, 214 do livro texto.

2 Finalmente, considere 2 o segmento de reta orientado de (1, 0) à (3, 1). Seja a justaposição das curvas parametrizadas 1 (parametrização inicial) e 2. alcule o trabalho W de F ao longo de. Resposta: W = 4/ / onsidere a curva 3 dada pelo arco orientado da parábola x = (y 1) 2 + 1, saindo do ponto (1, 1) e chegando ao ponto (2, 0). alcule o trabalho realizado pelo campo G(x, y) = ( x (y 1) 2, 2 ), ao longo de 3. Sugestão: Use uma parametrização, t (x(t), y(t)), com y = t. Resposta: onsidere o campo F em R 2 dado por F (x, y) = (8 + y 2 3x 2, e y + 2xy + ye 2y ). Determine se F (x, y) é conservativo ou não. Encontre todas as funções potenciais associadas à F (caso existam); verificando por um cálculo direto a sua resposta. Resposta: f(x, y) = 8x + xy 2 x 3 + e y ye 2y +, R. 2 4 alcule ( o trabalho W realizado ) pelo campo F ao longo da curva t 2 cos 7 (t/2), 3 sen(t/2) 4, quando t varia de t = 0 à t = 2π. Generalize isto para curvas simples fechadas quaisquer. Resposta: O trabalho pedido está dado por W = f( 2, 0) f(2, 0) = 16. e 2y 11. Seja F (x, y, z) = (0, 0, 8), um campo de Forças constante vertical. onsidere a hélice dada por t (2 cos t, 2 sen t, bt), onde b é uma constante a determinar. Suponha que F move uma partícula da origem até o ponto (0, 0, 70), ao longo da hélice dando 5 voltas em torno do eixo vertical z, realizando um trabalho W. Determine b, e calcule W, justificando sua dedução com todos os detalhes. (Integrais de linha no espaço e trabalho). 12. alcule xydx + (z x)dy + 2yzdz := [ ] xydx/dt + (z x)dy/dt + 2yzdz/dt dt, onde está formado pela justaposição de três segmentos de retas orientados; sendo o primeiro saindo da origem até ao ponto P := (1, 0, 0), o segundo ligando o ponto P ao ponto Q := (1, 2, 0) e o terceiro ligando o ponto Q ao ponto R = (1, 2, 2). Resposta: 6. Interprete tal integral como trabalho. 2

alcule o trabalho realizado pelo campo G(x, y) = ( x (y 1) 2, 2 ), ao longo de 3. Sugestão: Use uma parametrização, t (x(t), y(t)), com y = t. Resposta: 1. 10.

3 13. Seja f(x, y, z) uma função diferenciável e seja : t (x(t), y(t), z(t)), t [a, b] uma curva parametrizada. Escreva a integral de linha f(x, y, z)dl, na forma de uma integral de uma variável real t, onde: está dada como a interseção das superfícies z = 4x 2 +2y 2 e z = 12+ x 2 y 2, de forma que sua projeção ortogonal está orientada no sentido anti-horário. Esboce um desenho esquemático de, respondendo se é uma curva plana ou não, justificando a sua afirmação. 14. Seja F (x, y, z) = (0, 0, 8), um campo de Forças constante vertical. onsidere a hélice dada por t (2 cos t, 2 sen t, bt), onde b é uma constante a determinar. Suponha que F move uma partícula da origem até o ponto (0, 0, 70), ao longo da hélice dando 5 voltas em torno do eixo vertical z, realizando um trabalho W. Determine b, e calcule W, justificando sua dedução com todos os detalhes. Dê alguma interpretação física. Esboce um desenho da curva determinando uma superfície clássica que contenha o seu traço. (Teorema de Green). 15. Deduza que a integral x(x 2 + y 2 )dx + (2x + x 2 y + y 3 )dy := ( ) x(x 2 + y 2 )dx/dt + (2x + x 2 y + y 3 )dy/dt dt onde : t (x(t), y(t)), t [a, b] é uma curva plana simples fechada, é proporcional à area da região delimitada por esta curva. Interprete tal integral como trabalho. Encontre outros exemplos semelhantes de campos veoriais F realizando um trabalho ao longo de curvas fechadas com a mesma propriedade. 16. Seja 1 uma curva parametrizada fechada simples, que é fronteira de um domínio R 1 do plano R 2, dada por α(t) = (f(t), g(t)), t [0, 1], α(0) = α(1). (a) onsidere o campo F (x, y) = ( 2y + e x cos x, 2x + ln(1 + y 2 )). Escreva o trabalho W 1 (F ) realizado pelo campo F ao longo de 3

projeção ortogonal está orientada no sentido anti-horário. Esboce um desenho esquemático de, respondendo se é uma curva plana ou não, justificando a sua afirmação. 14.

4 1 na forma de uma integral definida de uma função real de uma variável real t. Sendo o integrando dependente de f, f, g, g. (b) Em seguida, usando obrigatoriamente o teorema de Green, calcule o trabalho de F ao longo da elipse x 2 /4+y 2 /9 = 1, negativamente orientada (orientação horária).resposta: Resposta: 24π. (c) Agora suponha que a área da região R 1 do enunciado seja igual a A 1 e que o centróide de R 1 seja igual a (x 0, y 0, z 0 ). Seja λ > 0, e considere λ = {(u, v); u = λx, v = λy, (x, y) 1 }. onsidere o campo G(u, v) = ( v 2 /2, 0). alcule o trabalho W = W λ (G) realizado pelo campo G ao longo de λ em termo de λ, A e de y 0. Sugestão: Use o teorema de Green. Resposta: W = λ 3 A 1 y 0. (Parametrização de superfícies). onsidere as superfícies parametrizadas abaixo (a b c > 0). (a) (elipsóide) x = a sen u cos v, y = b sen u sen v, z = c cos u (b) (Hiperbolóide de duas folhas) x = a senh u cos v, y = b senh u sen v, z = c cosh u (c) (one) x = a senh u senh v, y = b senh u cosh v, z = c senh u (d) (Parabolóide elíptico) x = au cos v, y = bu sen v, z = u 2 (e) (Parabolóide hiperbólico) x = au cosh v, y = bu senh v, z = u 2 (f) (Helicóide) x = av cos u, y = av sen u, z = bu i. Exceto para o helicóide encontre as equações cartesianas das superfícies na forma F (x, y, z) = 0, fazendo um desenho qualitativo e geométrico de seus traços (gráficos). ii. Identifique as curvas coordenadas u =cst e v =cst dentre as curvas clássicas. iii. Determine valores, caso seja possível, a, b, c para que a superfície seja de revolução, identificando o seu eixo. iv. alcule o normal N = N(u, v) e o elemento de área da := X u X v dudv. aso a superfície seja de revolução determine se o normal N está apontando para a região de R 3 que contém o eixo (ou não). No caso do elipsóise determine se o normal N está apontando para dentro ou para fora. 4

(c) Agora suponha que a área da região R 1 do enunciado seja igual a A 1 e que o centróide de R 1 seja igual a (x 0, y 0, z 0 ). Seja λ > 0, e considere λ = {(u, v); u = λx, v = λy, (x, y) 1 }.

5 v. Troque v por senh v na parametrização acima do helicóide explicando se obtemos uma nova superfície ou não. Em seguida, quando a = b, calcule X u X u, X v X v, X v X v, onde é o produto escalar de R 3. vi. onsidere Y : (u, v) ( a cosh v sen u, a+a cosh v cos u, av). Identifique esta superfície com uma translação de uma superfície de revolução, fazendo um desenho. Em seguida, calcule Y u Y u, Y v Y v, Y v Y v, comparando com o cálculo acima. (g) Seja x = u cos v, y = u 2 /2, z = u sen v, 0 u 1, 0 v π. Deduza que a superfície é de revolução fazendo um desenho apurado desta. (Integral de superfícies). 17. onsidere novamente a superfície parametrizada S dada por x = u cos v, y = u 2 /2, z = u sen v, 0 u 1, 0 v π. alcule a área A de S, o centróide (x, y, z) de S, e o momento de inércia relativo ao eixo z definido por I z := S (x2 + y 2 )da. Resposta: A = (2 2 1)/3, x = 0, y = (5 + 3 ( 2)/35, Az = 3 2 ln(1 + ) 2) / onsidere as superfícies S 1 = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 1, z = xy} e S 2 = {(x, y, z) R 3 ; 1/2 x 2 + y 2 1, z = xy}. (a) Seja g(x, y, z) = e xyz + cos z. Seja I 1 = g(x, y, z) da S 1 oloque I 1 na forma de uma integral iterada, usando coordenadas usuais retangulares x, y. Determine rigorosamente o domínio de integração e explicite o integrando em função das variáveis x, y. (b) Seja g(x, y, z) = e xyz + cos z. Seja I 2 = g(x, y, z) da S 2 oloque I 2 na forma de uma integral dupla, usando coordenadas polares r, θ. Determine o domínio de integração em termos de r, θ e explicite o integrando em função das variáveis r, θ. (c) alcule a área de S 1. Resposta: 2π [ ] 2 3/

Identifique esta superfície com uma translação de uma superfície de revolução, fazendo um desenho. Em seguida, calcule Y u Y u, Y v Y v, Y v Y v, comparando com o cálculo acima.

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