MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 24 CIRCUNFERÊNCIA

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1 MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 24 CIRCUNFERÊNCIA

2 r (a, b)

3 P R C

4 P R C

5 P R C

6 Como pode cair no enem (UFRRJ) Em um circo, no qual o picadeiro tem no plano cartesiano a forma de um círculo de equação igual a x 2 + y 2-12x - 16y , o palhaço acidentou-se com o fogo do malabarista e saiu desesperadamente do centro do picadeiro, em linha reta, em direção a um poço com água localizado no ponto (24, 32). Calcule a distância d percorrida pelo palhaço, a partir do momento em que sai do picadeiro até o momento em que chega ao poço.

7 Fixação 1) (CESGRANRIO) y x A equação da circunferência cuja representação cartesiana está indicada pela figura acima é: a) x 2 + y 2-3x - 4y = 0 b) x 2 + y 2 + 6x + 8y = 0 c) x 2 + y 2 + 6x - 8y = 0 d) x 2 + y 2 + 8x - 6y = 0 e) x 2 + y 2-8x + 6y = 0

8 Fixação 2) Qual é a equação da circunferência que tem centro C (6, - 2) e que passa pelo ponto (1, 10)?

9 Fixação 3) Considere P e Q os pontos de interseção da reta de equação 2y - x = 2 com os eixos coordenados x e y respectivamente. a) Determine as coordenadas dos pontos P e Q. b) Determine a equação da circunferência que tem o segmento PQ como diâmetro.

10 Fixação F b c 4) (UNIRIO) A equação x 2 + y 2 5-4x + 6y 3 = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do centro é igual a: a a) -2 b) 3 c) 5 d) 8 e)15

11 ixação ) (UNIRIO) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a circunferência de equação x 2 + y 2 = 4x é: ) y d) y x x ) e) y x y x ) y x

12 1) A feira de Caruaru Faz gosto da gente ver De tudo que há no mundo Nela tem pra vender ( A cidade a que se refere Luiz Gonzaga em sua canção está indicada no mapa abaixo como a origem de um sistema de eixos ortogonais x0y. Considere que a região de influência da feira de Caruaru seja representada, nesse sistema de eixos pela inequação x 2 + y 2 2,25, com x e y medidos em centímetros. a) determine sua área, em km 2, supondo que a escala do mapa seja de 1: ; b) demonstre que uma cidade situada nas coordenadas 11 11, do sistema de eixos considerado não está nessa região

13 2) (UERJ) Observe o sistema: y = 1/x x 2 + y 2 = r 2 O menor valor inteiro de r para que o sistema acima apresente quatro soluções reais é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

14 3) (UNIRIO) O menor valor inteiro de m para que a equação x 2 + y 2 + 8x - 2y - m = 0 represente uma circunferência é: a) -17 b) -16 c) 0 d) 16 e) 17

15 4) (UFRJ) Considere as retas paralelas de equações y = x + 3 e y = x - 1. Determine a equação da circunferência tangente a essas retas e com centro no eixo y.

16 5) (UFRJ) A reta y = x + k, k fixo, intercepta a circunferência x² + y² = 1 em dois pontos distintos, P 1 e P 2, como mostra a figura a seguir. y P 2 P 1 x a) Determine os possíveis valores de k. b) Determine o comprimento do segmento P 1 P 2 em função de k.

17 6) (UFF) Determine as coordenadas dos pontos da reta de equação y = 3x + 4 que distam quatro unidades da origem.

18 7) (UERJ) Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas na tirinha. a) Se, A, B e C pertencem à uma mesma reta, calcule a distância entre A e C quando: A está situado entre B e C; A está situado fora do segmento BC. b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um ponto móvel, B um ponto do semieixo positivo das abscissas (x) e C a origem (0, 0), determine a equação da linha descrita pelo ponto A e identifique a curva correspondente.

19 8) (UFRJ) Os pontos (- 6, 2), (3, - 1), e (- 5, - 5) pertencem a uma circunferência. Determine o raio dessa circunferência.

20 9) (UNICAMP) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1, 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4y - 3x - 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação x 2 + y 2-6x - 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o km. Pergunta-se: a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias? b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q?

21 10) (PUC) Uma formiga caminha sobre um plano onde está localizado um referencial cartesiano. Inicia seu deslocamento S em um ponto sobre a curva de equação x 2 + y 2 = 1 (x e y em cm) na qual está se movimentando, e não passa por um mesmo ponto mais de uma vez. Então, S é um número real tal que: a) 0 S 2π d) 0 S < 2π b) π S 2π e) π S < 2π c) 0 S π

22 11) (UNICAMP) As transmissões de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A(0,0), B(100,0), C(60,40) e D(0,40), sendo o quilômetro a unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máximo de cada antena é de 20 km, pergunta-se: a) O ponto médio do segmento BC recebe as transmissões dessa emissora? Justifique sua resposta apresentando os cálculos necessários. b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora?

23 12) (UEL) Na decoração de uma pré-escola são usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma destas placas é formada por uma figura que pode ser definida por x 2 + y 2-8x - 8y quando projetada em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em metros. Esta placa vai ser pintada usando duas cores, cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy. Considerando o plano cartesiano xy como referência, a região acima da reta será pintada de vermelho e a região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola vai fazer 12 destas placas e que, é necessária uma lata de tinta para pintar 3m 2 de placa, serão necessárias, no mínimo, quantas latas de tinta vermelha? a) 12 d) 32 b) 24 e) 48 c) 26

24 13) (UFSM) A equipe de arquitetos e decoradores que fez o projeto de um shopping deseja circunscrever uma circunferência ao quadrado maior Q 1, que possui lado de 10 m. Se as coordenadas do centro da circunferência forem dadas pelo ponto (10, 8) e se forem usadas a parede da porta de entrada (x) e a lateral esquerda (y) como eixos coordenados referenciais, a equação da circunferência será: a) x 2 + y 2-20x - 16y = 0 b) x 2 + y 2-20x - 16y + 64 = 0 c) x 2 + y 2-20x - 16y = 0 d) x 2 + y 2-20x - 16y - 36 = 0 e) x 2 + y 2-16x - 20y = 0

25 14) (UFRS) Na figura a seguir, o octógono regular está inscrito no círculo de equação x2 + y2-4 = 0. A área do octógono é: a) 5 b) 8 c) 10 d) 10 e) 20

26 15) (UFSM) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x 2 + y 2-4x - 6y - 36 = 0 e adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente: a) 7 e 113,04 d) 14 e 113,04 b) 7 e 153,86 e) 14 e 153,86 c) 12 e 113,04

27 16) (UFU) No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x 2 + y 2 = 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y = 2x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B. Considerando uma nova reta h, descrita pela equação cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S nos pontos A e C. a) Determine os pontos A, B e C. b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e C.

28 17) (UFSM) Uma luminária foi instalada no ponto C(-5,10). Sabe-se que a circunferência iluminada por ela é tangente à reta que passa pelos pontos P(30,5) e Q(-30,-15). O comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y, que é iluminado por essa luminária, é: a) 10 m d) 40 m b) 20 m e) 50 m c) 30 m

29 O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida por: a) (x 2) 2 + (y 6) 2 1 c) x [1, 3], y [4, 6] b) (x 1) 2 + (y 5) 2 2 d) x = 2, y [5, 7] 18) (UNICAMP) A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a Câmara de Vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da Câmara de Vereadores.

30 19) (ENEM) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: I é a circunferência de equação x2 + y2 = 9; II é a parábola de equação y = x2 1, com x variando de 1 a 1; III é o quadrado formado pelos vértices ( 2, 1), ( 1, 1), ( 1, 2) e ( 2, 2); IV é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V é o ponto (0, 0). Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? a) c) e) y y 9 y x x x -9 b) d) y 9 y x x -9