Complementos de Cálculo Diferencial

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1 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 47 Comlementos de Cálculo Diferencial A noção de derivada foi introduzida no ensino secundário. Neste teto retende-se relembrar algumas de nições e resultados já conhecidos e comlementar os conhecimentos adquiridos com vista ao cálculo integral que será dado no caítulo seguinte. Anteriormente foram estudadas as funções trigonométricas e resectivas derivadas, mas não foram estudadas as funções inversas das funções trigonométricas. Aqui serão aresentadas as funções inversas das quatro rinciais funções trigonométricas, seno, co-seno, tangente e cotagente, ara as quais serão também calculadas as derivadas. Ao longo deste caítulo todas as funções consideradas são funções reais de variável real. Revisões Algumas derivadas conhecidas: Se c R e f () c, então f 0 () 0 (a derivada de uma função constante é 0) Para R, ( ) 0 (e ) 0 e Para a R +, (a ) 0 a ln a (ln ) 0 (sin ) 0 cos (cos ) 0 sin (tan ) 0 cos (cot ) 0 sin Observação: Lembrando que, ara b > 0 e a qualquer e que, se a > 0; a b a b () a a, () constata-se que a fórmula da derivada de ; R, também se alica a derivadas de funções do tio () e (). Eemlos:. Se f (), então f 0 () ( 0 ) 0

2 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 48. Se f () 4 ; então f 0 ()! Relações trigonométricas tan sin cos, cot tan cos sin Fórmula fundamental da trigonometria cos + sin Se cos 6 0, cos + tan, cos + tan Se sin 6 0, sin + cot, sin + cot cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin sin ( + ) cos sin + cos sin sin ( ) cos sin cos sin cos () cos sin sin () cos sin cos sin sin cos cos cos + cos cos sin ( + ) + sin ( ) cos ( ) + cos ( + ) Alguns valores das funções trigonométricas 0 6 0o 4 45o 60o 90o 80 o 90o sin 0 0 cos 0 0 tan 0 nd 0 nd cot nd 0 nd 0

3 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 49 Regras de derivação De nição: Uma função é diferenciável em R se tiver derivada nita em : Teorema: Se uma função f é diferenciável em R, então f é contínua em : Derivada do roduto escalar: Se k R e f é uma função diferenciável num onto R, então a função kf também é diferenciável em e: (kf) 0 () k (f 0 ()) Eemlo: ( ) 0 ( ) 0 () 6: Derivada da soma e do roduto: Se f e g são funções diferenciáveis em R, então as funções f + g e f g também são diferenciáveis em e: Derivada da soma: (f + g) 0 () f 0 () + g 0 () [abreviadamente (f + g) 0 f 0 + g 0 ] Derivada do roduto: (f g) 0 () f 0 () g () + f () g 0 () [abreviadamente (fg) 0 f 0 g + fg 0 ] Eemlos:. Se f () e g () então: (f + g) 0 () ( + ) 0 ( ) 0 + () A derivada de q () é q 0 () () 0 + (8) Se f () e e g () ln então: (f + g) 0 () (e + ln ) 0 (e ) 0 + (ln ) 0 e + (f g) 0 () (e ln ) 0 (e ) 0 ln + e (ln ) 0 e ln + e e ln + 4. Se f () sin e g () cos então: (f + g) 0 () (sin + cos ) 0 (sin ) 0 + (cos ) 0 cos sin

4 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 50 (f g) 0 () (sin cos ) 0 (sin ) 0 cos + sin (cos ) 0 cos cos + sin ( sin ) cos sin Derivada do cociente: Se f e g são funções diferenciáveis em R e se g () 6 0, então f também é diferenciável em e: g 0 f () f 0 () g () g f () g 0 () (g ()) [abreviadamente 0 f f 0 g fg 0 ] g g Eemlos:. Se f () ln e g () então: 0 0 f () ln g () (ln )0 ln () 0 ln ln. Através da regra da derivada do cociente odemos deduzir a derivada da função tan. De facto, se f () sin e g () cos então f () g () sin tan : Assim, cos 0 sin (tan ) 0 () cos (sin )0 cos sin (cos ) 0 (cos ) cos cos sin ( sin ) cos cos + sin cos cos Derivada da função comosta: Se f e g são funções, f diferenciável em R e g diferenciável em f (), então a função g f é diferenciável no onto e: (g f) 0 () g 0 (f ()) f 0 () Eemlos:. Sejam f () ln e g () : Então (a) (g f) () g (f ()) (ln ) e (ln ) 0 ln : (ln ) 0 ln (b) (f g) () f (g ()) ln ( ) e (ln ( )) 0 : ( ) 0

5 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 5. Seja h () cos : Considerando as funções f () e g () cos veri ca-se que h f g: Então: h 0 () ( cos ) 0 (cos ) 0 (cos ) (cos ) 0 sin cos A artir da regra da derivada da função comosta odem-se deduzir eressões gerais ara as derivadas de muitas funções. Eemlos:. Seja f () uma função qualquer. Para R, qual é a derivada def ()? Esta função é a comosição de f () com a função g () : Usando a regra da derivação da função comosta obtemos (f () ) 0 f () f 0 (). Seja f () uma função qualquer. Para calcular a derivada de ln f () ; basta observar que ln f () é a comosição de f () com a função g () ln. Pela regra (ln f ()) 0 f () f 0 () f 0 () f () Resumimos as fórmulas assim obtidas na seguinte tabela (que já inclui as derivadas das funções trigonométricas inversas que deduziremos de seguida): Se é uma variável: Derivadas Se f é uma função: ( ) 0 ; R (f ) 0 f :f 0 ; R (e ) 0 e e f 0 e f :f 0 (a ) 0 a ln a; a R + a f 0 a f : ln a:f 0 ; a R + (ln ) 0 (ln f) 0 f 0 f (sin ) 0 cos (sin f) 0 cos f:f 0 (cos ) 0 sin (cos f) 0 sin f:f 0 (tan ) 0 (tan f) 0 f 0 cos cos f (cot ) 0 sin (cot f) 0 f 0 sin f (arcsin ) 0 (arcsin f) 0 f 0 f (arccos ) 0 (arccos f) 0 (arctan ) 0 + (arctan f) 0 f 0 (arccot ) 0 + (arccot f) 0 f 0 f + f f 0 + f

6 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 5 Funções trigonométricas inversas Função inversa da função seno Seja f () sin Domínio: R Contradomínio: [ ; ] sin Como a função seno não é injectiva, ara de nir a inversa temos de restringir h a função a um intervalo em que seja injectiva. Para isso escolhemos o intervalo ; i, no qual a função seno é estritamente crescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao valor da função inversa do seno num onto deste intervalo chama-se habitualmente arco cujo seno é ; simbolicamente arcsin : Como sin e arcsin são funções inversas, é claro que sin (arcsin ) : Tem-se então: f () arcsin Domínio: [ ; ] h Contradomínio: ; i arcsin

7 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 5 Função inversa da função co-seno Seja f () cos Domínio: R Contradomínio: [ ; ] cos Também neste caso, ara de nir a função inversa temos de restringir a função co-seno a um intervalo em que seja injectiva. Para isso escolhemos o intervalo [0; ], no qual a função co-seno é estritamente decrescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao valor da função inversa do co-seno num onto deste intervalo chama-se habitualmente arco cujo co-seno é ; simbolicamente arccos : Como cos e arccos são funções inversas, é claro que cos (arccos ) : Tem-se então: f () arccos Domínio: [ ; ] Contradomínio: [0; ] arccos

8 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 54 Função inversa da tangente: Seja f () tan n (ou f () tg ) o Domínio: R + k : k Z Contradomínio: R tan Neste i caso, ara calcular a função inversa da tangente, efectuamos a sua restrição ao intervalo ; h no qual a função é estritamente crescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao valor da função inversa da tangente num onto deste intervalo chamase habitualmente arco cuja tangente é ; simbolicamente arctan ou arctg : Como tan e arctan são funções inversas, é claro que tan (arctan ) : Tem-se então: f () arctan (ou f () arctg ) Domínio: R i Contradomínio: ; h arctan

9 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 55 Função inversa da cotangente: f () cot (ou f () cotg ) Domínio: R fk : k Zg Contradomínio: R cot Neste caso, ara calcular a função inversa da cotangente, efectuamos a sua restrição ao intervalo ]0; [ no qual a função é estritamente decrescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao valor da função inversa da tangente num onto deste intervalo chama-se habitualmente arco cuja cotangente é ; simbolicamente arccot ou arccotg : Como cot e arccot são funções inversas, é claro que cot (arccot ) : Tem-se então: f () arccot (ou f () arccotg ) Domínio: R Contradomínio: ]0; [ arccot

10 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 56 Derivada da função inversa O teorema que se enuncia de seguida ermite calcular a derivada da função inversa de uma função dada a artir da derivada da função inicial. Derivada da função inversa: Seja I um intervalo real, f : I! R uma função monótona e contínua e f : f (I)! R a inversa de f: Se f é diferenciável num onto I e f 0 () 6 0; então f é diferenciável em f () e: f 0 () f 0 (f ()) () Eemlos: Os eemlos que aresentamos mostram como utilizar este teorema no cálculo de derivadas já conhecidas.. Vamos calcular a derivada da função ln usando o facto de ser a função inversa de f () e : Com é sabido f 0 () e : Neste caso f () ln : Alicando a fórmula () obtemos: (ln ) 0 f 0 () f 0 (f ()) e (ln ). Vamos calcular a derivada da função usando o facto de ser a função inversa de f () : Com é sabido f 0 () : Neste caso f () : Alicando a fórmula () obtemos: 0 ( ) 0 f 0 () f 0 (f ()) Derivadas das funções trigonométricas inversas arcsin Se f () sin então f 0 () cos e f () arcsin. Alicando a fórmula () da ágina 56, obtém-se: arccos (arcsin ) 0 cos (arcsin ) # ver g. 48 sin (arcsin ) Se f () cos então f 0 () sin e f () arcsen. Alicando a fórmula () da ágina 56, obtém-se: (arccos ) 0 sin (arccos ) # ver g. 48 cos (arccos )

11 Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 57 arctan Se f () tan então f 0 () cos e f () arctan. Alicando a fórmula () da ágina 56, obtém-se: (arctan ) 0 cos (arctan ) # ver g tan (arctan ) + arccot Se f () cot então f 0 () da ágina 56, obtém-se: sen e f () arccot. Alicando a fórmula () (arccot ) 0 sin (arccot ) # ver g cot (arccot ) + Conclusão: (arcsin ) 0 (arccos ) 0 (arctan ) 0 + (arccot ) 0 +