Cálculo Diferencial em R n

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1 Cálculo Diferencial em R n Derivadas parciais DMAT ESTSetúbal-DMAT 1 de Março de 2011 DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

2 Derivadas parciais de campos escalares De nição: Seja f : D R 2! R e (x, ) 2 intd. Chama-se derivada parcial de f (de primeira ordem) relativamente à variável x, no ponto (x, ), e representa-se por (x, ), ao ite h!0 f (x +h, ) f (x, ) h (se existir). Chama-se derivada parcial de f (de primeira ordem) relativamente à variável, no ponto (x, ), e representa-se por (x, ), ao ite f (x, +h) f (x, ) h!0 h (se existir). DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

3 Derivadas parciais de campos escalares OBS: Simbolicamente derivada parcial de primeira ordem da função z = f (x, ) relativamente à variável x no ponto (a, b), pode ser representada por fx 0 (a, b), (a, b), (D x f ) (a, b) ou. (a,b) Analogamente se representa a derivada parcial relativamente à variável. Exemplo: Seja f (x, ) = x 2. Calcule recorrendo à de nição (x, ) e (x, ). Exemplo: Calcule as derivadas parciais de f (x, ) = 2 + x + 4x 3. Exemplo: Calcule as taxas de crescimento da função anterior na direcção do eixo dos x e do eixo dos no ponto (2, 5). DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

4 Derivadas parciais de campos escalares x + x = 0 _ = 0 Exemplo: Seja f (x, ) = 1 x 6= 0 ^ 6= 0. Calcule (0, 0) e (0, 0). OBS: Repare-se que no exemplo anterior ambas as derivadas parciais de f existem na origem, mas a função não é continua neste ponto; de facto f (x, ) não existe. (x, )!(0,0) DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

5 Derivadas parciais de campos escalares De nição: Seja f : D R n! R e (a 1, a 2,..., a n ) 2 intd. Chama-se derivada parcial de f (de primeira ordem) relativamente à variável x i, 1 i n, no ponto (a 1, a 2,..., a n ), e representa-se por i (a 1, a 2,..., a n ), ao ite (se existir) h!0 f (a 1, a 2,..., a i + h,..., a n ) f (a 1, a 2,..., a i,..., a n ). h Exemplo: Calcule as derivadas parciais da função f (x,, z) = x cos x + z 2. DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

6 Derivadas parciais de ordem superior OBS: Dada a função f (x, ) e as respectivas derivadas parciais f 0 f 0 podemos construir as derivadas parciais (se os correspondentes ites existirem) das novas funções quer em ordem a x quer em ordem a denotadas da forma indicada: fxx 00 (a, b) = fx 0 (a + h, b) fx 0 (a, b), fx 00 (a, b) = fx 0 (a, b + h) fx 0 (a, b), f 00 (a, b) = f 0 (a, b + h) f 0 (a, b) e fx 00 (a, b) = f 0 (a + h, b) f 0 (a, b). x e DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

7 Derivadas parciais de ordem superior OBS: As derivadas anteriormente calculadas dizem-se derivadas parciais de 2 a ordem da função f. A notação utilizada é x 0 0 = 2 f 2 = f 00 xx, = 2 f = f 00 x, 0 x = 2 f = f 00 x 0 = 2 f 2 = f 00. OBS: Analogamente se de nem derivadas parciais de ordem superior a dois. Exemplo: Calculemos as derivadas parciais de terceira ordem da função: f (x, ) = x 3 2 3x. Teorema: (Schwarz) (Igualdade das derivadas parciais mistas) Se existirem fx 0, f 0 e fx 00 numa bola aberta com centro em (a, b) e se fx 00 for contínua nesse ponto, então também existe fx 00 (a, b) e f 00 x (a, b) = f 00 x (a, b). DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

8 Exercício Recorrendo à de nição determine as derivadas parciais nos pontos indicados: (a) f (x, ) = x + 2 no ponto (1, 2). f (1+h,2) f (1,2) R: (1, 2) = 1+h+4 5 = = 1 e (1, 2) = f (1,2+h) f (1,2) 1+(2+h) = 2 5 = 4h+h 2 = 4. x 2 2 se x = 0 ou = 0, (b) g (x, ) = em (0, 0). 2 se x 6= 0 e 6= 0. R: g g (h,0) g (0,0) (0, 0) = h = 2 0 = 0 e g (0, 0) = g (0,h) g (0,0) 2h 0 = = 2. DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

9 Exercício Recorrendo às regras de derivação determine as derivadas parciais das seguintes funções: (a) f (x, ) = 2x 3 3x 2 +. R: (x, ) = 6x 2 3 (b) f (x, ) = 2x 3x 2. R: 2 (3x 2 ) 3(2x ) (x, ) = 2 e (x, ) = 6x + 1. (3x 2 ) 2 = 4 2 (3x 2 ) 2 e 2x (3x 2 ) ( 2(2x )) (x, ) = = 6x 2. (3x 2 ) 2 (3x 2 ) 2 (c) f (x, ) = e x (x ). R: (x, ) = 2xex (x ) + e x = e x (2x (x ) + 1) e (x, ) = 2ex (x ) + e x ( 1) = e x (2 (x ) 1). DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

10 Exercício Seja f (x, ) = arctan x R: Calculemos e :, mostre que x + = 0. 1 (x, ) = 2 e 1 + x x (x, ) = x Ora, x + = x 1 + = x 1+( x ) 2 1+( x ) 2 1+( x ) 2 que demonstra o resultado. x 2 x 1+( x ) 2 = 0, facto DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

11 Exercício Considere a função f (x, ) = e x sin + e cos x. (a) Mostre que 2 f + 2 f , π 2 2 = 1 R: Calculemos,, 2 f 2, 2 f 2 e 0, π 2 : (x, ) = ex sin + e ( sin x), (x, ) = ex cos + e cos x, 2 f 2 (x, ) = ex sin e cos x, 2 f 2 (x, ) = ex sin + e cos x, = e 0 sin π 2 + e π 2 ( sin 0) = 1. Ora, 2 f f 0, π , π 2 2 = e x sin e cos x e x sin + e cos x + 1 = 1, o que demonstra o resultado. DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12

12 Exercício Considere a função f (x, ) = e x sin + e cos x. (b) Determine 2 f R: 2 f (x, ) = e x cos (π, 0). (x, ) = (ex cos + e cos x) = e sin x e 2 f (π, 0) = eπ cos 0 e 0 sin π = e π. (c) Prove que 2 2 f (π, 0) = 2eπ. R: A função f (x, ) = e x sin + e cos x está nas condições do teorema de Schwarz (pois existem fx 0, f 0 e fx 00 numa bola aberta com centro em (π, 0) e fx 00 é contínua neste ponto). Então, 2 f (π, 0) = 2 f (π, 0) = eπ. Este facto mostra que 2 2 f (π, 0) = 2eπ. DMAT (ESTSetúbal-DMAT) LIÇÃO 19 1 de Março de / 12