Frente 3 Aula 20 GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas Cartesianas Ortogonais

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1 Frente ula 0 GEOETRI NLÍTI oordenadas artesianas Ortogonais Sistema cartesiano ortogonal Sabemos que um sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eios perpendiculares entre si com uma origem comum. O eio dos é o eio das abscissas e o eio dos o das ordenadas. O plano definido por esses dois eios é um plano cartesiano. Os dois eios dividem o plano cartesiano em quatro quadrantes numerados conforme a figura: cada ponto do plano cartesiano associamos duas coordenadas, uma abscissa e uma ordenada ssim, um ponto qualquer do plano cartesiano pode ser representado como P(, ). 0(0;0) é a origem do sistema cartesiano ortogonal É fácil perceber que, em cada quadrante, as coordenadas e possuem os seguintes sinais:. Quadrante: 0 0. Quadrante: 0 0. Quadrante: Quadrante: 0 0 Particularmente, se um ponto pertence ao eio das abscissas, a sua ordenada é nula. nalogamente, um ponto que pertence ao eio das ordenadas possui abscissa nula. P 0 P(,0) P 0 P(0,) Se P (;) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares se, e somente se, = Se P(;) pertence à bissetriz dos quadrantes pares se, e somente se, =- Se (;)=(a;b) então =a e =b Distância entre dois pontos onsidere dois pontos, e, com coordenadas conhecidas, (, ) e (, ). Vamos deduzir uma epressão que permita calcular a distância entre esses dois pontos. Inicialmente, vamos supor que os dois pontos tenham a mesma ordenada. Observe os eemplos a seguir. Estes eemplos mostram que, neste caso particular, a distância entre os pontos e é dada por: d = nalogamente, se os dois pontos possuem a mesma abscissa, temos: d = Usando estes resultados particulares, vamos deduzir uma epressão geral para dois pontos e quaisquer. Para isso, considere os pontos e as distâncias indicadas na figura a seguir: plicando o teorema de Pitágoras na figura acima, temos: d = d d De acordo com os resultados particulares obtidos: d = d = Substituindo na epressão anterior: d = omo os termos do segundo membro estão elevados ao quadrado, podemos eliminar o símbolo de módulo. Logo: d = ( - ) + ( ) d = Eemplo onsidere um triângulo com vértices (5, -6), (4, -) e (l, -5). ostre que este triângulo é isósceles. Resolução Vamos calcular os comprimentos dos três lados deste triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos. d = d c = d c = omo d = d, concluímos que o triângulo é isósceles.

2 Eercícios de ula 0. (FUVEST) Se (m+n,m - 4)e ( - m,n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual a () - () 0 () (D) 0. (VUNESP) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R=(, 5), é () eqüilátero. () isósceles, mas não eqüilátero. () escaleno. (D) retângulo. obtusângulo. 04. (UNIFFESP) No triângulo QPP do plano cartesiano, temos Q(a;0), com a<0. P(4;) e P o simétrico de P em relação ao eio. Sabendo-se que a área desse triângulo é 6, o valor de a é: () -5 () -4 () - (D) Um mapa é localizado sobre um sistema de eios cartesianos ortogonais, de modo que os pontos (-;), (5;-7) e (;5) representem, respectivamente, as posições das cidades, e. onsiderando sempre a menor distância entre duas cidades, determine qual das duas, ou, está mais próima de. por (4+,+),em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, Y é igual a () -8 () -6 () (D) (UEL) Um triângulo eqüilátero tem vértices (; ) e (6; ). O ponto pode ser () (; ) () (4; l + ) () (4; - ) (D) (6; - ) 4 ; 05. (UEL) Seja uma diagonal do quadrado D. Se = (-, ) e = (0, 5), a área de D, em unidades de área, é () 4 () 4 () 8 (D) (UNESP-005) onsidere os pontos do plano (0,0), (0,), (,), (,), (5,) e (7,0). Representando geometricamente esses pontos no plano cartesiano e ligando-os por meio de segmentos de retas obedecendo a seqüência dada, após ligar o último ponto ao primeiro obtém-se uma região limitada do plano. Se a unidade de medida é dada em centímetros, a área dessa região, em cm, é: () 9 () 0 () (D) 4 5 Tarefa ásica 0. (ESGRNRIO) distância entre os pontos coordenados (-, - 5) e (-, 9) é; () 4 () 9 () (D) (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (, 0) e (-, 0) são vértices de um quadrado cujo centro é a origem. Qual a área do quadrado? () () () (D) (UNIFESP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (+, - -) e também Respostas da Tarefa ásica 0. (D) 0. () 0. () 04. () 05. ()

3 Frente ula DIVISÃO DE U SEGENTO Razão da secção onsidere um segmento de reta com etremidades nos pontos (, ) e (, ). onsidere um outro ponto P(, ) colinear com e. Dizemos que o ponto P divide o segmento em uma determinada razão r. hamamos de razão de secção do segmento orientado pelo ponto P ao número real r dado por: P P Para determinar r em função das coordenadas de, e P, considere, inicialmente, um segmento que não é paralelo nem ao eio e nem ao eio. Usando o teorema de Tales na figura acima, podemos escrever: P P De forma análoga, podemos concluir que: Deduzimos estas epressões considerando que P estava compreendido entre e mas essas relações valem mesmo que P seja eterno ao segmento. Neste caso, a razão r é negativa. ssim, temos: r>0 P interno a r<0 P eterno a Em particular, se o segmento é paralelo ao eio, temos = = e vale apenas a relação: Se o segmento é paralelo ao eio, temos = = e vale apenas a relação: Nestes dois casos particulares continua valendo a regra do sinal de r. PONTO ÉDIO onsidere um segmento de reta com etremidades nos pontos (, ) e (, ). Vamos determinar as coordenadas do ponto médio desse segmento. Para isto, basta observar que, se é o ponto médio do segmento, então divide-o na razão l, já que. R = = ssim, fazendo na epressão de r em função das abscissas, temos: - = - = + = = Fazendo o mesmo com as ordenadas, obtemos: = Ou seja, as coordenadas do ponto médio são a média aritmética das coordenadas correspondentes de e. Estas epressões valem para quaisquer posições dos pontos e. onsidere um triângulo com vértices nos pontos (, ). (, ) e (, ). Sabemos que as três medianas de um triângulo se cruzam em um mesmo ponto G. que é o baricentro do triângulo. Vamos determinar as coordenadas de G conhecendo as de, e. Para isso, considere, por eemplo, a mediana, onde é o ponto médio do lado ssim: = O baricentro G divide cada mediana em dois segmentos: o segmento que une G ao vértice é o dobro do outro, ou seja. G divide o segmento na razão. ssim, podemos escrever: R = G G = G = G G = + Substituindo a epressão do ponto médio para : G =. G = De forma semelhante podemos demonstrar que: G = ssim, as coordenadas do baricentro do triângulo são as médias aritméticas das coordenadas

4 correspondentes dos vértices, e. Eercícios de ula 0.(EU) s coordenadas do ponto médio do segmento de etremidades (5, - ) e (- l,- 4) são: () (, ) () (, ) () (-, ) (D) (, -) (, ) 0. (FU) O ponto P(5;4) está entre (;) e (;) de tal forma que P P. s coordenadas do ponto são, respectivamente, () 4 e () -4 e -5 () 4 e 5 (D) 4 e 5-4 e 04. (FEI) 0s pontos X, Y e Z possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: (0;0), (m;8) e (n;n+). Se Z é o ponto médio do segmento XY, então: () m= () m= () m=5 (D) n= n= Tarefa ásica 0.(FEI) O simétrico do ponto (;) em relação ao ponto P(;) é: () (5;-) () (;-) () (-;) (D) (;) (4;0) do quadrado poderia ter como coordenadas: () (;0) () (;0) () (;5) (D) (6;5) (;-4) 05. Um triângulo tem vértices (0, ), (, ) e (6,-). Determine a) os pontos médios dos seus lados. b) o comprimento da mediana que passa pelo vértice. 06. (UFRJ) Sejam = (, ), =(, 4) e = (,- )os pontos médios dos lados de um triângulo. Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo. 07. (PU) Os pontos (0;0), (;), (0;0) são vértices de um retângulo. O quarto vértice do retângulo é o ponto: () (9;-) () (9;-) () (9;-) (D) (8;-) (8;-) 0. (UEL) onsidere os pontos (;-), (;0) e (0;-). O comprimento da mediana do triângulo, relativa ao lado, é: () 8 () 6 ()4 (D) 0.Determinar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento em partes iguais; são dados: (- ;) e (6;-) 0.(UE) O ponto que divide o segmento determinado pelos pontos (-;) e (4;7), na razão 4 é: () () ; () ; ; (D) ; ; (UNIS) Se, num sistema cartesiano ortogonal, no plano, o ponto (9;4) é um dos vértices de um quadrado inscrito num círculo de centro (6;0), então um outro vértice Respostas da Tarefa ásica 0. (5;-) 0. (/;) e (0/;-) 0. (D) a) (4,-),,,, b) d = (-;-), (;7) e (;) 07. () 4

5 Frente ula LINHENTO DE TRÊS PONTOS E URVS linhamento de três pontos ( Área de um triângulo) Sejam ( ; ), ( ; ) e ( ; c ) e o determinante D= Temos que ondição necessária e suficiente para que, e sejam colineares é D=0. condição necessária e suficiente para que, e formem um triângulo é D 0, e nesse caso, a área do triângulo será S= D urvas Interceptos Os interceptos de uma curva são os pontos em que a curva corta os eios coordenados. determinação dos interceptos é feita da seguinte maneira: Toma-se =0, na equação da curva, calculando-se o valor de ; Toma-se =0, na equação da curva, calculando-se o valor de. Intersecção s intersecções de curvas são os pontos de encontro das duas curvas. s coordenadas dos pontos de intersecção são as soluções reais, obtidas na resolução do sistema determinado pelas equações das duas curvas. Eercícios de ula 0. (PU) Os pontos (;5). (;- ) e (;-6) pertencem a uma mesma reta, se for igual a () -5 () - () - (D) -4-0.(KENZIE-005) O gráfico esboçado, da função =a+ b, representa o custo unitário de produção de uma peça em função da quantidade mensal produzida. Para que esse custo unitário seja R$6,00, a produção mensal deverá ser igual a: () 90 () 90 () 940 (D) (UNESP) O valor da área S, do triângulo de vértices, e no plano cartesiano, sendo =(6;8), =(;), (8;4), é igual a () 5,4 () () 4 (D) 8 56, 04. (FUVEST) onsidere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a cm. área do triângulo, em cm, é: () () () 4 (D) 5 6 Tarefa ásica 0. Os pontos (;-), (7;0) e (;) estão alinhados? 0. (UFGO) Se os pontos (;0), (a;b) e (0;) estão alinhados, então, () b = a+ () a+b= () a-b= (D) ab = - a b 0. (PU) Os pontos (k;0), (;) e (;4) são vértices de um triângulo. Então necessariamente () k - () k =- () k = (D) k - k 04. (ESGRNRIO) área do triângulo cujos vértices são (;), (;4) e (4;-) é igual a () 6 () 8 () 9 (D) 0 05.(UE) O valor de k, de modo que a área do triângulo determinado pelos pontos (0;), (-;4) e (k;k- ) seja 0 unidades, pode ser () k= () k=4 () k= (D) k=- k= Respostas da Tarefa ásica 0. Não 0. () 0. () 04. () 05. () 5