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Afonso Lima Santiago
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1 a Aula 69 AMIV ' * + Fórmula de De Moivre Dado z = ρe e Concluímos por indução que = ρ cos θ + i sen θ C temos z = ρe ρe = ρ e z = zz = ρe ρ e = ρ e z = ρ e para qualquer n N e como ρ e ρ e = ρ e pôr n Z Mostrámos portanto a fórmula de De Moivre: = ρ e = podemos mesmo cos θ + i sen θ = cos nθ + i sen nθ Exemplo Pela fórmula de De Moivre temos cos π 4 + i sen π 3 4 = cos π + i sen π De facto 3 + i 3 + i = + i = = + i = i = Vamos agora resolver o seguinte problema: e um número natural n determinar os números complexos z = ρe tais que z = w determinar w Dados um número complexo w = re 4 Temos então ρ e Pelo que porque z = w ρ e consequentemente e = re 4 = r = e 4 cos nθ + i sen nθ = cos α + i sen α

2 AULA 69 AMIV Portanto pelo que com k Z Obtémse Concluímos 4 w = re com k = n uma vez que e ' { cos nθ = cos α sen nθ = sen α nθ = α + kπ θ = α n + k π n = re ' 4 * + = re = e + = e e + = e Verificamos que a raiz n de um número complexo é um conjunto de n valores complexos O símbolo a é utilizado para representar duas entidades distintas: um conjunto de números complexos z tais que z = a; ou no caso de a ser um número real positivo o único número real positivo x tal que x = a Exemplo Cálculo de i3 Seja ω = i3 Então ω = = = 64 ω = 64 e 3 4 = 4 e 3 4 ω = i = 64 + i = 64 e k = Exemplo 3 Vamos calcular entendido como um conjunto de números complexos: + = e = e com k = 3 Ou seja = { e e + e } = { i i} Exemplo 4 Vamos calcular entendido como um conjunto de números complexos como o conjunto das soluções complexas da equação z 3 + = : ' + + = e = e e com k = 3 Como e = cos i sen + 3 = 6 + i 6 obtemos { 3 z C : z + = } { 6 = + i i 6 6 i 6 6 i 6 }

3 AULA 69 AMIV 3 Exemplo As duas raizes quadradas de um número complexo são simétricas em relação à origem: ' * + z = z e com k = = z e ' * * + = z e ' * e + = ± z e ' * visto que e + = se k = mas e + = se k = Fórmulas de Euler Como consequência imediata da definição e = cos θ + i sen θ temos i cos θ = e + e e sen θ = e e i conhecidas como Fórmulas de Euler Estas fórmulas têm um significado profundo que se tornará claro mais adiante No entanto mesmo do ponto de vista formal são úteis na manipulação de funções trigonométricas usadas em conjunção com as propriedades e = e e e = e cos θ = Re e = e + e e sen θ = Im e = e e Exemplo 6 cos α sen β = e e e e ' 4 i = e e ' 4 ' 4 ' e e 4i = ' 4 3 ' 4 e e ' e 4 ' 4 e i i sen α + β sen α β = 3 Noção de convergência no plano complexo Dada uma sucessão de números complexos z dizemos que z converge para o número complexo w se lim z w = 46 e neste caso escrevemos w = lim z ou z w 4 Uma vez que z w é a distância entre os pontos z e w a convergência de números complexos é equivalente à convergência de pontos no plano Ou seja a topologia de C é equivalente à topologia em R Em particular uma sucessão z é convergente sse a sua parte real e sua parte imaginária formarem sucessões reais convergentes

4 4 AULA 69 AMIV Exemplo 7 z = + ' + i ' w = e + i ' 4 Podemos também considerar séries de números complexos: Dada a sucessão u C definase a sucessão de somas parciais z = u Dizemos que a série u converge se a sucessão de somas parciais z for convergente e neste caso u = lim z Ainda no mesmo contexto definase a = Re u e b = Im u Então temos z = u = a + i b Pelo que u converge sse as séries reais a e b convergirem simultaneamente e neste caso u = a + i b Proposição Dada uma sucessão u C tal que a série real de termos não negativos u é convergente então a série complexa u é convergente Ou seja para que uma série seja convergente é suficiente a convergência da série dos módulos Demonstração Seja a = Re u e b = Im u Temos a u e b u donde pelo critério da comparação as séries a e são convergentes Concluímos que portanto u é convergente a e b b são absolutamente convergentes e

5 ' * * AULA 69 AMIV 4 Função exponencial Definição e = n z = + z + z + z 3 + z3 4 + Com a função exponencial assim definida estendemos naturalmente a todo o plano complexo a função exponencial real de variável real já nossa conhecida dos cursos de cálculo elementar Notese que z = z = e pelo que a série que define e é sempre convergente Proposição De acordo com definição temos e = cos θ + i sen θ para todo θ R Demonstração De acordo com definição temos e = n iθ = = i n θ + = = i n θ n θ i n θ i ' ' n + θ + i i ' n + θ + i n + θ ' = cos θ + i sen θ Consequentemente temos agora uma justificação mais profunda para a relação e = cos θ + i sen θ e uma significação mais transcendente das fórmulas de Euler Com uma demonstração formalmente igual à que é conhecida para a função exponencial real de variável real podese mostrar que : e e = e Temos então e e = e = e e = e cos y + ie sen y '+* ' ' 3 ' '4 3 ' 6 ' e e

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