Análise de Circuitos Lineares

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1 Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica Análise de Circuitos Lineares Teresa Mendes de Almeida [email protected] DEEC Área Científica de Electrónica T.M.Almeida ST-DEEC- ACElectrónica Matéria Simplificação de circuitos Resistências em série e em paralelo Fontes de tensão em série Fontes de corrente em paralelo Simplificação de circuitos Circuito Linear Linearidade Homogeneidade Aditividade Aplicação na simplificação de circuitos Teorema da Sobreposição Aplicação na análise e simplificação de circuitos Circuitos equivalentes Thévenin Norton Teoremas de Thévenin e de Norton Equivalentes de circuitos sem geradores com geradores independentes com geradores dependentes e independentes só com geradores dependentes Conversão de geradores Aplicação na análise e simplificação de circuitos Exemplos de aplicação

2 Simplificação de circuitos 3 Resulta de aplicar Lei hm, KCL, KVL Resistências em série R = R + R S Resistências em paralelo R P RR = R + R Geradores de Tensão em série é preciso ter em conta polaridade das tensões Fontes de Corrente em paralelo é preciso ter em conta sentido das correntes V = V V = + V - + V - Exemplo de simplificação de circuitos 4 Calcular i(t) simplificando o circuito malha todos componentes em série mesma corrente em todos componentes simplificar geradores de tensão ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) v t v t v t v t v t v t simplificar resistências ( ) i t R = R + R S ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) v t v t v t v3 t v4 t v5 t = = R R + R S circuitos equivalentes para o cálculo de i(t) resulta um circuito mais simples para o cálculo da grandeza eléctrica pretendida, neste caso, a corrente i(t)

3 Exemplo de simplificação de circuitos 5 Calcular i 5 (t)=i R (t) simplificando o circuito nós todos componentes em paralelo simplificar fontes de corrente usar equação do divisor de corrente Calcular V bc =V b -V c =V 0kΩ simplificando o circuito simplificar geradores de tensão, simplificar resistências usar equação do divisor de tensão ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) io t i t i3 t i4 t i6 t R i5 ( t) = io ( t) R + R + V bc - + V bc - Vbc 0 = ( 6) = V Circuito Linear 6 Descrito por equações algébricas lineares Componentes do circuito têm características lineares têm características não lineares mas podem ser localmente aproximadas por características lineares modelos lineares por troços linear não linear Linearidade linearidade implica homogeneidade e aditividade homogeneidade aditividade circuito linear x, y tensão ou corrente f ( α x) = α f ( x) f ( x + y) = f ( x) + f ( y) f(x), f(y) tensão ou corrente

4 Homogeneidade (escalamento) f(αx)= α f(x) 7 Quanto vale se V=4V? E se V=,V? V V x V = 4 V =? = ma = = 6mA R f ( x) V =, V =? = 0,6mA não é preciso voltar a analisar o circuito para obter o novo resultado como é um circuito linear pode fazer-se escalamento do resultado Quanto vale V out? pela estrutura do circuito (circuito em escada), para fazer a sua análise é preciso propagar o efeito de V N =V desde a entrada até à saída V out é preciso escolher uma forma de análise do circuito é preciso analisar o circuito da esquerda para a direita usando homogeneidade arbitra-se um valor numérico para V out analisa-se da direita para a esquerda determina-se V N correspondente faz-se escalamento (regra de três simples) Homogeneidade (escalamento) f(αx)= α f(x) 8 Quanto vale V out? usando homogeneidade arbitra-se um valor numérico para V out analisa-se da direita para a esquerda determina-se V N correspondente faz-se escalamento (regra de três simples) calcula-se V out real Quanto vale se = 6mA? arbitrar valor numérico para (p. ex. ma) calcular e escalar o valor obtido V ' = 4V out V ' out ' = = ma k V ' = 4k + k ' = V ( ) V ' ' = = 4mA 3k ' = ' + ' = 6mA 0 V ' = k ' + V ' = 4V 0 0 V ' out Vout = V0 = V V ' 0

5 Aditividade f(x+y)=f(x)+f(y) 9 Circuito linear + V + V a corrente resulta da presença das duas fontes de tensão V e V a corrente é a soma de duas parcelas uma resulta da presença de V : V a outra resulta da presença de V : V calcular : V =6V V =0V calcular : V =0V V =V calcular : 6 = = 50µ A 80k + 40k = = 0, 00 80k 40k ma = µ + A = + = µ A 50 Exemplos de aplicação 0 Calcular usando linearidade (homogeneidade) Calcular V usando linearidade (homogeneidade) ( α ) = α ( ) f x f x

6 Teorema da Sobreposição Num circuito linear, contendo vários geradores independentes, a corrente ou a tensão num ponto pode ser calculada como a soma algébrica das contribuições individuais de cada um dos geradores independentes agindo isoladamente considera-se um gerador independente de cada vez eliminam-se os restantes geradores independentes eliminar gerador(fonte) de tensão = substituir-se por curto-circuito eliminar gerador de corrente = substituir-se por circuito aberto num circuito com N geradores independentes faz-se a análise de N sub-circuitos mais simples Calcular i Sub-circuito Sub-circuito i = i + i i i i Exemplo de aplicação Calcular V =V R6 f ( x + y) = f ( x) + f ( y) Sub-circuito Sub-circuito V = V ' + V '' V ' = 6k k + k ' = = ma k + k + 6k 3 V ' = 4V 6k V '' = 3 = V k + k + 6k divisor de corrente divisor de tensão Soma algébrica das contribuições analisaram-se circuitos mais simples V = V ' + V '' = 6V para cada um escolheu-se um determinado método de análise que se considere mais adequado (simples e rápido)

7 Exemplos de aplicação 3 Calcular V usando o Teorema da Sobreposição Exemplos de aplicação 4 Calcular e A usando o Teorema da Sobreposição

8 Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 5 Dado um circuito para análise linear ou não linear Pode ser dividido em circuitos A circuito linear B circuito linear ou não linear circuito linear A pode ser substituído por um circuito equivalente mais simples Circuito equivalente de Thévenin fonte de tensão em série com resistência V C = tensão em circuito aberto (open circuit) Circuito equivalente de Norton fonte de corrente em paralelo com resistência SC = corrente de curto-circuito (short-circuit) Teorema de Thévenin 6 Um circuito linear, quando visto de um par de terminais, é equivalente a um circuito constituído por uma fonte de tensão em série com uma resistência V TH = V C tensão equivalente de Thévenin tensão em circuito aberto R TH resistência equivalente de Thévenin resistência vista dos dois terminais Como determinar circuito equivalente de Thévenin? analisar circuito linear calcular V C e R TH + V C - R TH

9 Teorema de Norton 7 Um circuito linear, quando visto de um par de terminais, é equivalente a um circuito constituído por uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência N = SC corrente equivalente de Norton corrente medida em curto-circuito R TH resistência equivalente de Thévenin (Norton) resistência vista dos dois terminais Como determinar circuito equivalente de Norton? analisar circuito linear SC calcular SC R TH R TH Equivalência entre circuitos Thévenin - Norton 8 Circuitos de Thévenin e Norton são equivalentes ao circuito linear logo são equivalentes entre si Qual a relação entre V C, SC e R TH? R TH V = Uma vez conhecida esta relação, basta calcular duas das grandezas e pode obter-se a terceira C SC escolher o cálculo das duas grandezas que são mais fáceis de calcular independentemente do tipo de circuito equivalente (Thévenin ou Norton) que se pretende determinar Método de cálculo de V C, SC e R TH? depende da estrutura do circuito linear que se tem de analisar e do qual se pretende calcular o circuito equivalente (Thévenin ou Norton) Tem geradores?... São independentes?... Tem geradores dependentes?...

10 Circuito sem geradores 9 V C = 0 SC = 0 se não existe nenhuma fonte de energia no circuito, não há corrente eléctrica! R TH = simplificação das resistências do circuito Circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton A são apenas uma resistência de valor R TH Qual o circuito equivalente de Thévenin/Norton? B R TH =kω R TH =3kΩ Circuito só com geradores independentes 0 Podem calcular-se as 3 grandezas: V C, SC ou R TH V C calculada com o circuito em aberto SC calculada fazendo um curto-circuito aos terminais R TH eliminam-se geradores independentes e simplificam-se resistências calcular apenas grandezas escolher mais fáceis Calcular equivalente de Thévenin visto para a esquerda dos nós e V C divisor de tensão 0k VC = V = ( 6) = V 0k + 40k R TH elimina-se fonte independente R 40 TH = 0 k // 40k = k = 3,3kΩ 3 SC curto-circuito entre e não passa corrente na R 0kΩ SC 6 = = 0,5mA 40k SC 3, 3kΩ V + V C -

11 Circuito com geradores independentes e dependentes Calcular V C e SC V C calculada com o circuito em aberto SC calculada fazendo um curto-circuito aos terminais bter R TH = V C / SC Calcular equivalente de Norton visto para a esquerda de a-b V C SC R TH V = V = V C ab V = k C V = = ma 3k + k V = V C V = 0V ( V ) = 0, R= kω = 0 SC = = 4mA 3k R TH VC = = 500Ω SC 4mA 500Ω a b a b Circuito só com geradores dependentes V C = 0 SC = 0 se não existe nenhuma fonte de energia independente no circuito, não há corrente eléctrica! Não se pode calcular R TH = V C / SC obtém-se uma indeterminação matemática É preciso usar uma fonte de teste dependendo do circuito aplica-se fonte de tensão (V T ) ou de corrente ( T ) aos terminais do circuito VT a razão entre V T e T é a resistência equivalente de Thévenin RTH = T V T + V T - T T A B

12 Circuito só com geradores dependentes 3 Determinar o equivalente de Thévenin aos terminais AB V C =0 SC =0 aplicar fonte de teste de tensão V T =V calcular a corrente T = 0 calcular R TH =V T / T =/ T cálculo de T KVL malha exterior, KCL nó V calcular V x,, e 3, 0 = T T V T = V = V + V AB V V V x V + + = 0 k k k 3 Vx = V 7 Vx 3 = = ma k 7 x V x = = ma k 7 3 = = ma k = T = = ma RTH = = kω 4 5 T A B Conversão de Geradores 4 Geradores reais gerador de tensão real tem resistência interna em série gerador de corrente real tem resistência interna em paralelo Um gerador de tensão real é equivalente a um gerador de corrente real esta equivalência pode usar-se para simplificar circuitos Calcular V R TH V = C SC V 4k = 4k + 4k + 4k = ma = 8V ( ) 4mA

13 Como determinar circuito equivalente? 5 Pode determinar-se circuito equivalente calculando o equivalente de todo o circuito linear calculando parcialmente um circuito equivalente nunca se podem separar as variáveis de controlo dos geradores dependentes, da parte do circuito onde estes estão inseridos! Calcular V VC = 6V SC = 8mA V = 8 7 V Exemplos de aplicação 6 Calcular V e usando Teoremas de Thévenin ou Norton

14 Exemplos de aplicação 7 Calcular V e usando Teoremas de Thévenin ou Norton Exemplos de aplicação 8 Calcular circuitos equivalentes de Thévenin e Norton vistos dos terminais A-B

15 Exemplos de aplicação 9 Calcular V e usando Teoremas de Thévenin ou Norton Ferramentas de análise de circuitos lineares 30 Lei de hm e Leis de Kirchhoff (KCL e KVL) Componentes em série e paralelo Resistências, geradores(fontes) de tensão e de corrente Propriedades de circuito linear Homogeneidade (escalamento), Aditividade Teorema da Sobreposição Teoremas de Thévenin e Norton Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton Conversão de geradores