Aritmética. Lei da Reciprocidade Quadrática

Transcrição

1 Aritmética Lei da Recirocidade Quadrática Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

2 Objetivo Determinar uma ( ) fórmula ara calcular o símbolo de Legendre a, em que é um rimo ímar. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide /4

3 Lei da Recirocidade Quadrática O Teorema da Recirocidade Quadrática, embora já fosse conhecido or Euler e Legendre, só foi comletamento demonstrado em 1796 or Gauss, quando este tinha aenas 18 anos de idade. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 3/4

4 Lei da Recirocidade Quadrática Inicialmente vamos demonstrar um lema também devido ao Gauss. Lema (Gauss) Sejam a, N, em que é rimo e (a, ) = 1. Sejam r 1,..., r 1 1 a, os restos da divisão or dos números a, a,..., resectivamente. Se k é o número dos r i que são maiores do que 1, então ( ) a = ( 1) k. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 4/4

5 Lei da Recirocidade Quadrática Demonstração: (a, ) = 1 a, a,..., 1 a incongruente módulo r 1,..., r 1 são distintos, ois 1 r i 1. Divida o conjunto {r 1,..., r 1 } em duas artes {b 1,..., b k } formada elos elementos maiores que 1 ; e {c 1,..., c l } formada elos elementos menores ou iguais a 1 Observe que k + l = 1.. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 5/4

6 Lei da Recirocidade Quadrática Observe que b 1,..., b k são distintos entre si e menores que 1. Além disso, esses números são distintos de {c 1,..., c l } ois se b i = c j teríamos b i c j mod, o que não ocorre. Portanto, como k + l = 1, temos Assim, { b 1,..., b k } {c 1,..., c l } = {1,,..., 1 }. ( ) 1 c 1 c l ( b 1 ) ( b k ) =!. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 6/4

7 Lei da Recirocidade Quadrática Por outro lado, como ara cada i {1,,..., 1 }, temos que a.i = q i + r i, segue-se que r 1 r r 1 = A.+(a) (a) ( 1 ( ) 1 1 a) = A.+a!. Concluímos assim que b 1 b k c 1 c l a 1 ( 1 )! mod. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 7/4

8 Lei da Recirocidade Quadrática ( ) 1 c 1 c l ( b 1) ( b k ) =!. b 1 b k c 1 c l a 1 ( 1 )! mod. Das identidades destacadas acima, concluímos que b 1 b k c 1 c l a 1 ( b1 ) ( b k )c 1 c l mod. Donde, or cancelamento b 1 b k a 1 ( b1 ) ( b k ) mod. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 8/4

9 Lei da Recirocidade Quadrática Como (, b i ) = 1, ara cada i, existe d i tal que Logo, d i ( b i ) 1 mod. d 1 d k b 1 b k a 1 mod. (1) Note que d i b i 1 mod, ortanto { 1, se k for ar d 1 d k b 1 b k 1, se k for ímar PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 9/4

10 Lei da Recirocidade Quadrática Portanto ( ) ( 1) k a 1 a * mod. * Proosição 1.3 (ii) PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 10/4

11 Exercício Exercício Verifique se e 3 são resíduos quadráticos módulo 13. Solução: Para a = temos que os restos da divisão de a, a, 3a, 4a, 5a e 6a or 13 são, resectivamente, e 1. Portanto, como 8, 10 e 1 são maiores que 6, segue-se que ( ) = ( 1) 3 = Logo não é um resíduo quadrático módulo 13. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 11/4

12 Exercício Para a = 3 temos que os restos da divisão de a, a, 3a, 4a, 5a e 6a or 13 são, resectivamente, e 5. Portanto, como dois destes números são maiores que 6, segue-se que ( ) 3 = ( 1) = Logo 3 é um resíduo quadrático módulo 13. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 1/4

13 Lei da Recirocidade Quadrática Proosição Sejam a, N ímares, [ ] [ com ] rimo[ e (a, ] ) = 1. Pondo = 1, e κ = a + a + + a, temos que ( ) a = ( 1) κ. Demonstração: Sejam r 1, r,..., r os restos da divisão de a, a,..., a or, resectivamente. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 13/4

14 Lei da Recirocidade Quadrática Temos que a = [ a a = [ a. a = ] + r 1 ] + r [ ] a + r Somando membro a membro temos 1 a = (1 + + )a = κ + r r. 8 PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 14/4

15 Lei da Recirocidade Quadrática Usando as notações do lema de Gauss, ondo B = b b k e C = c c l, temos que r r = B + C. Portanto, Entretanto, 1 a = κ + B + C. () 8 {c 1,..., c l, b 1,..., b k } = {1,..., }. Donde 1 8 = = κ B + C. (3) PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 15/4

16 Lei da Recirocidade Quadrática Subtraindo (3) de (), obtemos 1 (a 1) = (κ k) + B. (4) 8 Como a 1 é ar e é ímar, decorre da igualdade acima que κ e k têm a mesma aridade. Logo, segue do lema de Gauss que ( ) a = ( 1) k = ( 1) κ. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 16/4

17 Exercício Exercício Verifique se X 34Y = 14 tem solução inteira. Solução: Observe que esta equação é equivalente a X + 17Y = 7 a qual tem solução inteira se, e somente se, 7 é um resíduo quadrático módulo 17. Entretanto [ ] 7 κ = + 17 [ ] + [ 1 17 ] + [ 8 17 ] + [ ] + [ 4 17 ] + [ ] + [ ] 56 = PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 17/4

18 Exercício Portanto ( ) 7 = ( 1) 11 = Decorrendo daí que 7 não é um resíduo quadrático módulo 17. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 18/4

19 Lei da Recirocidade Quadrática Lema (Eisenstein) Sejam e q rimos ímares distintos. Então [ ] [ ] [ 1 q q q ] [ ] [ ] q q [ q 1 q ] = 1 q 1. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 19/4

20 Lei da Recirocidade Quadrática Teorema (Lei da Recirocidade Quadrática de Gauss) Sejam e q rimos ímares distintos. Então ( ) ( ) q = ( 1) 1 q 1. q Demonstração: κ = κ = Sejam [ ] + q [ ] q + [ ] + + q [ ] q + + [ q 1 q [ 1 ] q ] e. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 0/4

21 Lei da Recirocidade Quadrática Vimos que ( ) ( ) q q = ( 1) κ ( 1) κ = ( 1) κ+κ = ( 1) 1 q 1. Lema de Gauss (roosição 1.5). Lema de Einsenstein (lema 1.8). PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 1/4

22 Exercício Exercício Verifique se 31 é um resíduo quadrático módulo 41. Solução: Observe que 31 e 41 são rimos. Então ( ) ( ) = ( 1) 15 ( 1) 0 = Logo, ( ) ( ) = PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide /4

23 Exercício Como mod 31, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) = = Observe que ( ) ( ) 5 31 = ( 1) 15 ( 1) = e que 31 1 mod 5, ortanto ( ) ( ) ( ) = = = PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 3/4

24 Exercício Observe que ( ) 15 ( 5 ) 3 1 mod Portanto, ( ) = Logo ( ) 31 = 41 ( ) 41 = 31 ( ) ( ) ( ) 10 5 = = 1.( 1) = rovando que 31 é um resíduo quadrático módulo 41. PROFMAT - SBM Aritmética, Lei da Recirocidade Quadrática slide 4/4