) a sucessão definida por y n

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1 aula 05 Sucessões 5.1 Sucessões Uma sucessão de números reais é simplesmente uma função x N R. É conveniente visualizar uma sucessão como uma sequência infinita: (x(), x(), x(), ). Neste contexto é usual escrever «x n» em lugar de escrever «x(n)» e dizer que x n é o termo de ordem n da sucessão x n. Dadas sucessões (x n ) e (y n ) diz-se que a segunda é uma subsucessão da primeira se existe uma função σ N N, estritamente crescente, i.e. satisfazendo a seguinte condição: m < n σ(m) < σ(n), tal que para qualquer n N se tem y n = x σ(n). (Ou seja (y n ) = (x σ(n) ).) Exemplos típicos de subsucessões de uma sucessão (x n ) são as subsucessões dos termos pares (x n ) e (x n+ ) (nestes casos estamos a considerar as funções estritamente crescentes σ(n) = n e τ(n) = n +, respectivamente.) Se (x n ) é uma sucessão então o conjunto {x n n N} diz-se o conjunto dos termos da sucessão. Deve observar-se que uma sucessão tem infinitos termos (um para cada n N) mas pode acontecer que o valor de todos os termos seja o mesmo e, nesse caso, o conjunto dos termos da sucessão é singular. Definição 5.1 (sucessão limitada). Dizemos que uma sucessão (x n ) é limitada se existe um real positivo K tal que, x n K, para qualquer n N. De forma equivalente, uma sucessão (x n ) é limitada se existem números reais L e U tais que, para qualquer n N se tem L x n U. Definição 5.2. Uma sucessão (x n ) é monótona crescente se, x n+ x n, para qualquer n N, e é monótona decrescente se x n+ x n, para qualquer n N. A sucessão (x n ) diz-se monótona se é monótona crescente ou monótona decrescente. Se (x n ) é a sucessão definida por x n = ( ) n e (y n ) a sucessão definida por y n = /n podemos observar uma «diferença de comportamento»: enquanto que a primeira oscila indefinidamente tomando os valores e -, nunca estabilizando, os termos da segunda vão-se aproximando cada vez mais de. O primeiro caso tipifica uma classe de sucessões que classificamos de divergentes enquanto que a segunda, tipifica a classe das sucessões convergentes. De modo a caracterizar estas noções de forma rigorosa temos que introduzir o conceito de limite de uma sucessão. Definição 5.3. Diremos que o limite de uma sucessão (x n ) é o número real α se, ( ε > )( p N)( n p)d(x n, α) < ε (.)

2 onde d R R + é a função distância definida por d(x, y) = x y. (Assim, uma sucessão tem por limite um real α se dada uma distância ε, os termos da sucessão ficam, a partir de certa ordem, a uma distância de α inferior a ε.) Uma vez que o conjunto {x R d(x, α) < ε} é o intervalo ]α ε, α + ε[, intervalo este que se denota por V ε (α) e designa de vizinhança aberta de centro em α e raio ε, a condição anterior pode ser escrita como ( ε > )( p N)( n p)x V ε (α). (.) Observe-se que dado ε >, quanto mais pequeno é ε maior é /ε e, em certo sentido, mais este valor fica «próximo de +». Esta observação simples motiva a definição seguinte: d(x, + ) < ε sse x > /ε e V ε (+ ) =]/ε, + [. De modo totalmente análogo definimos: d(x, ) < ε sse x < /ε e V ε ( ) =], /ε[. Feitas estas observações, dizemos que o limite de (x n ) é + ou quando se verifica (.) ou (.) com + ou no lugar de α. Ou seja, Definição 5.4. Dizemos que o limite de (x n ) é + escrevevendo neste caso lim x n = + ou (x n ) + se, dado ε > existe p N tal que, para todo o n > p se tem d(x n, + ) < ε. Analogamente com no lugar de +. É fácil constatar que se tem, (x n ) + se e só se, para qualquer número positivo K, existe p N tal que n > p implica x n > K, i.e., ( K > )( p N)( n > p) x n > K. Analogamente, (x n ) se para qualquer número positivo K existe uma ordem p a partir da qual, x n < K, i.e., ( K > )( p N)( n > p) x n < K. Se o limite de (x n ) é α R {, + } escrevemos lim x n = α ou (x n ) α. O resultado seguinte estabelece a unicidade do limite de uma sucessão (quando o limite existe). Lema 5.1. Se (x n ) é uma sucessão e α, β R {+, } são tais que (x n ) α e (x n ) β então α = β. Dem. Verificamos o caso em que α, β R, deixando ao cuidado do leitor verificar os restantes casos, onde de resto se podem considerar argumentos semelhantes aos que iremos aqui usar. Consideremos então que α, β R e que (x n ) α e (x n ) β. Consideremos ε tal que < ε < β α /. Nestas circunstâncias V ε (α) V ε (β) =. Usando a definição de limite somos forçados a concluir que existe p N tal que para valores de n > p se tem x n V ε (α) (porque (x n ) α) e x n V ε (β) (porque (x n ) β). Mas isto é absurdo por que neste caso não se teria V ε (α) V ε (β) =. Definição 5.5. Se uma sucessão (x n ) tem como limite um número real então, dizemos que é convergente, caso contrário dizemos que é divergente.

3 Uma sucessão (x n ) tal que (x n ) diz-se um infinitésimo. Se (x n ) + então (x n ) dizse um infinitamente grande positivo e diz-se um infinitamente grande negativo de (x n ). Se ( x n ) + diz-se que (x n ) é um infinitamente grande. Lema 5.2. Suponhamos que (x n ) é uma sucessão e que α R {, + }. Nestas condições (x n ) α sse (x σ(n) ) α, qualquer que seja a subsucessão (x σ(n) ) de (x n ). O resultado anterior é especialmente interessante na forma do seu contra-recíproco, ou seja, se duas subsucessões de uma dada sucessão têm limites diferentes então a sucessão não tem limite. Definição 5.6. Dizemos que α R {, + } é um sublimite de (x n ) se existe uma subsucessão de (x n ) que tem α como limite. Tendo em conta o resultado acima, uma sucessão tem limite sse o conjunto dos seus sublimites é singular, ou seja, tem um único elemento. Em certas circunstâncias podemos decidir a existência do limite de uma sucessão considerando apenas alguns sublimites. Lema 5.3. Suponhamos que (x σ(n) ) e (x τ(n) ) são duas subsucessões de (x n ) de tal modo que a união {x σ(n) n N} {x τ(n) n N} difere de {x n n N} apenas num número finito de termos e se (x τ(n) ) α e (x σ(n) ) α então, podemos concluir que (x n ) α. Dem. Dado ε >, podemos considerar uma ordem p N tal que para n > p se tem x σ(n), x τ(n) V ε (α) Como a quantidade de termos da sucessão (x n ) que não se encontram na união {x σ(n) n > p} {x τ(n) n > p} é finita, podemos concluir que a partir de certa ordem aquela união contém todos os termos da sucessão. Assim a partir dessa mesma ordem temos x n V ε (α) e, como ε é arbitrário podemos concluir que (x n ) α como se pretendia. Lema 5.4. Toda a sucessão convergente é limitada. Dem. Suponhamos que x n é uma sucessão convergente e que α R é o seu limite. Se considerarmos, por exemplo, ε =, sabemos que existe uma ordem p a partir da qual todos os termos x n estão na vizinhança V (α). Consequentemente, o conjunto dos termos da sucessão a partir da ordem p, ou seja, o conjunto {x n n > p} é limitado (os seus membros estão entre α e α + ). É agora fácil concluir que o conjunto de todos os termos da sucessão é um conjunto limitado porque é o conjunto {x, x,, x p } {x n n > p} que é um conjunto limitado porque é a união de dois conjuntos limitados (o segundo já vimos antes que é limitado, o primeiro porque é finito). O recíproco deste resultado não é em geral verdadeiro, i.e., existem sucessões limitadas que não são convergentes, e.g., a sucessão cujo termo geral é definido através da relação x n = ( ) n. Esta sucessão é evidentemente limitada, pois o conjunto dos seus termos que é {, } é finito e, consequentemente limitado. No entanto esta sucessão não converge.

4 De facto, nem sequer tem limite já que as subsucessões (x n ) e (x n+ ) são constantes de valor e, respectivamente. Como qualquer sucessão constante de valor α tem limite α (ver o lema.), temos que x n e x n+ e, assim, x n não tem limite. No entanto uma sucessão limitada possui sempre subsucessões que convergem. Teorema 5.1 (Weierstrass). Suponhamos que (x n ) é uma sucessão limitada. Nestas condições existe uma subsucessão de (x n ) que converge. Dem. A demonstração não é essencial, contudo será apresentada na secção final. Ao contrário da característica de ser limitada, que não é por si só suficiente para garantir a existência de limite, a monotonia implica sempre a existência de limite. Lema 5.5. Se x n é monótona crescente e não é limitada então, x n +. Se x n é monótona decrescente e não é limitada então, x n. Dem. Exercício. Exemplo 1. A sucessão cujo termo geral é x n = n + que é obviamente monótona crescente não é limitada. Com efeito a soma +/+ +/n torna-se maior que qualquer número positivo dado. Se fixarmos K > então existe m N tal que m > K. Considerando agora n > m tem-se n > m m mas a soma da direita é maior que, m m = m > K. O resultado do lema anterior mostra que a monotonia não assegura, por si só, a convergência de uma sucessão. Tem-se contudo o resultado seguinte. Teorema 5.2. Se (x n ) é monótona e limitada então (x n ) é convergente. Dem. Demonstraremos que uma sucessão monótona crescente, limitada, converge para o supremo do conjunto dos seus termos. (A demonstração de que uma sucessão monótona decrescente, limitada, converge para o ínfimo do conjunto dos seus termos é totalmente análoga, pelo que a omitiremos.) Fixemos uma sucessão (x n ), monótona crescente e limitada. Seja α = sup{x n n N} (o supremo existe pois este conjunto é não vazio e majorado, já que a sucessão é limitada). Vamos então mostrar que lim x n = α. Fixemos ε >. Temos que sendo α o supremo do conjunto dos termos de x n, tem-se que para qualquer n N se tem que x n α. Por outro lado, tem que existir um termo da sucessão, digamos x p no intervalo ]α ε, α+ε[= V ε (α), caso contrário todos os termos seriam menores ou iguais a α ε, contrariando o facto de α ser o supremo do conjuntos

5 dos termos de x n. Como x n é monótona crescente tem-se que x n x p, para qualquer n > p. Logo, x n V ε (α), para qualquer n > p. Como ε é arbitrário, acabámos de mostrar que, ( ε > )( p N)( n > p)x n V ε (α), ou seja, que lim x n = α. Lema 5.6. Se α R então, (x n ) α sse (x n α) é um infinitésimo. Dem. Basta observar que x n α = (x n α). Lema 5.7. A sucessão (x n ) é um infinitésimo sse o mesmo sucede com ( x n ). Dem. Basta observar que x n = x n. Lema 5.8. Uma sucessão da forma (c), i.e., uma sucessão em que os seus termos são todos iguais a um dado c R, diz-se constante. Toda a sucessão constante converge, tem-se (c) c. Dem. Exercício. No que se segue denotamos por R o conjunto R {, + }. Lema 5.9. Se (x n ) α, (y n ) β com α, β R e se a partir de certa ordem se tem x n < y n (resp. x n y n ) então, α β. Em particular, (x n ) é convergente e se a partir de certa ordem a x n b então a lim x n b. Dem. Lema 5.10 (sucessões enquadradas). Suponhamos que, a partir de certa ordem, se tem que x n z n y n e que (x n ) α e (y n ) α então, (z n ) α. Dem. Lema Tem-se que:. Se k > então, ( n k).. ( n).. Se r < então, (r n ) ; se r > então, (r n ) + ; se r < então (r n ) é infinitamente grande sem sinal definido; se r = então (r n ) não tem limite e, se r = então (r n ).

6 Dem. Para demonstrar (), dividiremos a demonstração em dois casos k > e k < (o caso k = é trivial). Assim, se k > consideramos a sucessão (x n ) onde x n = n k. Neste caso a sucessão (x n ) é uma sucessão de termos positivos. Tem-se então, usando a fórmula do binómio de Newton que p = ( + x n ) n > + nx n. Daqui resulta que p < x n < n concluindo-se que (x n ), ou seja que ( n p). O outro caso pode estabelecer-se passando ao inverso. Para estabelecer () consideremos x n = n. Uma vez mais, recorrendo à fórmula do binómio de Newton, obtemos que n = ( + x n ) n n(n ) x n. Daqui resulta que, x n n o que nos permite concluir que (x n ) ou seja que ( n). () Exercício. O resultado seguinte é útil em muitos contextos importantes em particular, na determinação de limites de sucessões do tipo ( n x n). Em casos deste tipo, permite eliminar a raíz o que, do ponto de vista da manipulação algébrica das expressões, introduz uma simplificação. Teorema 5.3. Suponhamos que (x n ) é uma sucessão de termos positivos. Tem-se. Se (x n+ /x n ) α R então ( n x n) α.. Se (x n+ /x n ) α e α < então (x n ).. Se (x n+ /x n ) α e α > então (x n ) +. Dem. Para demonstrar () vamos considerar o caso em que < α < +. O argumento para estabelecer o resultado nas outras circunstâncias pode ser facilmente adaptado a partir da situação que vamos considerar. Fixemos r > tal que V r (α) =]α r, α + r[ R +. Tendo em conta a definição de limite de uma sucessão podemos concluir que existe uma ordem N N tal que para n N se tem: x n+ /x n V r (α). Tem-se assim que, (α r) < x N+ /x N < (α + r), logo x N (α r) < x N+ < x N (α + r); continuando, (α r) < x N+ /x N+ < (α + r), logo x N (α r) < x N+ < x N (α + r) ; e, de uma maneira geral, x N (α r) N (α r)n+n xn (α r) n < x N+n < x N (α + r) n x N = (α + r) N (α + r)n+n. (.)

7 De (.) resulta que x N α r N+n N+n (α + r) < N x N + n < N+n (α + r) α + r. N (α + r) (α + r) (.) x N Somos assim forçados a concluir que ( n x n) α, uma vez que r pode ser tomado tão pequeno quanto se queira. Para estabelecer () e (), basta observar no primeiro caso que a partir de certa ordem N N se tem x n+ /x n < r < e no segundo, igualmente a partir de certa ordem N N, se tem x n+ /x n > k >. Usando agora argumentos semelhantes aos utilizados no caso precedente podemos concluir que, no caso de () se tem x N+n < x N r N+n e, no caso de (), x N+n > x N k n. Basta agora usar o facto de (r n ) se r < e (r n ) + se r >.