1 Espaço Euclideano e sua Topologia

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1 1 Espaço Euclideano e sua Topologia Topologia é a estrutura básica para a de nição dos conceitos de limite e continuidade de aplicações. O Espaço Euclideano é caracterizado por uma topologia especial, de nida a partir da métrica associada ao produto interno e norma euclideanos. O produto interno e a norma euclideanos estão diretamente relacionados à Geometria Euclideana, especi camente com as noções de comprimento e ângulo. De nição 1.1 (Espaço Euclideano) Para n 2 N, o espaço euclideano n-dimensional é de nido pelo produto carteziano do conjunto R dos números reais: R n := R ::: R = fx = (x {z } 1 ; :::; x n ) ; x 1 ; :::; x n 2 Rg : n vezes R n é um espaço vetorial com soma e multiplicação escalar de nidos por + : R n R n! R n ; x + y = (x 1 + y 1 ; :::; x n + y n ) ; : R R n! R n ; cx = (cx 1 ; :::; cx n ) : A dimensão de R n é exatamente n e a base canônica de R n é de nida por e j = (0; :::; 0; 1; 0; :::; 0) {z } "j-ésima posição O produto interno canônico em R n é de nido por ; j = 1; :::; n: h; i : R n R n! R ; hx; yi := x 1 y 1 + ::: + x n y n : A norma canônica é de nida a partir do produto interno canônico: k k : R n! [0; 1) ; kxk := p q hx; xi = x ::: + x2 n: A métrica euclideana é de nida a partir da norma canônica: q d : R n R n! R ; d (x; y) := kx yk = (x 1 y 1 ) 2 + ::: + (x n y n ) 2 : Podemos veri car diretamente que h; i, k k e d realmente de nem (i.e., satisfazem os axiomas de) um produto interno, uma norma e uma métrica em R n, respectivamente. De nição 1.2 (Topologia de R n ) A bola aberta de centro p 2 R n e raio r > 0 é o conjunto de nido por B (p; r) := fx 2 R n = kx pk < rg : Um subconjunto X R n é chamado aberto quando X = ; ou 8p 2 X; 9r > 0 = B (p; r) X: Um subconjunto X R n é chamado fechado quando X = ; ou seu complementar é aberto: 8p =2 X; 9r > 0 = B (p; r) R n n X: A topologia euclideana de R n é de nida pela classe dos subconjuntos abertos de R n, := fa R n = A é abertog : 1

2 As de nição e as propriedades básicas das sequências convergentes em espaços euclideanos são completamente análogas à de nição e propriedades básicas de sequências em R; isso decorre da caracterização da convergência de uma sequência em termos da convergência das sequências coordenadas (teorema 1.2). De nição 1.3 Sejam A R n subconjunto não-vazio e p 2 R n. p é ponto interior de A quando 9" > 0 = B (p; ") A: p é ponto exterior de A quando ele é ponto interior do complemento de A em R n : 9" > 0 = B (p; ") R n n A: p é ponto de fronteira de A quando 8" > 0 = B (p; ") \ A 6= ; e B (p; ") \ R n n A 6= ;: p é ponto de acumulação de A quando 8" > 0 = (B (p; ") n fpg) \ A 6= ;: 2

3 1.1 Limite de Sequências De nição 1.4 (Limite de Sequências) Dizemos que uma sequência (x k ) k2n R n converge para um ponto x 2 R n quando 8" > 0 9k 0 2 N = k k 0 ) kx k xk < ": Nesse caso, dizemos que (x k ) k2n é uma sequência convergente com limite x e escrevemos lim x k = x: n!1 (Essa notação é justi cada pelo fato de uma sequência convergente possuir um único limite.) A de nição de limite de sequências possui a seguinte reformulação em termos da topologia de R n (que não menciona a métrica euclideana): Lema 1.1 Uma sequência (x k ) k2n R n converge para x 2 R n se, e somente se: 8A R n aberto = x 2 A ) 9k 0 2 N = k k 0 ) x k 2 A: De nição 1.5 (Sequência de Cauchy) Dizemos que uma sequência (x k ) k2n R n é uma sequência de Cauchy quando 8" > 0 9k 0 2 N = k; j k 0 ) kx k x j k < ": Teorema 1.1 (Convergência e Propriedade de Cauchy) Uma sequência (x k ) k2n R n é convergente se, e somente se, é uma sequência de Cauchy. Observação 1.1 Dizemos que o espaço euclideano R n é completo pelo fato das sequências de Cauchy serem convergentes. O seguinte teorema reduz a análise da convergência de sequências no espaço euclideano à análise de sequências convergentes em R: Teorema 1.2 (Convergência em Coordenadas) Seja (x k ) k2n R n uma sequência cuja expressão em coordenadas canônicas é x k = (x k1 ; :::; x kn ) ; 8k 2 N: Então, (x k ) k2n é convergente e somente se suas sequências coordenadas convergem; além disso vale lim x k = x () lim x k j = x j ; 8j = 1; :::; n: k!1 k!1 Prova. A essência da prova deste teorema está nas desigualdades jx k j kxk jx 1 j + ::: + jx n j ; 8x = (x 1 ; :::; x n ) 2 R n : 3

4 Teorema 1.3 (Propriedades Algébricas dos Limites) Valem: Se (x n ) ; (y n ) R n é um par de sequências convergentes e c 2 R é um número qualquer, então: lim cx n = c lim x n; lim (x n y n ) = lim x n lim y n: n!1 n!1 n!1 n!1 n!1 Se (x n ) R n e (k n ) R são sequências convergentes, então lim (k nx n ) = lim k n lim x n ; lim (x n=k n ) = lim x n= lim k n x!p n!1 n!1 n!1 n!1 n!1 se lim k n 6= 0 : n!1 Teorema 1.4 (Confronto) Sejam (x n ) ; (y n ) R n sequências tais que (x n ) é convergente e Então (y n ) é convergente para o mesmo limite de (x n ): lim kx n y n k = 0: n!1 lim x n = lim y n: n!1 n!1 4

5 1.2 Limite de Aplicações De nição 1.6 (Limite de Aplicações) Seja f : U R n! R m uma aplicação. acumulação p 2 U 0 é y 2 R m quando O limite de f num ponto de 8" > 0 9 > 0 = x 2 U; 0 < kx pk < ) kf (x) f (p)k < ": O seguinte teorema reduz a análise do limite de aplicações no espaço euclideano à análise de sequências convergentes: Teorema 1.5 (Limite e Sequências) Seja f : U R n! R m uma aplicação. O limite de f num ponto de acumulação p 2 U 0 é y 2 R m se, e somente se: para toda sequência (x k ) k2n U n fpg convergente para p, vale (f (x k )) k2n R m é uma sequência que converge para f (p): lim f (x) = y () x!p 8 (x k ) k2n U n fpg ; lim x k = p ) lim f (x k) = y : k!1 k!1 O seguinte teorema reduz a análise do limite de aplicações no espaço euclideano à análise de limites de funções reais: Teorema 1.6 (Limite em Coordenadas) Seja f : U R n! R m uma aplicação. O limite de f num ponto de acumulação p 2 U 0 é y 2 R m se, e somente se, o limite das funções coordenadas de f em p são as coordenadas de y:então, (x k ) k2n é convergente e somente se suas sequências coordenadas convergem; além disso vale lim f (x) = y () lim f j (x) = y j ; 8j = 1; :::; m: x!p x!p Teorema 1.7 (Propriedades Algébricas dos Limites) Valem: Se f; g : U! R m é um par aplicações com limite em p 2 U e c 2 R é um número qualquer, então: lim cf = c lim f; lim (f g) = lim f lim g: x!p x!p x!p x!p x!p Se f : U! R m e k : U! R são aplicações com limite em p 2 U, então: lim (kf) = lim k lim g ; lim (f=k) = lim f= lim k x!p x!p x!p x!p x!p x!p se lim k 6= 0 : x!p Se f : U! R m e g : V! R k são aplicações tais que f (U) V, f tem limite em p e g tem limite em f (p), então a composição f g tem limite em p e lim g f = lim g: x!p y!f(p) A análise da continuidade de uma função real reduz-se à análise da continuidade de funções reais de uma única variável: Teorema 1.8 (Limite ao longo de caminhos) Sejam f : U R n! R m com domínio localmente conexo e p 2 U 0 um ponto de acumulação. Então, f possui limite y 2 R m em p se, e somente se: para todo caminho : I! U que possui um ponto de acumulação t 2 I 0 no qual possui limite p, vale que f é função que tem limite y em t : lim (t) = p; t!t lim f (t) = y: t!t 5

6 Prova. (() Suponha que f não tenha limite y em p. Vamos construir um caminho (contínuo) : [0; 1)! U com lim t!1 (t) = p tal que f não possui limite y em t = 1. Com efeito, a hipótese de que f não possui limite y em p implica que existem " > 0 e uma sequência (x n ) n2n Un fpg tais que lim x n = p ; kf (x n ) f (p)k ": n!1 Como U é localmente conexo, passando a uma subsequência se necessário, podemos ligar os pontos da sequência (x n ) por um caminho (contínuo), e.g., (t) := 2 2 k+1 k k+1 t x k + 2 k+1 t 2 k 1 2 k x k+1 ; Então: é um caminho (contínuo) contido em U tal que lim t!1 (t) = p e 2 k f 1 f (p) = kf (x k) f (p)k " ; 8k 2 N; portanto, f não possui limite y em t = 1. 2 k 2 k 1 2 k t < 2k k+1 ; k = 0; 1; 2; ::: 6

7 1.3 Continuidade O conceito de continuidade de aplicações de várias variáveis é análogo ao conceito de continuidade de funções de uma variável e possui propriedades análogas. De nição 1.7 (Continuidade) Seja f : U R n! R m uma aplicação. Dizemos que f é contínua em p 2 U quando 8" > 0 9 > 0 = x 2 U; kx pk < ) kf (x) f (p)k < ": Equivalentemente, 8 (x k ) k2n U n fpg ; lim n!1 x k = p ) lim n!1 f (x k) = f (p) : A análise da continuidade de uma aplicação vetorial reduz-se à análise da continuidade de funções reais: Teorema 1.9 (Continuidade das funções coordenadas) Seja f : U R n! R m uma aplicação com funções coordenadas (f 1 ; :::; f m ). Então, f é contínua em p 2 U se, e somente se, cada função coordenada f j é contínua em p, para todo j = 1; :::; m. A análise da continuidade de uma função real reduz-se à análise da continuidade de funções reais de uma única variável: Teorema 1.10 (Continuidade ao longo de caminhos) Seja f : U R n! R uma função real com domínio localmente conexo. Então, f é contínua em p 2 U se, e somente se, para todo caminho contínuo : [t 0 ; t 1 ]! U com (t ) = p para algum t 2 [t 0 ; t 1 ], tem-se que f é função contínua em t ; nesse caso, vale o seguinte limite (que independe da curva ) lim f (t) = f (p) t!t Teorema 1.11 (Propriedades Algébricas das Aplicações Contínuas) Valem: Se f; g : U! R m é um par aplicações contínuas em p 2 U e c 2 R é um número qualquer, então são contínuas em p as aplicações cf ; f + g ; f g: Se f : U! R m e k : U! R são aplicações contínuas em p 2 U, são contínuas as aplicações kf ; f=k: Se f : U! R m e g : V! R k são aplicações tais que f (U) V, f é contínua em p e g é contínua em f (p), então a composição f g é uma aplicação contínua em p. 7

8 1.4 Problemas i. (De nição topológica de continuidade de aplicações) Seja X R n aberto e f : X! R m uma aplicação. Prove que f é contínua em X se e somente se: ii. Calcule os limites, se existirem: A R m aberto ) f 1 (A) X é aberto: (i) lim x!0 y!0 x 3 2y 3 2x 2 + 3y 2 ; (ii) lim x!0 y!0 sin (xy) sin (x) sin (y) cos (x) 1 ; (iii) lim x!0 xy + z + 1 y!1 z! 1 iii. Prove que a função é contínua em todos os pontos do plano, exceto na origem: 1 i) f (x; y) = xy x 2 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) 0 ; (x; y) = (0; 0) ; ii) g (x; y) = ( x 2 y x 4 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) 0 ; (x; y) = (0; 0) : iv. Prove que a função é contínua em todos os pontos do plano, inclusive na origem: ( p xy ; (x; y) 6= (0; 0) f : R 2! R 2 ; f (x; y) = x2 +y 2 0 ; (x; y) = (0; 0) v. Prove que a função é contínua em todos os pontos do plano, exceto na reta x = y: xy f (x; y) = x y ; x 6= y 0 ; x = y : vi. Prove que a função é contínua em todos os pontos do plano, incluindo a origem e excetuando os pontos dos eixos coordenados fora da origem: ( x f (x; y) = 2 + y 2 1 sin xy ; x 6= 0 e y 6= 0 0 ; x = 0 ou y = 0 : 1 Sugestões: (i) analise o comportamento de f ao longo das retas que passam pela origem; (ii) analise o comportamento de f ao longo das retas que passam pela origem e veri que que a restrição de f a essas curvas é contínua; então, analise o comportamento de f ao longo das parábolas que passam pela origem. 8