Parte II. Determinemos a variação do lucro, quando o custo do trabalho passa de 0 para 5 mil euros.

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1 Funções reais a duas variáveis reais Parte II III. Derivadas [ELL] Voltemos ao exemplo da função lucro a uma variável. Numa determinada empresa concluiu se que o lucro anual, em milhares de euros, é dependente do custo do trabalho realizado, nas mesmas unidades, segundo a seguinte função Determinemos a variação do lucro, quando o custo do trabalho passa de 0 para 5 mil euros mil euros mil euros. Quando o custo do trabalho aumenta de 0 para 5 mil euros, o lucro aumenta 5 mil euros. Calculemos a taxa média de variação no intervalo 0,5..., A taxa média da variação de uma função real a uma variável real f, num intervalo, do seu domínio é dada por. t. m. v, fb fa. ba A taxa média de variação de uma função no intervalo, representa geometricamente o declive da recta definida pelos pontos do gráfico, e, Significa que, quando o custo do trabalho aumenta de 0 para 5 mil euros, o lucro anual sofre, em média, um decréscimo de mil euros. Página 1 de 18

2 y Na figura 17 estão representadas a função L e a recta secante ao gráfico de L nos pontos 0, 0 e 5, 5. O declive é dado por.., Fig.17 Determinemos agora a taxa de variação instantânea em 5, ou seja, a taxa de variação média no intervalo 5, 5 (com 0), sendo um valor próximo de zero (falamos então de uma variação ínfima da variável independente). 5 lim lim lim lim lim 5 5 Seja uma função real a uma variável real, à taxa de variação instantânea de em chamamos derivada de em, e denotamos, ou seja, lim ou, de forma equivalente tomando lim, sendo um número interior ao domínio de. A taxa de variação instantânea ou derivada de uma função no ponto de coordenadas,, representa geometricamente o declive da recta tangente ao gráfico de nesse ponto. 5 lim 5 5 lim Significa que, quando o custo de trabalho é de 5 mil euros, o lucro anual decresce aproximadamente meio milhar de euros, por cada milhar de euros que o valor do custo de trabalho aumenta. Página 2 de 18

3 y 20 Na figura 18 estão representadas a função, e a recta tangente ao gráfico de no ponto 5, Note que o declive da recta tangente ao gráfico no ponto de abcissa 5 é a derivada de em Fig.18 Importante: domínio. Uma função diz se derivável se existe lim, para qualquer número interior ao seu RECORDA QUE O estudo da derivada de uma função real a uma variável real permite nos compreender como variam as imagens de uma função, quando se varia de forma ínfima a sua variável independente. Pelo estudo da primeira derivada determina se o declive da recta tangente ao gráfico da função num determinado ponto e consequentemente, a monotonia da função e a existência de extremos. Estudando a derivada de ordem dois, determina se o sentido da concavidade do gráfico da função. Os valores onde a segunda derivada se anula são potenciais pontos de inflexão, ou seja, pontos onde o gráfico da função muda de concavidade. Página 3 de 18

4 Voltemos ao exemplo da função lucro dependente do capital e do custo do trabalho. Seja, 20 5 a função que nos dá o lucro anual de uma empresa (em milhares de euros), sendo o custo do trabalho e o capital da empresa, nas mesmas unidades. No ano 2007, a empresa manteve o custo de trabalho e o capital constantes. Não contentes com o lucro obtido, os administradores propuseram diferentes estratégias de forma a maximizar o lucro no ano Sabendo que, em 2007, o custo de trabalho dessa empresa foi de 20 milhares de euros e o capital 16 milhares de euros, qual a variação do lucro se fizermos variar: O custo de trabalho, mantendo o capital da empresa constante? O capital da empresa, mantendo o custo de trabalho constante? Ambos os valores de forma proporcional e de razão 1? Começando por manter fixo e fazendo variar ligeiramente, a taxa de variação instantânea do lucro,,, em relação a é dada por 20, 16 20,16 lim lim lim lim lim Concluímos então que, nesta empresa, quando o custo de trabalho é de 20 milhares de euros e o capital de 16 milhares de euros (, 20,16), mantendo se o capital constante, por cada milhar de euros de acréscimo no valor do custo do trabalho, o lucro sofrerá um decréscimo de, aproximadamente, 250 euros (¼ da unidade). Graficamente, este valor corresponde à inclinação (ou coeficiente angular) da recta tangente ao gráfico em 20,16, que está contida no plano 16 (pois a variável é mantida constante igual a 16), como se mostra na seguinte figura. z y x Página 4 de 18

5 Mantendo agora fixo e fazendo variar, a taxa de variação instantânea do lucro,,, em relação a é dada por 20,16 20,16 lim 1 32 Ou seja, quando custo de trabalho é de 20 milhares de euros e o capital de 16 milhares de euros, mantendo o custo de trabalho constante, por cada milhar de euros de acréscimo no valor do capital, o lucro sofrerá um aumento de, aproximadamente, euros 1 32 da unidade. Graficamente, este valor corresponde à inclinação (ou coeficiente angular) da recta tangente ao gráfico em 20,16, que está contida no plano 20 (pois a variável é mantida constante igual a 20). z x y Os casos analisados correspondem às seguintes variações relativas ao objecto 20,16: 20,16 1,0 20,16 0,1 apenas varia apenas varia E se pretendemos verificar a variação do lucro quando se fazem variar as variáveis e simultaneamente e de forma proporcional (com razão igual a 1)? Neste caso o objecto 20,16 vai sofrer a seguinte variação: 20,16 1,1 variam ambas as coordenadas de forma proporcional (razão 1) Portanto, fixado,, interior ao domínio de, é possível efectuar infinitas variações ao ponto,, somando a este um vector. Página 5 de 18

6 DERIVADA DIRECCIONAL Seja uma função real a duas variáveis reais, de domínio, e seja um vector de, a derivada direccional de num ponto,, interior ao seu domínio, segundo um vector,, é dada por NOTA:, lim,,, O limite apresentado é dividido pela norma do vector para que a derivada direccional dependa somente da direcção e sentido de. Se,, então Alguns dos administradores da empresa pretendem que no ano 2008, o aumento do custo de trabalho, seja proporcional e de razão 1 ao aumento do capital da empresa. Neste caso, vamos fazer variar o ponto 20,16 na direcção de um vector cujas coordenadas tenham razão 1, por exemplo o vector 1,1. Para calcularmos a derivada direccional, temos que 1 1 2, logo 20,16 1,1 20,16 20,16 lim 2 20, 16 20,16 lim lim lim lim 2 1 lim Como se trata de um limite de uma função a uma variável (), que resulta numa indeterminação 0/0, podemos aplicar a Regra de L Hôpital ou Regra de Cauchy. Concluímos que, aumentando o custo do trabalho e ao capital da empresa em unidades (na proporção 1) o lucro diminui, aproximadamente, milhares de euros unidades). Página 6 de 18

7 DERIVADA PARCIAL EM ORDEM A No primeiro caso que analisámos, calcular a taxa de variação instantânea fazendo variar apenas é o mesmo que calcular a derivada direccional segundo o vector 1,0, uma vez que 1,0 1. Verifica se que calcular a taxa de variação instantânea (derivada) de uma função real a duas variáveis reais, quando se varia apenas, equivale a calcular a derivada de uma função real a uma variável real em que é a variável e é constante. A derivada parcial de em ordem a, no ponto 20,16 é dada por 20, 16 20,16,20,16 lim 20,16 Repare que 1,0 1 O símbolo indica derivada parcial da função. O cálculo da derivada parcial em ordem a num ponto, na maioria dos casos, pode fazer se pelas regras de derivação usadas para as derivadas de funções reais a uma variável, desde que se considere como constante. DERIVADA PARCIAL EM ORDEM A As conclusões do segundo exemplo são análogas, ou seja, calcular a taxa de variação instantânea fazendo variar apenas é o mesmo que calcular a derivada direccional segundo o vector 0,1. A derivada parcial de em ordem a, no ponto 20,16, é dada por,20,16 lim,, 20,16. O cálculo da derivada parcial em ordem a num ponto, na maioria dos casos, pode fazer se pelas regras de derivação usadas para as derivadas de funções reais a uma variável, mas considerando como constante. Página 7 de 18

8 IMPORTANTE As derivadas parciais de 1ª ordem de, em relação a e a, e, respectivamente, são casos particulares de derivadas direccionais, com 1,0 e 0,1, respectivamente. Podemos escrever:,,, e,,,. Deve ter especial atenção aos pontos de mudança de expressão, nas funções definidas por ramos, nos quais as derivadas parciais têm que ser calculadas por definição. Haverá forma de calcular derivadas direccionais segundo outras direcções sem recorrer à definição? Vector Gradiente Seja, uma função real a duas variáveis reais contínuas tal que existem e são contínuas e (isto é, é uma função de classe. O gradiente de, denotado por, é o vector, ou, representa o produto escalar (ou produto interno) entre vectores.,,, Nestas condições, a derivada direccional é dada por:,, Por definição, o produto interno entre e é dado por:,. Na prática, sendo, e,, podemos calcular o produto interno por: Importante: Sempre que existam e sejam contínuas as derivadas parciais de uma função real a duas variáveis reais, podemos calcular a derivada direccional da forma descrita acima. Nos pontos de mudança de expressão, que surgem nas funções definidas por ramos, determina se a derivada direccional por definição. Página 8 de 18

9 Exemplo: Considere a função real de duas variáveis reais definida por:,, 0,0. 0, 0,0 a) Determine a derivada direccional de, segundo o vector 1,2, no ponto 1,1? Verifiquemos se estamos em condições de calcular a derivada direccional à custa do vector gradiente. No ponto 1,1 a função é definida pela expressão Analisemos se a função é classe em \0,0. As derivadas parciais são:, (Usar a regra da derivada do quociente, e considerando constante.), (Usar a regra da derivada do quociente, e considerando constante.). As derivadas parciais de uma função nas variáveis, são funções nas variáveis,. Para calcular uma derivada parcial num ponto, usando as regras de derivação, temos que começar por determinar a função derivada. Uma vez que a função e as respectivas derivadas parciais são funções contínuas, a função tem que ser de classe em \0,0. Assim, podemos determinar derivada direccional de, segundo o vector 1,2, no ponto 1,1 a partir do vector gradiente, isto é,, 1,1 1,2 1,1. 1,2 Sendo, e,, 1,1 1,1, 1,1, 0,. Logo,,, 1,1,,,, Quando temos uma fracção em que o denominador é uma raiz, deve se multiplicar o numerador e o denominador pela respectiva raiz, de forma a eliminá la do denominador. Ou seja, este processo consiste em racionalizar o denominador. Página 9 de 18

10 b) Determine a derivada direccional de, segundo o vector 1,2, no ponto 0,0? Sendo uma função definida por ramos, em que (0,0) é o ponto de transição, a derivada direccional tem que ser calculada por definição., 0,0 lim,,,,, 2 0,0 lim 5 4 lim lim Na função, 0,0, 0, 0,0 Temos que, 0 apenas quando, 0,0. A determinação de, 2 é feita usando a expressão,, uma vez que é um valor próximo de zero, mas não é zero. Voltemos ao exemplo da função lucro dependente do capital e do custo do trabalho. Seja, 20 5 a função que nos dá o lucro anual de uma empresa (em milhares de euros), sendo o custo do trabalho e o capital da empresa, nas mesmas unidades. Anteriormente, usando a definição, vimos que: 20,16 20,16 20,16 Poderíamos determinar estas derivadas sem recorrer à definição? Uma vez que não se trata de uma função definida por ramos, podemos determinar as derivadas parciais, aplicando as regras de derivação, considerando constantes e, respectivamente. e A função derivada parcial em ordem a é:, 5 5 Logo 20, Página 10 de 18

11 A função derivada parcial em ordem a é Logo,, / 20, Para podermos determinar a,20,16 à custa do vector gradiente, temos que começar por garantir que a função, 20 5 é de classe, nos pontos do domínio. Sendo uma função de classe em, :, 0, uma vez e as suas derivadas parciais são contínuas em. Podemos determinar a derivada direccional através do vector gradiente, ou seja,,20,16 20,16 1,2 1,2 Sendo 20,16,,, então,,20,16 20,16 1,1 1, , 1 1,1 32 1,1 0,155 Qual a direcção e sentido de variação do objecto 20,16 para que, a taxa de crescimento do lucro seja máxima? Nos casos anteriormente analisados, verificamos que, o mais vantajoso para a empresa seria manter constante o custo do trabalho e fazer variar apenas o capital investido, isto é, efectuar uma variação segundo o vector 0,1. Mas será esta a situação mais favorável para a empresa? Se estamos nas condições de calcular a derivada direccional a partir do vector gradiente e aplicarmos a definição de produto interno, temos que,,,,,, L, ^ Página 11 de 18

12 Assim,, é máximo quando, ^ 1 e portanto os vectores gradiente de, L, e, formam um ângulo 0. Por conseguinte, o crescimento da função é máximo se o vector (vector direcção) tiver a mesma direcção e sentido que o vector gradiente, ou seja, é máximo no sentido e na direcção do vector gradiente., é mínimo quando, ^ 1 e portanto os vectores gradiente de, L, e, formam um ângulo 180. Por conseguinte, o crescimento da função é mínimo se o vector (vector direcção) tiver a mesma direcção que o vector gradiente, mas sentido oposto a este. No exemplo anterior, quando o custo do trabalho é de 20 mil euros e o capital investido é de 16 mil euros, o mais vantajoso para a empresa será diminuir o custo do trabalho e o capital no sentido e direcção do vector 20,16,, isto é, fazendo variar o custo do trabalho e o capital na proporção 8. Propriedades do Vector Gradiente Sejam uma função com derivadas parciais contínuas e, um ponto interior ao seu domínio. Se, 0, então, 0, ou seja, é perpendicular a, ; A direcção e sentido de crescimento máximo de é dada por, ; A direcção e sentido de crescimento mínimo de é dada por,. Se custo do trabalho é de 20 mil euros e o capital investido é de 16 mil euros, qual poderá ser taxa de crescimento máxima do lucro da empresa? Tal como vimos anteriormente,,,, L, ^. Neste caso, como o crescimento é máximo na direcção e sentido do vector gradiente, 20,16 1, 1 e portanto, L, ^ =1. Logo, , 1 20,16 20,16 1, 1 = Página 12 de 18

13 O que significa que, se queremos aumentar o mais rapidamente possível o lucro da empresa quando o custo do trabalho é de 20 mil euros e o capital investido é de 16 mil euros, devemos aumentar o custo do trabalho e o capital na proporção 8 (na direcção e sentido do vector, ), sendo deste modo a taxa de crescimento máxima do lucro de, aproximadamente, 252 euros. Exercícios 1. Determine as derivadas parciais de 1ª ordem de cada uma das seguintes funções. a., ; b., ; c., Determine, por definição, as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções nos pontos indicados. a.,, 0,0 no ponto 1,2; 0, 0,0 b.,, 0,0 no ponto 0,0. 0, 0,0 2.2 Analise se seria possível, em alguma das alíneas do exercício anterior, utilizar as regras de derivação em alternativa à definição. 3. Calcule a derivada direccional das funções no ponto e na direcção indicados. a., 3, 1,2 e 1/2, 3/2; b.,, 0, /4 e 10/10,3 10/ Uma empresa que fabrica dois tipos de produtos: A e B. A função de custo para produzir unidades de A e unidades de B é:, Calcule os custos marginais ( e ) quando 80 e 20 e interprete os valores obtidos. Página 13 de 18

14 5. Determine a direcção e sentido nos quais a função, 2 cresce mais rapidamente partindo do ponto 1,1. 6. A função de produção e Cobb Douglas, 4. modela a produção de uma pequena empresa em função do capital do trabalho. a. Calcule 10000,625 e interprete o valor obtido. b. Calcule a taxa de variação da produção no ponto 10000,625 quando se mantém a quantidade de trabalho e se varia a quantidade de capital. c. Calcule a taxa de variação da produção no ponto 10000,625 quando se mantém o capital constante e se varia a quantidade de trabalho. d. Determine a direcção e sentido de maior crescimento do lucro da empresa partindo de 10000, A altura de um dado ponto num vulcão que se encontra inactivo é dada, aproximadamente, por, ,0007, onde é altura acima do nível do mar em milhas, e e medem as distâncias este oeste e norte sul, respectivamente. Um geólogo encontra se no ponto 2, 4. a. Qual a velocidade de crescimento da altura na direcção e sentido este oeste? b. Qual a velocidade de crescimento da altura segundo o vector 1,3? c. Em que direcção e sentido a altura cresce mais rapidamente? E decresce? d. Se o geólogo caminhasse na direcção noroeste, estaria a subir ou a descer? A que velocidade? Página 14 de 18

15 Derivadas parciais de 2ª ordem Seja uma função real a duas variáveis reais, chamamos derivadas parciais de 2ª ordem, se existirem, às funções derivadas das derivadas parciais, em ordem a e a, ou seja, Derivada de em ordem a Derivada de em ordem a Derivada de em ordem a Derivada de em ordem a Exemplo 1: Calculemos as derivadas parciais de 2ª ordem da função, As derivadas parciais de 1ª ordem da função são, 5 2 5/, 1 4 / As derivadas parciais de uma função nas variáveis, são funções nas variáveis,. Calcular a derivada de 2ª ordem de uma função, não é mais do que calcular a derivada de 1ª ordem da função primeira derivada. Segundas derivadas em ordem a Derivando em ordem a, a primeira derivada em ordem a, temos, 5/ 5 = 5/ Derivando em ordem a, a primeira derivada em ordem a, temos, / 0 Página 15 de 18

16 Segundas derivadas em ordem a Derivando em ordem a, a primeira derivada em ordem a, temos, 5/ 0 Derivando em ordem a, a primeira derivada em ordem a, temos, / / Teorema de Schwarz Se é de classe (isto é, é uma função contínua com derivadas parciais contínuas até à 2ª ordem) e, é interior ao domínio de, então,,, Exemplo 2: Considere a função real de duas variáveis reais definida por:,, 0,0. 0, 0,0 a) Determine a função. Vimos anteriormente que,,, 0,0. No ponto (0,0), temos que determinar a por definição, ou seja 0,0 0,0 1,0 0,0, 0 0,0 0,0 lim lim, lim lim 0 Quando determinamos lim, o tende para zero, mas não é zero. Por isso não é verdade que lim. Página 16 de 18

17 Assim,,, 0,0. 0, 0,0 b) Determine no ponto (1,1). Para calcular, temos que considerar a função. Apesar desta ser uma função definida por ramos, podemos recorrer às regras de derivação para determinar, visto (1,1) não ser um ponto de transição., Vamos então derivar em ordem a, considerando constante, a função, Assim, c) Determine 0,0. Uma vez que (0,0) é um ponto de transição da função, a neste ponto tem que ser calculada por definição mas agora considerando como função. 0,0 0,0 lim lim, 0 0,0 0 lim 0 0 lim 0 0,0 1,0 0,0 Página 17 de 18

18 Exercícios: 1. Calcule as derivadas de 2ª ordem da função, Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas, justificando. a., sendo, b. Sabendo que uma função é harmónica se satisfizer a equação função, cos é uma função harmónica. 0, a c. A função, satisfaz a equação de onda,. Bibliografia [LH] Larson, R., Hostetler, R. e Edwards, B., Cálculo, Mc Graw Hill, 2006 [BHJ] Bortolossi, H.J., Cálculo Diferencial a Várias Variáveis, Edições Loyola, S. Paulo, [ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.1, Projecto Euclides, Nona Edição, [CFVV] Breda, A., Costa, J.; Cálculo com funções de várias variáveis, Mc Graw Hill, 1996 Página 18 de 18