Aritmética. Somas de Quadrados

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1 Aritmética Somas de Quadrados Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

2 Objetivo Determinar quais números naturais são soma de dois quadrados. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 2/14

3 Somas de Quadrados Teorema Seja c N ímpar. São equivalentes: 1 c = n 2 + m 2, em que n, m N são primos entre si e de paridades distintas; 2 X 2 1 mod c possui solução em Z; 3 c decompõe-se como um produto de primos da forma 4k + 1. Observação: Se tivermos c = n 2 + m 2, com d = (n, m), então teremos que c d 2 = n m2 1, com (n 1, m 1 ) = 1. Basta tomar n 1 = n d e m 1 = m d. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 3/14

4 Somas de Quadrados Quais números naturais podem ser hipotenusas de triângulos retângulos? Corolário 1 Um número c N é a hipotenusa de um triângulo pitagórico primitivo se, e somente se, só admite divisores primos da forma 4k + 1; 2 Um número c N é a hipotenusa de um triângulo pitagórico se, e somente se, c é múltiplo de primos da forma 4k + 1. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 4/14

5 Somas de Quadrados Lema Dados a, b, c, d Z, temos: 1 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 ; 2 (2a + 1) 2 + (2b + 1) 2 = 2[(a + b + 1) 2 + (b a) 2 ] e além disso, (2a + 1, 2b + 1) = (a + b + 1, b a). Demonstração: As identidades são verificadas por cálculo direto; Quanto aos mdc, temos: (2a + 1, 2b + 1) = (2a + 1, (2b + 1) (2a + 1)) = (2a + 1, 2b 2a) = = (2a + 1, b a) = ((2a + 1) + (b a), b a) = = (a + b + 1, b 1). * Observe que (2a + 1, 2) = 1. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 5/14

6 Conclusões Do ítem (1) concluímos que O produto da soma de dois quadrados é soma de dois quadrados. Do ítem (2) concluímos que A soma dos quadrados de dois números ímpares coprimos é o dobro da soma dos quadrados de dois números coprimos de paridades distintas. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 6/14

7 Somas de Quadrados Corolário Todo divisor de um número da forma x 2 + y 2, em que (x, y) = 1, é da forma 4k + 1 ou 2(4k + 1). Demonstração: Se x e y têm paridade distintas, o resultado segue do ítem (3) do Teorema anterior, lembrando que produto de números da forma 4k + 1 é ainda desta forma. Se x e y têm a mesma paridade, então eles são impares pois (x, y) = 1. Neste caso, pelo lema anterior, x 2 + y 2 = 2(u 2 + v 2 ), em que u e v têm paridade distintas. Logo o resultado segue do caso anterior. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 7/14

8 Exercício Exercício Existem infinitos primos da forma 8n + 5. Solução: Obs.: Todo número ímpar é da forma 8m + 1, 8m + 3, 8m + 5 ou 8m + 7, portanto seu quadrado é da forma 8m + 1. Suponha que exista apenas um número finito de primos da forma 8m + 5, e seja p o maior deles. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 8/14

9 Exercício Defina a = (3 5 7 p) Como (3 5 7 p) 2 é o quadrado de um número ímpar, segue da observação anterior que este é da forma 8m + 1. Portanto a é da forma 8m + 5 Pelo teorema anterior, os divisores de a são da forma 4k + 1, portanto são da forma 8m + 1 ou 8m + 5. Portanto, a deve ter um divisor primo q da forma 8m + 5, pois caso contrário, a seria da forma 8m + 1. Observe que q não é nenhum dos primos 3, 5, 7,..., p, pois esses não dividem a. Logo q > p o que é uma contradição. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 9/14

10 Representabilidade Teorema (Fermat) Um número natural a é um quadrado ou a soma de dois quadrados de números naturais se, e somente se, ele é da forma b 2 p 1 p r ou 2b 2 p 1 p r, em que b N, r 0 e p 1,..., p r são primos distintos da forma 4k + 1. Demonstração: Suponhamos que a = 2 l b 2 p 1 p r, onde l = 0, 1 e p 1,..., p r são da forma 4k + 1. Se r = 0, então a = 2 l b 2 e portanto é um quadrado ou soma de dois quadrados. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 10/14

11 Representabilidade Se r > 0, então, pelo Teorema anterior (com c = p 1 ), cada p i é soma de dois quadrados. Como 2 é soma de dois quadrados, segue do lema anterior que 2 l p 1 p r, e portanto a = 2 l b 2 p 1 p r, é soma de dois quadrados. Suponhamos agora que a = x 2 + y 2. Se x = 0 ou y = 0 ou x = y, a será da forma b 2 ou 2b 2. Se x 0, y 0 e x y, então tomando b = (x, y), teremos que a = b 2 (x y 2 1 ), em que x 1 = x b e y 1 = y b são coprimos. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 11/14

12 Representabilidade Logo, pelo lema anterior a = 2 l b 2 (x y 2 2 ), em que x 2, y 2 são coprimos de paridades distintas. Logo, pelo Teorema anterior, os divisores primos de x2 2 + y 2 2 forma 4k + 1. são da Agregando as potências pares desses primos, concluímos que a é da forma desejada. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 12/14

13 Exercício Exercício Verifique quais números primos entre 1 e 100 podem ser escritos como a soma de dois quadrados. Demonstração: Primeiramente observe que os números primos entre 1 e 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, e 97. Claramente 2 = PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 13/14

14 Exercício Pelo Teorema de Fermat, os únicos primos ímpares que podem ser escritos como a soma de dois quadrados são os da forma 4k + 1. Portanto são 5 = = = = = = = = = = = PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 14/14