RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA PIBIC : CNPq, CNPq/AF, UFPA, UFPA/AF, PIBIC/INTERIOR, PARD, PIAD, PIBIT, PADRC E FAPESPA Período: 13/ 02/2017 à 24/02/2017 (X) PARCIAL ( ) FINAL RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO Título do Projeto de Pesquisa (ao qual está vinculado o Plano de Trabalho): Análise Matemática, Análise Numérica e Controle de Fluidos Micropolares Nome do Orientador: Geraldo Mendes de Araújo Titulação do Orientador: Doutor Departamento: Faculdade de Matemática Instituto/Núcleo: Instituto de Ciências Exatas e Naturais. Laboratório: Título do Plano de Trabalho: Análise na Reta Nome do Bolsista: Mônica Favacho da Silva Tipo de Bolsa: () PIBIC/ CNPq (x) PIBIC/CNPq AF () PIBIC /CNPq- Cota do pesquisador () PIBIC/UFPA () PIBIC/UFPA AF () PIBIC/ INTERIOR () PIBIC/PARD () PIBIC/PADRC () PIBIC/FAPESPA () PIBIC/ PIAD

2 () PIBIC/PIBIT Atenção: No relatório aborde diretamente os pontos essenciais, a partir dos quais será avaliado o desenvolvimento do projeto. O relatório não deverá ultrapassar 10 MB ou conter mais de vinte (20) páginas. RESUMO DO RELATÓRIO ANTERIOR (Alunos com bolsa renovada). Descrever até onde foi desenvolvido o relatório anterior. Nos itens seguintes deve ser acrescentado o que efetivamente foi desenvolvido neste novo período. O Relatório Final deve envolver as atividades desenvolvidas nos 12 meses de bolsa. INTRODUÇÃO: O estudo da Análise Real, é uma das áreas da Matemática que exige um rigoroso estudo devido as suas finalidades que são de grande importância. Ela surgiu a partir do Cálculo, feito por Leibniz e Newton. O estudo da Análise Real consiste em analisar seus resultados para que estes possam auxiliar na compreensão e aplicações de cálculo em diversas áreas como a Biologia, Física, Engenharia e etc. JUSTIFICATIVA: A área de Análise Real é uma das mais importantes para a compreensão do desenvolvimento do Cálculo. Espera-se com este projeto iniciar nosso estudante nesta área objetivando estudos de pós-graduação. OBJETIVOS: Fazer um estudo sobre a Análise na Reta relacionada ao desenvolvimento do cálculo, especificamente para a sua importância, visando apresentar os teoremas fundamentais desta área da Matemática abordados de maneira elementar. MATERIAIS E MÉTODOS: Pesquisa em bibliografia especializada, com apresentação dos resultados pesquisados através de seminários semanais. RESULTADOS: Iniciamos primeiramente com um estudo sobre noções de Conjuntos Numéricos, como o conjuntos N dos Naturais, o conjunto R dos Reais, etc. Os objetos que constituem um conjunto são chamados elementos do conjunto. Usamos a notação x A para dizer que um elemento x está em um conjunto A, lê-se x pertence a A. Uma propriedade P caracteriza um conjunto A, se todo elemento de A satisfaz à propriedade P e se, reciprocamente, todo elemento que satisfaz à propriedade P pertence ao conjunto. Via de regra, um conjunto é dado através de propriedades que o caracterizam. P.ex: R + é o conjunto dos elementos x de R tais que x > 0, ou em símbolos R + = {x R: x > 0} Cada parte B de um conjunto A é chamada subconjunto de A. Mais precisamente, B é um subconjunto de A ( em símbolos, B A, ou A B), se todo x є B é tal que x є A.

3 A partir deste conceito, podemos estudar algumas noções de funções. Uma função f de um conjunto em A em um conjunto B é uma regra que a cada elemento x є A associa um elemento f(x) em B. f(x) é chamado o valor de f no elemento x. O conjunto A é chamado o domínio da função f, e o conjunto B é chamado o contradomínio da função: f: A B. Uma função f: A B tal que f(a) = B é chamada de função sobrejetiva. Uma função f: A B que leve elementos distintos de A em elementos distintos de B é chamada uma função injetiva. Uma função que seja, ao mesmo tempo, uma injeção e uma sobrejeção é chamada função bijetiva. Falamos um pouco sobre o conjunto Q dos números racionais para introduzirmos a definição de corpo ordenado. Um corpo F é um conjunto de elementos x, y, z,..., onde se acham definidas as operações de adição ( a cada par de elementos x e y em F corresponde um elemento de F que se designa por x + y) e de multiplicação ( a cada par de elementos x e y em f corresponde um elemento de F que se designa por xy). Um corpo F é ordenado se contiver um subconjunto P com as seguintes propriedades: 1) x P, y P implica x + y P e xy P; 2) dado x F, então uma, e somente uma, das três possibilidades ocorre: x P, x P, x = 0. Logo, percebe-se imediatamente que Q é um corpo ordenado, onde P é o conjunto Q + dos racionais positivos. Em um corpo ordenado F, podemos introduzir uma ordem estrita entre seus elementos, do seguinte modo: x > y se x y P. Cota Superior: Seja F um corpo ordenado e A um subconjunto de F. Um elemento x F é uma cota superior de A se x y, para todo y A. Cota Inferior: Um elemento x F é uma cota inferior se x y, para todo y A. Supremo de um conjunto limitado superiormente: Seja F um corpo ordenado e A F um subconjunto limitado superiormente. O supremo do conjunto A, que designamos por supa, é definido como a menor das cotas superiores de A (quando existe!). Ínfimo de um conjunto limitado inferiormente: Seja F um corpo ordenado, e A F, um subconjunto limitado inferiormente. O Ínfimo de um conjunto A, que designamos por infa, é definido como a maior das cotas inferiores (quando existe!). Determinação de Número real A partir do que estudamos sobre as propriedades de conjunto, definimos o conjunto R dos números reais, como sendo um corpo ordenado onde se verifica a propriedade a baixo. Postulado de Dedekind: Todo subconjunto não vazio de R, constituído de elementos positivos tem um ínfimo. O Postulado de Dedekind realmente determina o corpo dos reais entre todos os corpos ordenados. Os números reais que não são racionais são chamados irracionais. Outra parte fundamental do Conjunto R é a definição de módulo e das desigualdades que são decorrentes, a mais notável é a Desigualdade triangular. Abaixo temos teoremas relativos à raiz quadrada. Teorema 1.1.Seja c um real qualquer. Então, c = c 2. Teorema 1.2. Sejam a e b reais positivos, tais que a < b. Então a < b. Após estas considerações, introduzimos a definição de Sucessões numéricas, sucessões convergentes e divergentes, limites de uma sucessão. Em seguida, partimos para as demonstrações das seguintes propriedades de Limite.

4 Observação: (Unicidade do limite) No momento em que dizemos que r é o limite de uma sucessão (a n ), usando o artigo definido o, estamos implicitamente admitindo que a sucessão converge para um único número. Propriedades de limite: 1. lim(a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = a ± b 2.lim(a n b n ) = (lim a n ) (lim b n )= ab 3.lim a n = lim a n 4.lim(1 a n ) = 1 lim a n, a n 0, lim a n 0 5. (1 a n ) +, se a n > 0 e lim a n = 0 6. a n b n lim a n lim b n n n 0 7.Seja a n b n n > n 0. Se (a n ) +, então (b n ) + 8. (Teorema do Confronto): Se lim b n = lim c n = r e b n a n c n n suficientemente grande, então lim a n = r. Teorema 1.3. Seja (a n ) uma sucessão convergente. Então, existe k > 0 tal que a n k. Em outras palavras, podemos enunciar o teorema acima da seguinte forma: toda sucessão convergente é limitada. Após as demonstrações do teorema 1.3, vimos alguns exemplos de sucessões, dentre os quais 1) Sucessão (a n ) onde a é um real. Lema 1.1. (Desigualdade de Bernoulli). Se r é um real tal que r > 1, então 1 + nr (1 + r) n, n N. Lema 1.2. Se r é um número real tal que r 0, então, Sucessões Monótonas (1 + r) n 1 + nr + n(n 1) r 2 2 Uma sucessão (a n ) é monótona não-decrescente se a 1 a 2... Analogamente, (a n ) é monótona não-crescente se a 1 a 2... Teorema 1.4. Seja (a n ) uma sucessão não-decrescente tal que o conjunto{a n } tem uma cota superior. Então, (a n ) é convergente e seu limite é o supremo do conjunto {a n }. Dizemos que um subconjunto de A de R é limitado se existir um k > 0 tal que x k, x A. Em outras palavras, um conjunto é limitado se ele estiver contido em algum intervalo. Ou ainda, se ele tiver cota inferior e cota superior. Teorema 1.5. (Bolzano-Weierstrass). Toda sucessão limitada (a n ) contém uma subsucessão convergente. Seja(a n ) uma sucessão e c um número real. Dizemos que c é um ponto de acumulação da sucessão (a n ) se, para cada Ԑ > 0 dado, existir um número infinito de inteiros n tais que a n c < Ԑ. Isto é, c é um ponto de acumulação de (a n ), se, e somente se, ela contiver uma subsucessão

5 convergindo para c. O teorema de Bolzano-Weierstrass pode ser também enunciado assim: Toda sucessão limitada tem pelo menos um ponto de acumulação. Proposição 1.1. Todo conjunto infinito limitado A de número reais tem pelo menos um ponto de acumulação. Comentamos a respeito do Critério de Cauchy (uma condição necessária e suficiente para a convergência de uma sequência). Teorema 1.6. (Critério de Cauchy) Uma sucessão (a n ) é convergente se, e só se, dado Ԑ > 0, existir n 0 N tal que a n a m < Ԑ para m, n > n 0. Isto é, uma sucessão (a n ) de números reais é convergente se, e só se, ela for de Cauchy. Em virtude deste fato, que toda sucessão de Cauchy tem um limite, o conjunto dos reais é chamado completo. Séries Numéricas Nesta seção, estudamos a soma infinita (1) n=1 a n = a 1 + a Onde a n são números reais dados. Uma expressão da forma (1) é chamada uma série numérica. Associamos a sucessão (a n ) dada acima uma nova sucessão (A n ), chamada sucessão das reduzidas ou das somas parciais, que é assim definida n A n = a j = a a n j=1 Se a sucessão (A n ) tiver um limite S dizemos que a série (1) converge, e que sua soma é S. Se a sucessão (A n ) não tiver limite, diremos que a série (1) diverge. No caso de convergência, escrevemos S = n=1 a n. Teorema 1.7. A série n=1 a n converge se, e só se, dado Ԑ > 0, existir n 0 (que pode depender m de Ԑ) tal que j=n a j < Ԑ m n n 0. Corolário 1.1. Se a série n=1 a n convergir, então lim a n = 0. Esses foram os temas estudados até o momento. Vale ressaltar que foram estudadas e compreendidas todas as demonstrações dos resultados listados acima. PUBLICAÇÕES: Indicar as publicações originadas do projeto, acrescentando cópias das mesmas, considerando os trabalhos publicados e/ou aceitos para publicação, livros, capítulos de livros, artigos em periódicos nacionais e internacionais, resumos em congressos, seminário de iniciação científica etc. Indicar claramente entre os autores dos trabalhos, quando for o caso, os bolsistas formais de I.C. ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS NOS PRÓXIMOS MESES

6 Pesquisa em bibliografia especializada e exposição através de seminários semanais, dos principais resultados que restam de Análise na Reta. CONCLUSÃO: Encontrar nas demonstrações de Análise a importância para desenvolvê-la no cálculo, isto é, podemos visualizar os resultados essenciais e entender como é construída a base de conceitos para demonstrar teoremas, o qual é de grande auxílio nas diversas áreas do conhecimento. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1996 (2ª edição). LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, volume 1. Rio de Janeiro: IMPA 2013 (14ª edição). LIMA, Elon Lages. Análise Real, volume 1. Funções de uma variável. Rio de Janeiro: IMPA 2014 (12ª edição). ÁVILA, Geraldo Severo de Sousa. Introdução à Análise Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 2006 (3ª reimpressão). ÁVILA, Geraldo Severo de Sousa. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Edgar Blücher, 2004 (2ª reimpressão). DIFICULDADES - Relacionar os principais fatores negativos que interferiram na execução do projeto. PARECER DO ORIENTADOR: Manifestação do orientador sobre o desenvolvimento das atividades do aluno e justificativa do pedido de renovação se for o caso. - A bolsista tem desempenhado suas atividades a contento. Recomendo a continuidade de seus estudos de Iniciação Científica. DATA: 21/02/2017 GERALDO MENDES DE ARAÚJO ASSINATURA DO ORIENTADOR MÔNICA FAVACHO DA SILVA ASSINATURA DO ALUNO

7 INFORMAÇÕES ADICIONAIS: Em caso de aluno concluinte, informar o destino do mesmo após a graduação. Informar também em caso de alunos que seguem para pós-graduação, o nome do curso e da instituição.

8 FICHA DE AVALIAÇÃO DE RELATÓRIO DE BOLSA DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA O AVALIADOR DEVE COMENTAR, DE FORMA RESUMIDA, OS SEGUINTES ASPECTOS DO RELATÓRIO: 1. O projeto vem se desenvolvendo segundo a proposta aprovada? Se ocorrerem mudanças significativas, elas foramjustificadas? 2. A metodologia está de acordo com o Plano de Trabalho? 3. Os resultados obtidos até o presente são relevantes e estão de acordo com os objetivos propostos? 4. O plano de atividades originou publicações com a participação do bolsista? Comentar sobre a qualidade e a quantidade da publicação. Caso não tenha sido gerada nenhuma, os resultados obtidos são recomendados para publicação? Em que tipo de veículo? 5. Comente outros aspectos que considera relevantes no relatório. 6. Parecer Final: Aprovado () Aprovado com restrições () (especificar se são mandatórias ou recomendações) Reprovado () 7. Qualidade do relatório apresentado: (nota 0 a 5) Atribuir conceito ao relatório do bolsista considerando a proposta de plano, o desenvolvimento das atividades, os resultados obtidos e a apresentação do relatório. Data: / /. Assinatura do(a) Avaliador(a)