CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS

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1 CÁCUO DE MATRIZ PARA EEMENTOS FINITOS Sistemas de equações algébricas que relacionam Forças, Deslocamentos e Coeicientes de Rigidez podem ser representados e resolvidos de orma compacta e elegante com auílio da Notação Matricial. (AVES, 00). Tem-se que é possível realizar uma analogia entre sistemas com molas e outros sistemas tais como barras, chapas, etc., de maneira que acilite a compreensão do método de cálculo por elementos initos de estruturas. Portanto: Mola arra F F EA/ d d a) b) Figura : a) Comparação entre Mola e b) uma arra de um elemento Fonte: Alves (00). Então, uma barra que submetida a uma orça aial de tração ou compressão terá o comportamento equivalente ao de uma mola sob tração ou compressão. EA F. é similar a F. d Onde F é a orça, é a rigidez da mola, é a deormação da mola, d é a variação de comprimento e é o comprimento inicial. Então para o caso especíico mostrado na igura, tem-se que o Nó do elemento é submetido a um deslocamento devido a orça aplicada, mantendo-se o Nó bloqueado. () Mola - 0 Figura : Compressão de uma mola.

2 Para o caso especíico mostrado na igura e tomando-se as condições de equilíbrio do sistema, tem-se que a reação encontrada no Nó é - pois tem sentido oposto a. Desta orma colocando-se na orma Matricial tem-se: Para uma Mola:. 0 () Supondo que se tenham as orças como incógnitas tem-se para este sistema duas equações e duas incógnitas. Sendo, portanto:.. + ( ) + () Substituindo por zero tem-se:.. + (.0) (4) Para uma arra de um elemento: Comparativamente tem-se da mesma maneira que representa a rigidez da Mola, EA / representa a rigidez da arra de um elemento. Dados que o módulo de elasticidade E, a área A e o comprimento são constantes, podese isolar estas constantes da Matriz. EA F F EA EA d. EA d 0 (5) F F EA. d. d 0 (6) Quando o sistema possui mais de um elemento de mola tem-se: A Elemento Elemento C a b Figura : Sistema de mola com dois elementos

3 A C a -a -a a A b -b -b b C A C a -a 0 -a a + b -b 0 -b b A C 00. Figura 4: Procedimento para montagem da Matriz de Rigidez da estrutura. Fonte: Alves, A montagem deste sistema de elementos mola possui liberdade apenas para deslocamento unidirecional, permitindo a compressão ou tração devido a orças aiais. As estruturas de vigas podem ter liberdade de movimentação em cada um de seus nós do elemento. A viga, no caso mais geral, pode transmitir orças aiais, momentos letores em dois planos perpendiculares contendo seus eios principais, orças cortantes e momentos torçores. Vide igura a seguir.

4 Figura 5: A viga e os graus de liberdade em um elemento. Fonte: Alves, 00. Considerando-se o comportamento de vigas dos undamentos da resistência dos materiais e impondo-se deslocamentos unitários transversais e de rotação θ ao elemento viga, resultam os coeicientes de rigidez necessários. M R R M M., EI R. (7) (8) Figura 6: Deslocamento em um nó. M M R Figura 7: Inclinação em um nó. R θ EI M.θ 4EI M.θ R.θ (9) (0) ()

5 A disposisão dos Elementos na Matriz, que não comtempla orças aiais e apenas leão, é vinculada aos quatro graus de liberdade. 4 4 EI EI 4EI EI EI EI EI 4EI 4 Figura 8: Graus de liberdade do elemento e a Matriz correspondente. Sabe-se que para a matriz de um elemento, como mostrada na igura anterior, bem como, na Matriz Global sempre tem-se uma matriz quadrada e que também haverá a simetria. EI 6 EI EI 4 EI 6 EI EI Simétrica EI 4EI Figura 9: Simetria da Matriz do elemento.

6 Figura 0: Estrutura de pórtico Plano, constituida de Viga com Rigidez Aial e Rigidez á Fleão no Plano. (Alves, 00).

7 00). Figura : Matriz de rigidez global da estrutura sistema global de coordenadas. (Alves,

8 REVISÃO DE AGERA MATRICIA.. Generalidades [ K] ª. inha ª. inha ª. inha ª. Coluna ª. Coluna ª. Coluna Figura : Eemplo de Matriz. Sendo: K o elemento localizado na ª. inha e ª. Coluna K o elemento localizado na ª. inha e ª. Coluna Desta maneira temos como índice o primeiro número indicando a linha e o segundo número indicando a coluna em que está o elemento da matriz. De modo geral pode-se epressar a posição em que se encontra um elemento por K ij em que o elemento encontra-se na i-ésima linha e j-ésima coluna. A matriz pode ser epressa de maneira compacta como: [ ] [ ] K K ij Figura : Eemplo de simpliicação de uma Matriz. Neste eemplo tem-se uma matriz composta por linhas e colunas. Como esta possui o mesmo número de linhas e de colunas diz-se que ela é é uma Matriz Quadrada de Ordem.

9 Na equação {F} [K]. {U} normalmente se conhecem as orças e rigidez mas, tem-se os delocamentos U como incógnitas portanto, há necessidade de isolá-los. Para realizar o isolamento desta matriz coluna é necessário utilizar o procedimento de inversão da matriz rigidez. O procedimento de inversão passa por encontrar a Determinante da matriz, os coatores, a matriz transposta e a matriz identidade.. Determinante de Matriz Para encontrar a Determinante de uma matriz é necessário somar os produtos de seus elementos como mostrado no eemplo a seguir. [ K ] det K. Figura 4: Procedimento para encontrar a determinante de um Matriz. Note que a determinante de uma matriz é um número.. Matriz Transposta Para a obtenção da Matriz Transposta é necessário trocar a posição dos elementos das linhas para colunas conorme eemplo a seguir. Isto é obtido azendo-se com que um elemento que ocupe a posição i,j da Matriz [K] tenha a posição j,i da Matriz [K] T. 4 T [ K ] tem se [ K ] Figura 5: Procedimento para transpor uma Matriz..4 Coatores de Matriz 5 6 Os coatores de uma matriz são números obtidos em unção de sua posição na matriz e os valores restantes da matriz quando se eliminam uma linha e uma coluna da matriz e multiplicados por (-) i+j que indica o cruzamento da linha e coluna eliminadas, conorme eemplo a seguir. Para o elemento, da matriz do eemplo tem-se: [ ] K co ( K ) ( ) Figura 6: Procedimento para encontrar um dos coatores de uma Matriz.

10 Para o elemento, da matriz do eemplo tem-se: [ ] K co ( K ) ( ) Figura 7: Procedimento para encontrar outro dos coatores de uma Matriz.. A matriz dos coatores teria o seguinte aspecto: [ Co K ] 47 Figura 8: Resultado da matriz com os dois coatores da Matriz. Para inversão da matriz de rigidez tem-se então: K. det [ ] cok [ ] [ K ]T Figura 9: Resumo da inversão de uma Matriz. Com a matriz de rigidez inversa é possível reescrever a equação da seguinte maneira: { } [ ] U K.{ F} Figura 0: Equação simpliicada dos deslocamentos globais. Onde {U} corresponde a matriz coluna dos deslocamentos globais e {F} corresponde a matriz coluna das orças.

11 Figura : Visão geral do método dos elementos initos. (Alves, 00).