Método de Análise de Malhas

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1 étodo de Análise de alhas. ntrodução Além da técnica de análise nodal já abordada, a análise de circuitos pode também ser eita de orma simples e sistemática por meio de análise de malhas, a qual pode ser considerada como a dual da análise de nós, uma ez que está baseada na Lei das Tensões de Kirchho (LTK) aplicada às malhas do circuito. Neste tipo de análise serão também empregadas ariáeis auxiliares conhecidas como correntes de malha, das quais todas as correntes e tensões dos ramos podem ser obtidas. Como no caso da análise de nós, não serão, portanto, utilizadas diretamente as ariáeis dos ramos. A antagem da utilização de correntes de malha é a redução no número de equações. Dee ser lembrado que uma malha é um caminho echado no circuito que não contém nenhum outro caminho dentro dele. A presente apostila apresenta o método de orma resumida, maior detalhes são encontradas na bibliograia da disciplina.. Procedimento Básico A análise de malhas enole sempre os cinco passos descritos a seguir.. Deinição das alhas e Sentidos de Percurso nicialmente dee ser determinado o número de malhas contidas no circuito. Para um circuito contendo b ramos (componentes) e n nós existirão sempre (b-n) malhas, as quais permitirão escreer um número de equações independentes igual a (b-n). Uma ez identiicadas as malhas, dee-se numerá-las e designá-las como,, K b n. Além disso, dee-se escolher um sentido de percurso para cada malha. A escolha do sentido não interere com as equações que serão obtidas, mas é importante na determinação das correntes e tensões de ramo. Também nesta etapa serão deinidas polaridades para as tensões nos ramos, as quais deinem as correntes de ramo que serão consideradas positias.. Aplicação da LTK para as alhas Após a deinição das malhas, dee-se percorrê-las de acordo com o sentido atribuído para cada uma delas, retornando-se ao ponto de partida após a malha ter sido percorrida. Pode-se adotar a seguinte conenção quanto às dierenças de potencial: quedas de potencial ao longo deste percurso serão consideradas positias, ao passo que eleações de potencial serão consideradas negatias. Como resultado desta etapa haerá (b-n) equações que representam os somatórios das tensões sobre os componentes que compõem cada malha, de acordo com a conenção adotada.. Consideração das elações Tensão-Corrente dos amos Considerando que as equações da etapa anterior oram escritas em unção das tensões dos ramos e sendo as correntes de malha as incógnitas, dee-se utilizar as relações de tensãocorrente para substituir as tensões dos ramos por relações enolendo as correntes de malha. Como resultado desta etapa, obtém-se (b-n) equações enolendo as correntes de malha. Dee-se atentar que existe uma relação tensão corrente para cada ramo (componente), existindo portanto b relações deste tipo.. Solução do Sistema de Equações Após a obtenção das equações de malha, dee-se utilizar algum método de solução de sistemas lineares - por exemplo, o étodo de Gauss - e determinar as (b-n) incógnitas. Num caso geral, obtém-se um sistema de equações íntegro-dierenciais, cuja solução é assegurada caso o circuito seja composto apenas de elementos lineares e inariantes. Caso o

2 PUCS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos - Pro. Luís Alberto Pereira - ersão de //5 página /8 circuito seja composto apenas de resistores, obtém-se um sistema de (b-n) equações algébricas onde os coeicientes são obtidos a partir das resistências do circuito, sendo a solução neste caso mais ácil, uma ez que não enolem integrais e deriadas..5 Obtenção das Correntes e Tensões dos amos Depois de solucionado o sistema de equações, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das correntes de malha. Por exemplo a corrente de ramo, percorrido por um lado pela corrente de malha x e por outro pela corrente de malha y do circuito conorme a Figura, pode ser obtida pela seguinte equação: i i () x y Na equação acima, oi considerada como positia a corrente de malha que circula no mesmo sentido que a corrente do ramo, ao passo que oi considerada negatia a que circula em sentido contrário. Dee-se também atentar que a equação () pode ser obtida aplicando-se a LCK a qualquer um dos nós do ramo. Considerando-se os sentidos associados, a tensão no ramo será dada como: x y Figura - Tensão e corrente de ramo i ( ) () x y - resistência do ramo (ohms, ). Exemplo de Aplicação O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Figura, onde todos as etapas citadas serão realizadas passo a passo.. Deinição das alhas e Sentidos de Percurso Para o circuito da Figura, existem n nós e b5 componentes. Desta orma, o número de malhas echadas é (5-). Os sentidos adotados para os percursos das malhas serão todos no sentido horário, conorme mostra a Figura, podendo no entanto ser escolhido um outro sentido. Na Figura também são mostrados os sentidos considerados positios para as E malha malha Figura - Circuito de exemplo

3 PUCS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos - Pro. Luís Alberto Pereira - ersão de //5 página /8 quedas de tensão (polaridade das tensões) para os componentes.. Aplicação da LTK para as alhas De acordo com conenção adotada, as equações para as malhas e são dadas pelas expressões que seguem: E E () (). Consideração das elações Tensão-Corrente dos amos As relações tensão corrente para os ramos do circuito são estabelecidas baseadas nas equações () e () da orma que segue: i (5) i (6) i (7) i (8) i (9) i () ( ) i () i () nserindo-se as relações tensão-corrente nas equações de malha, obtêm-se as equações em termos das correntes de malha. equação da malha : E E ( ) ( ) E () equação da malha : ( ) ( ) () É possíel também expressar as equações de orma matricial:

4 PUCS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos - Pro. Luís Alberto Pereira - ersão de //5 página /8 ( ) ( ) E (5). Solução do Sistema de Equações Para a obtenção da solução serão considerados os seguintes alores: E olts 6 Desta orma, o sistema de equações terá a seguinte orma: (6) Solucionando-se o sistema obtém-se a resposta: A.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos amos A partir das correntes de malha, as correntes e tensões em todos os ramos podem ser obtidas: i.8 A i.765 A i A i.765 A V V ( ) (.8.765) 6. 5 V V Uma ez conhecidas as correntes e tensões nos ramos podem ser também determinadas as potências em cada um dos componentes, bem como a potência total dissipada no circuito.. Obtenção das Equações de alha por nspeção Quando o circuito contém somente resistores lineares e ontes independentes de corrente, as equações de malha do circuito podem ser escritas diretamente. Dee-se obserar que a matriz

5 PUCS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos - Pro. Luís Alberto Pereira - ersão de //5 página 5/8 de coeicientes do sistema de equações contém alores de resistência, sendo portanto denominada de matriz de resistências. Dee-se também obserar que, neste caso, o sentido de todas as correntes de malha dee ser atribuídos como horário. Com esta conenção, a matriz de resistências possui a seguinte orma geral, onde N(b-n): [ ] N N L L N N NN (7) A matriz de resistências é uma matriz do tipo simétrica com as seguintes propriedades, as quais permitem a sua montagem baseada apenas na topologia do circuito. soma das resistências da malha j j resistência comum entre a malha j e Dee-se atentar para o ato de que os elementos ora da diagonal principal são alores negatios na matriz de resistências O sistema de equações terá a seguinte orma geral: N [ ] [] [ E] N L L N N NN E E N E N (8) (9) [] [ L ] T () N [ E] [ E E L ] T () EN E - somatório das ontes das ontes de tensão existentes na malha, sendo que serão consideradas positias as ontes que atuam no sentido da corrente de malha e as demais negatias. Fontes que atuam no sentido da corrente de malha são aquelas que ao serem percorridas no sentido de percurso da malha são atraessadas do terminal negatio para o terminal positio. Baseado nas propriedades acima, pode-se montar diretamente as equações de malha do circuito, atentando-se para o ato que o circuito contenha apenas ontes de tensão independentes e resistores lineares. Pode-se comproar esta airmação para o exemplo anterior obtendo-se diretamente as equações de malha do circuito. 5. Análise de alhas com Fontes de Corrente A análise de malhas, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada quando o circuito contier ontes de corrente, sejam elas dependentes ou independentes. As ontes de corrente impõem uma determinada corrente num ramo, não sendo contudo possíel determinar a tensão da mesma antes de solucionar o circuito. Na realidade a presença de uma onte de corrente não altera praticamente nada no método de análise descrito anteriormente. Estas características deem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do

6 PUCS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos - Pro. Luís Alberto Pereira - ersão de //5 página 6/8 circuito. Em muitos casos a onte de corrente em paralelo com um resistor pode ser transormada numa onte de tensão em série com o resistor, conorme já abordado. Este procedimento, no entanto, nem sempre é possíel ou óbio. Existem diersas métodos de considerar o eeito das ontes de corrente, sendo que um deles é descrito a seguir. Considerando que a onte de corrente está inserida entre os terminais x e y conorme a Figura, obsera-se que a tensão da onte aparecerá nas equações de ambas as malhas que possuem a onte de corrente em comum. Como não há uma relação entre a corrente da onte e a sua tensão, pode-se manter a tensão da onte como uma incógnita a ser determinada. Por outro lado, deido à presença da onte, as correntes das malhas x e y estão relacionadas pela seguinte relação: x y () malha x x malha y y Figura - Fonte de corrente entre duas malhas Desta orma, oi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações ( ), mas também oi acrescentada uma equação ( x ), sendo ainda possíel solucionar o circuito. No total existirá, assim (n-b) equações. Também pode-se eliminar a tensão da onte do sistema de equações isolando-se a tensão na equação da malha x, por exemplo, e substituindo-a na equação da malha y. Desta orma, elimina-se a equação de malha x do sistema, icando o sistema noamente com (n-b) equações. y malha x x Figura - Fonte de corrente numa única malha Caso a onte de tensão estier inserida num caminho por onde apenas uma malha passa, signiica que a corrente da malha está determinada pela corrente da onte. Neste caso podese desconsiderar a equação desta malha e estabelecer o seguinte alor para a corrente da malha, conorme mostra a Figura : x () O procedimento descrito corresponde ao tratamento das duas malhas que incluem a onte como se ossem uma única malha e aplicando-se a LTK para esta malha composta, também chamada de super-malha ou malha generalizada (ide bibliograia). O exemplo mostrado na Figura 5 ilustra o procedimento. Para este circuito as equações de nós são as seguintes: malha : malha : E E ()

7 PUCS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos - Pro. Luís Alberto Pereira - ersão de //5 página 7/8 E malha malha Figura 5 - Análise de malha com onte de corrente (5) As relações tensão-corrente são as seguintes: i (6) i (7) i (8) i (9) i () i () ( ) i () i () A equação adicional considerando a onte de corrente é: () substituindo as relações (6) a () obtém-se inalmente as equações do circuito. Dee-se notar que a tensão da onte de corrente aparece como uma incógnita a mais, haendo também uma equação a mais (equação ()). malha : E ( ) E

8 PUCS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos - Pro. Luís Alberto Pereira - ersão de //5 página 8/8 ( ) E (5) malha : ( ) ( ) (6) As equações (), (5) e (6) são portanto as equações básicas do circuito, sendo as incógnitas, e. De orma matricial, o sistema de equações pode ser escrito como: ( ) ( ) E (7) Considerando-se os seguintes alores: E V 6 A 6 Obtém-se o sistema matricial que segue: (8) esolendo-se o sistema, obtém-se, inalmente, a solução: (9) 6. Exercícios Propostos Os exercícios abaixo oram selecionados da bibliograia da disciplina. ecomenda-se que todos os exercícios sejam resolidos. Charles K. Alexander e atthew N. O. Sadiu (). Fundamentos de Circuitos Elétricos. Booman (Central, Edição ) - Capítulo. Problemas:.5,.8,.,.,.6,.7,.8,.9,.,.8,.5,.5,.5,.57.