Exercícios sobre Trigonometria

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1 Universidade Federal Fluminense Campus do Valonguinho Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada - GMA Prof Saponga uff Rua Mário Santos Braga s/n Niterói, RJ Tels: ( Eercícios sore Trigonometria 0.. Use um triângulo equilátero e mostre que: cos(π/6 = / sin(π/6 = / tan(π/6 = / cos(π/ = / sin(π/ = / tan(π/ =. onde os ângulos são dados em radianos.. Seja θ [ 0, π ] dado em radianos. Faça uma figura, no círculo trigonométrico, que mostre, de forma clara, os ângulos : (a θ e θ ; ( θ + π e θ π ; (c θ + π/ e θ π/ ; (d π/ + θ e π/ θ ; (e π + θ e π θ ; (f θ + π e θ π. Faça figuras com θ em cada um dos quatro quadrantes.. Conhecendo os valores de cos, sin, tan, cot, sec, cossec associados aos ângulos π/, π/4 e π/6 radianos, calcule cos, sin, tan, cot, sec, cossec para os ângulos a seguir, dados em radianos : π/6 π/6 + π/ ; π π/ π/ π/ ; π π/6 ; π/6 π/ ; π + π/ ; π π/4 ; π + π/6 ; π/ ; π/ + π/ ; π/ π/4 ; É proiido usar a fórmula do seno e a do cosseno para a soma e para a diferença de dois ângulo. Use a representação gráfica dos ângulos para oter a resposta. 4. Saendo que cos θ = /, determine, os possíveis valores para: sin θ ; sin(θ + π/ ; cos(θ + π ; cos(θ + π/. sin(θ + π ; sin(θ π/ ; cos(θ π/ ; tan(θ + π/ É proiido usar a fórmula do seno e a do cosseno para a soma e para a diferença de dois ângulo. Novamente, use a representação gráfica dos ângulos.. Seja θ [ 0, π/ ] dado em radianos. Faça uma figura, no círculo trigonométrico, que mostre, de forma clara, a relação entre: (a cos θ e cos( θ ; sin θ e sin( θ ; tan θ e tan( θ ( cos θ e cos(θ + π ; sin θ e sin(θ + π ; tan θ e tan(θ + π (c cos θ e cos(π θ ; sin θ e sin(π θ ; tan θ e tan(π θ (d cos θ e cos { (π/ θ } ; sin θ e sin { (π/ θ } ; tan θ e tan { (π/ θ }. A relação que você encontrou vale apenas para ângulos do intervalo [ 0, π/ ] ou vale para qualquer ângulo (com ecessão daqueles onde a tangente não está em definida? 6. Repita o eercício anterior para cotangente, secante e cossecante.

2 Números Compleos 7. Sem usar a fórmula do seno e do cosseno da soma e da diferença, faça uma figura, no círculo trigonométrico, que mostre, de forma clara, a relação entre: (a cos { (π/ + θ } e cos { (π/ θ } ; sin { (π/ + θ } e sin { (π/ θ } ; tan { (π/ + θ } e tan { (π/ θ } ( cos(π + θ e cos(π θ ; sin(π + θ e sin(π θ ; tan(π θ e tan(π θ (c cos { (π/ + θ } e cos { (π/ θ } ; sin { (π/ + θ } e sin { (π/ θ } ; tan { (π/ + θ } e tan { (π/ θ } 8. Considere as aplicações f( = cos, g( = sin vistas como aplicações da reta na reta e onde a variável é dada em radianos. (a Mostre que o gráfico de f é simétrico em relação ao eio definido pela reta de equação cartesiana = π, isto é, prove que f(π + = f(π, para todo R; ( Mostre que o gráfico de g não tem essa propriedade ; (c Mostre que o gráfico de g é simétrico em relação ao eio definido pela reta de equação cartesiana = π/ ; (d Mostre que o gráfico de f não tem essa propriedade ; (e O que se pode dizer da tangente, cotangente, secante e cossecante? simetrias acima consideradas? (f Determine outros eios de simetria para os gráficos de seno, cosseno e tangente ; Seus gráficos têm ou não têm as (g Eplicite eios de simetria para os gráficos de cotangente, secante e cossecante, caso eistam. 9. Calcule seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante para os ângulos aaio, dados em radianos, a menos que não estejam definidos. 8π/ rd 9π/4 rd 80π/6 rd 9π/4 rd 80π/6 rd 9π/4 rd 6π/ rd 9π/4 rd. 0. Os ângulos a seguir são dados em graus, transforme-os em ângulos dados em radianos. 60 o 00 o 94 o 60 o 94 o 060 o.. Para cada ângulo dado acima, determine : (h um ângulo, dado em graus, que tenha o mesmo seno e o mesmo cosseno, e que seja maior ou igual a zero, e inferior a 60 o. (i um ângulo, dado em graus, que tenha o mesmo seno e o mesmo cosseno, e que seja maior que 80 o, e menor ou igual a 80 o.. Saendo que tan θ = / e que θ é um ângulo do segundo quadrante, determine o valor de : (a sec θ ( sin θ (c cot( θ.. Determine os valores de R para os quais as identidades a seguir são verdadeiras: (a tan sin + tan = sec ( tan + tan = sin cos (c sin sin cos = sin (d cos + sin + + sin cos = sec (e cos sin cos + sin = tan (f sin4 cos 4 sin cos =. 4. Determine os valores de R para os quais a identidade tan ( + cot = sin é verdadeira.

3 Números Compleos. Determine os valores de θ R para os quais a identidade 6. Determine os valores de t R para os quais a identidade tan θ cot θ sin θ cos θ 7. Calcule cos( o e sin(7 o usando as identidades trigonométricas cos t sin t = + sin t cos t = sec θ csc θ é verdadeira. é verdadeira. cos( + β = cos cos β sin sin β ; sin( + β = sin cos β + sin β cos. 8. Use o eercício anterior, onde se calculou o seno e o cosseno de π/ radianos, para calcular o seno e o cosseno de π/4 radianos. 9. Um ângulo θ o [π/, π] satisfaz a equação sin θ sin θ + = 0. Determine θ o e cos θ o. Solução. Como θ o satisfaz a equação sin θ sin θ + = 0, segue que sin θ o é raiz do polinômio z z +. Tendo em vista que z z + = ( ( / nós concluimos que sin θ o = ou sin θ o = /. Como sin θ o [, ], concluimos que sin θ o = /. Relemrando que θ o [π/, π] nós otemos θ o = π π 6 = π 6. Novamente, como θ o [π/, π] segue que cos θ 0 = / e o prolema está resolvido. 0. Mostre que sin( = sin 4 sin, R. Solução. Temos que sin( = sin( + = sin( cos + sin cos( = sin cos + sin (cos sin = sin cos + sin cos sin = sin cos sin, R.. Determine as soluções da inequação sin θ sin θ + < 0 no intervalo [0, π] dado em radianos. Solução. Como θ satisfaz a inequação sin θ sin θ + < 0, segue que sin θ satisfaz a inequação z z + < 0. Por outro lado, temos que z z + = ( ( /. Agora, oservamos que sin θ é sempre negativo. Logo a inequação só estará satisfeita para sin θ > /. Como θ [0, π] concluimos que π 6 < θ < π π 6 = π 6. π/6 π/6. Mostre que cos( = 4 cos cos, R. Solução. Temos que cos( = cos( + = cos( cos sin sin( = (cos sin cos sin cos sin = cos sin cos sin cos = cos sin cos = cos ( cos cos = cos cos + cos = 4 cos cos, R.

4 Números Compleos 4. Determine as soluções da inequação sin 4 θ sin θ + 6 cos θ + 0 sin θ > 4, no intervalo [0, π], saendo que o polinômio tem a seguinte decomposição = ( + ( (. ( Solução. Temos que tendo em vista a decomposição do polinômio (*. sin 4 θ sin θ + 6 cos θ + 0 sin θ > 4 sin 4 θ sin θ + 6( sin θ + 0 sin θ > 4 sin 4 θ sin θ 6 sin θ + 0 sin θ 8 > 0 (sin θ + (sin θ ( sin θ > 0, Como sin θ + > 0 e (sin θ > 0 resulta que a inequação só estará satisfeita quando sin θ > 0, isto é, sin θ > /. Como as soluções que procuramos estão restritas ao intervalo [0, π], segue que θ é solução da inequação em estudo quando π 6 < θ < π π 6 = π Determine as soluções da inequação sin 4 sin + 6 cos + 0 sin < 4 no intervalo [0, π] saendo que o polinômio tem a seguinte decomposição = ( + ( (. Solução. Temos que tendo em vista a decomposição do polinômio (*. sin 4 θ sin θ + 6 cos θ + 0 sin θ < 4 sin 4 θ sin θ + 6( sin θ + 0 sin θ < 4 sin 4 θ sin θ 6 sin θ + 0 sin θ 8 < 0 (sin θ + (sin θ ( sin θ < 0, Como sin θ + > 0 e (sin θ > 0 resulta que a inequação só estará satisfeita quando sin θ < 0, isto é, sin θ < /. Como as soluções que procuramos estão restritas ao intervalo [0, π], segue que θ é solução da inequação em estudo quando 0 θ < π 6 ou π π 6 = π 6 < θ π isto é, θ [0, π/6 (π/6, π].. Resolva as equações e determine quantos pontos essas soluções definem na circunferência trigonométrica. Marque esses pontos na circunferência trigonométrica. (a cos 6 = cos 4 ; ( sin( π = 6. Resolva: (a cos, R ( < sin <, [0, π]

5 Números Compleos ( π 7. Considere a equação cos =. (a Determine todas as suas soluções ; ( Determine as soluções no intervalo [ π, π]. 8. Responda às questões a seguir: ( π ( π (a cos + sin =? 4 4 ( cos(7 o < cos(4 o? (c Eiste algum ângulo positivo cuja cosseno vale? 9. Considere a equação e a inequação dadas a seguir: ( sin = cos ; 8 sin + cos 9 (. (a Determine todas as soluções de ( e eplicite aquelas que estão no intervalo [ π, π ] ; ( Resolva ( usando as identidades trigonométricas cos = + cos( e sin = cos(. ( Solução: Passemos a solução da equação (. (a Para resolver a equação ( elevamos amos os memros ao quadrado e otemos a seguinte equação: sin = cos. ( Resolvendo-a, otemos: sin = cos sin = ( sin sin = sin 4 sin = sin = /4 sin = ± /. Por outro lado, temos que (ai sin = / + kπ = ou β + kπ onde k Z ; sin = / π + kπ = ou π + kπ onde k Z. (aii sin = / γ + kπ = ou δ + kπ onde k Z ; sin = / π + kπ = ou π + kπ onde k Z. γ = π/ δ = π/ γ δ / Portanto, o conjunto solução da equação ( será: { ± π } { + kπ ; k Z ± π } + pπ ; p Z. Agora, precisamos saer quais dessas soluções são soluções de ( pois para passar da equação ( para a equação ( elevamos amos os memros de ( ao quadrado, o que pode ter introduzido soluções estranhas a equação (. Note que os ângulos da forma π + kπ tem seno positivo e cosseno negativo logo, não podem ser soluções de (. Por sua vez os ângulos da forma π + kπ tamém não podem ser soluções dessa equação pois possuem um seno negativo e um cosseno positivo.

6 Números Compleos 6 Os outros ângulos, soluções de (, possuem senos e cossenos com o mesmo sinal e portanto são soluções da equação (. Em resumo, o conjunto solução da equação proposta inicialmente será: { π } { + kπ ; k Z π } + pπ ; p Z. Agora que temos todas as solução, podemos determinar aquelas que estão no intervalo [ π, π ] : { } π as do conjunto + kπ ; k Z são : π + π/ (correspondendo a k = { } as do conjunto π + pπ ; p Z são : nenhuma. Nota: Oserve que: sin = cos tan =. Assim, resolver a equação sin = cos é o mesmo que resolver a equação tan = cuja solução é muito mais simples que aquela apresentada para a equação sin = cos. ( Passemos agora a solução da inequação Usando as identidades dadas em (4 temos: 8 sin + cos 9. ( 8 sin + cos 9 8 cos( + + cos( cos( cos( 9 Consequentemente, cos( cos( / [ ] + kπ, β + kπ k Z [ π + kπ, 4π ] + kπ. k Z 8 sin + cos 9 k Z [ π + kπ, π + kπ ]. β / = π/ β = 4π/ 0. Mostre, através de uma figura, que eiste um ângulo com medida entre π rd e π/ rd cuja tangente vale. Calcule o cosseno e o seno desse ângulo. Indique na figura o que for necessário indicar para que ela se torne clara.

7 Números Compleos 7 Solução: Consideremos o círculo trigonométrico e o eio das tangentes como mostrados na figura ao lado. Marquemos o ponto no eio das tangentes e tracemos a reta que passa por esse ponto e pela origem do sistema de coordenadas. O ângulo mostrado na figura tem sua medida compreendida entre π e π/ radianos. Além disso, sua tangente vale por definição de tangente. Essa construção mostra o que foi pedido na primeira parte da questão. Da identidade + tan = sec segue que: + = cos = cos cos =. Como é um ângulo do terceiro quadrante, concluímos que cos = ou seja cos =. tan = π < < π/ Da identidade cos + sin = segue que sin = cos = = 4. Novamente, como é um ângulo do terceiro quadrante, otemos: 4 sin = ou seja sin =. Esses cálculos respondem a segunda parte da questão.. Mostre, através de uma figura, que eiste um ângulo com medida entre π rd e 7π/ rd cujo cosseno vale /. Calcule o seno e a tangente desse ângulo. Indique na figura o que for necessário indicar, para que ela epresse suas idéias com clareza. Solução: O ângulo procurado deve satisfazer: < π = π π > 7π = 6π π = π π = π π π. Portanto, trata-se de um ângulo do segundo quadrante. Para mostrar, graficamente, que tal ângulo eiste, consideremos o círculo trigonométrico e marquemos no eio das acissas (eio dos cossenos o ponto /. Por esse ponto, tracemos a reta vertical (paralela ao eio das ordenadas. Tal reta intersecta o círculo trigonométrico em dois pontos. O ponto que possui ordenada positiva é etremidade de todos os arcos do segundo quadrante (com ponto inicial em (, 0 cujo cosseno vale /. Agora, tracemos a reta passando por esse ponto e pela origem do sistema de coordenadas. O ângulo procurado é mostrado na figura ao lado e tem sua medida compreendida entre 7π/ e π/ radianos. Além disso, seu cosseno vale / por definição de cosseno. Essa construção mostra o que foi pedido na primeira parte da questão. Da identidade sin + cos = segue que: }{{} cos sin = cos = 9 = 8 9 Como é um ângulo do segundo quadrante, concluímos que sin =. sin = ±. Da definição de tangente, segue que: tan = sin cos = ( / =.

8 Números Compleos 8 Esses cálculos respondem a segunda parte da questão.. Considere a equação e a inequação dadas a seguir: ( π ( tan 8 + ( = ; sin 0 8 (a Determine todas as soluções de ( e mostre que todas elas pertencem ao intervalo [, ] ; ( Resolva a inequação ( ; (c Determine o domínio da epressão ( sin. ( Solução: Passemos a solução da equação (. (a Temos que ( π tan 8 + = π = π + kπ 4 8 = π 4 π 8 + kπ 8 = π + kπ 8 8 = π + 8kπ 8 = onde k Z π( + 8k o que responde a primeira parte do item (a. Além disso, temos que < < π( + 8k para todo k Z já que o denominador da epressão acima satisfaz a condição π/4 π( + 8k > para todo k Z finalizando assim, a solução do item (a. ( Passemos agora a solução da inequação ( sin 0. Para resolvê-la, façamos: ( ( sin 0 sin [ ] β + kπ, + kπ k Z [ 7π 6 + kπ, π ] 6 + kπ k Z / β Consequentemente, ( sin 0 [ 7π + 6kπ, π ] + 6kπ k Z = π/6 β = 7π/6 o que responde o item ( da questão. O domínio da epressão ( sin é o conjunto dos números reais que satisfazem ao seguinte sistema de inequações { ( sin 0 0

9 Números Compleos 9 ou seja, é a parte positiva da solução da inequação sin ( / 0. Consequentemente, o domínio da epressão proposta é: { [ [ 0, π/ ] 7π + 6kπ, π ] } + 6kπ já que para cada inteiro k temos que e para k = 0 temos o intervalo [ 7π/, π/ ].. Esoce os gráficos das seguintes epressões: (a cos e + cos ; ( ( cos e cos π 4 ; (c cos e cos. k [ 7π + 6kπ, π ] + 6kπ (, 0 Em cada item, faça os dois gráficos num mesmo quadro. Para itens distintos use quadros distintos. Solução: Vamos construir os gráficos solicitados a partir do gráfico da epressão cos mostrado a seguir: Gráfico de cos π π/ π π/ π/ π π/ π (a O gráfico de + cos é otido transladando verticalmente de o gráfico do cosseno. Isso é mostrado no quadro a seguir onde apresentamos os gráficos das epressões cos (em vermelho e + cos (em azul. Gráficos de cos e de + cos π π/ π π/ π/ π π/ π ( ( O gráfico da epressão cos π 4 é otido transladando de π/4 o gráfico de cos na direção do eio das ( acissas. No quadro aaio mostramos os gráficos de cos (em vermelho e de cos π 4 (em azul. π/4 { }} { Gráficos de cos e de cos ( π/4 π/4 { }} { π/4 { }} { π/4 { }} { π π/ π π/ π/ π π/ π

10 Números Compleos 0 (c Note que { cos quando 0 cos = cos( quando 0 cos = { cos quando 0 cos quando 0 cos = cos para todo número real. Consequentemente, o gráfico da epressão cos coincide com o da epressão cos. 4. Considere a equação e a inequação dadas a seguir: ( (a Determine todas as soluções de ( ; ( Resolva a inequação (. ( π sin 9 + = ( ; ( tan Solução: Passemos a solução da equação (. (a Temos que: ( π sin 9 + = ( π sin 9 + = π 9 + π/ + kπ = ou π/ + kπ 4π/9 + kπ = ou 7π/9 + kπ = = (8k 4π 9 ou (8k 7π 9 9 (8k 4π ou 9 (8k 7π onde onde onde onde k Z k Z k Z k Z β / = π/ β = π/ o que responde o item (a. Note que o denominador não se anula para nenhum valor de k Z. ( Passemos agora a solução da inequação ( tan. Para resolvê-la, podemos fazer: β ( tan [ π 4 + kπ, π + kπ k Z k Z [ π 8 + kπ, π 4 + kπ = π/4 β = π/. Mostre, através de uma figura, que eiste um ângulo com medida entre π rd e π/ rd cuja tangente vale eatamente. Calcule o cosseno e o seno desse ângulo. Indique na figura o que for necessário indicar para que ela se torne clara.

11 Números Compleos Solução: Consideremos o círculo trigonométrico e o eio das tangentes como mostrados na figura ao lado. Marquemos o ponto de acissa no eio das tangentes e tracemos a reta que passa por esse ponto e pela origem do sistema de coordenadas. O ângulo mostrado na figura tem sua medida compreendida entre π e π/ radianos. Além disso, sua tangente vale por definição de tangente. Essa construção mostra o que foi pedido na primeira parte da questão. Da identidade + tan = sec segue que: + = cos = cos cos =. Como é um ângulo do terceiro quadrante, concluímos que cos = ou seja, cos =. tan = π < < π/ Da identidade cos + sin = segue que sin = cos = = 4. Novamente, como é um ângulo do terceiro quadrante, otemos: 4 sin = ou seja sin =. Esses cálculos respondem a segunda parte da questão. 6. Considere a equação e a inequação dadas a seguir: ( sin = cos ; 8 sin + cos 9 (. (a Determine todas as soluções de ( e eplicite aquelas que estão no intervalo [ π, π ] ; ( Resolva ( usando as identidades trigonométricas cos = + cos( e sin = cos(. (4 Solução: Passemos a solução da equação (. (a Para resolver a equação ( elevamos amos os memros ao quadrado e otemos a seguinte equação: sin = cos. ( Resolvendo-a, otemos: sin = cos sin = ( sin sin = sin 4 sin = sin = /4 sin = ± /. Por outro lado, temos que (ai sin = / + kπ = ou β + kπ onde k Z ; sin = / π + kπ = ou π + kπ onde k Z. / β = π/ β = π/

12 Números Compleos (aii sin = / γ + kπ = ou δ + kπ onde k Z ; sin = / π + kπ = ou π + kπ onde k Z. γ = π/ δ = π/ γ δ / Portanto, o conjunto solução da equação ( será: { ± π } { + kπ ; k Z ± π } + pπ ; p Z. Agora, precisamos saer quais dessas soluções são soluções de ( pois para passar da equação ( para a equação ( elevamos amos os memros de ( ao quadrado, o que pode ter introduzido soluções estranhas a equação (. Note que os ângulos da forma π + kπ tem seno positivo e cosseno negativo logo, não podem ser soluções de (. Por sua vez os ângulos da forma π + kπ tamém não podem ser soluções dessa equação pois possuem um seno negativo e um cosseno positivo. Os outros ângulos, soluções de (, possuem senos e cossenos com o mesmo sinal e portanto são soluções da equação (. Em resumo, o conjunto solução da equação proposta inicialmente será: { π } { + kπ ; k Z π } + pπ ; p Z. Agora que temos todas as solução, podemos determinar aquelas que estão no intervalo [ π, π ] : { } π as do conjunto + kπ ; k Z são : π + π/ (correspondendo a k = { } as do conjunto π + pπ ; p Z são : nenhuma. Nota: Oserve que: sin = cos tan =. Assim, resolver a equação sin = cos é o mesmo que resolver a equação tan = cuja solução é muito mais simples que aquela apresentada para a equação sin = cos. ( Passemos agora a solução da inequação Usando as identidades dadas em (4 temos: 8 sin + cos 9. (6 8 sin + cos 9 8 cos( + + cos( cos( cos( 9 Consequentemente, cos( cos( / [ ] + kπ, β + kπ k Z [ π + kπ, 4π ] + kπ. k Z 8 sin + cos 9 k Z [ π + kπ, π + kπ ]. β / = π/ β = 4π/ 7. Considere a função sin : [ π/, π/ ] [, ].

13 Números Compleos (a Mostre que ela é ijetora. Agora, denotemos sua inversa por Arcsin. Assim, Arcsin: [, ] [ π/, π/ ] Arcsin(. ( Calcule Arcsin(0 ; Arcsin(/ ; Arcsin( / ; Arcsin( / e represente cada um desses ângulos (dados em radianos no círculo trigonomérico (faça uma figura para cada ângulo ; (c Nas figuras a seguir, dá-se um ponto [, ], no eio, e pede-se para representar na figura o Arcsin( ; (d Represente nas figuras acima o arcsin( ; (e Mostre que Arcsin( = π arcsin( para todo [, ]. (f Faça o gráfico de Arcsin. 8. Considere a função cos : [ π, π ] [, ]. (a Mostre que ela é ijetora. Agora, denotemos sua inversa por Arccos. Assim, Arccos: [, ] [ π, π ] Arccos(. ( Calcule Arccos(0 ; Arccos(/ ; Arccos( / ; Arccos( / e represente cada um desses ângulos (dados em radianos no círculo trigonomérico (faça uma figura para cada ângulo ; (c Nas figuras a seguir, dá-se um ponto [, ], no eio, e pede-se para representar na figura o Arccos( ; (d Represente nas figuras acima o arccos( ; (e Determine a relação entre Arccos e arccos( para todo [, ]. (f Faça o gráfico de Arccos. 9. Considere a função cot : ( 0, π R (cotangente. (a Mostre que ela é ijetora. Agora, denotemos sua inversa por arccot. Assim, arccot: R ( 0, π arccot(. ( Calcule arccot(0 ; arccot(/ ; arccot( / ; arccot( / e represente cada um desses ângulos (dados em radianos no círculo trigonomérico (faça uma figura para cada ângulo ;

14 Números Compleos 4 (c Nas figuras a seguir, dá-se um ponto R, marcado no eio da cotangente, e pede-se para representar na figura o arccot( ; (d Qual o comportamento de arccot no infinito? Isto é, calcule: (e Faça o gráfico de arccot ; lim arccot( e lim arccot( ; + (f Agora, considere a função cot : ( π, π R que, tamém, é uma aplicação ijetora. Denotemos sua inversa por Arccot. Assim, Arccot: R [ π, π ] Arccot(. (g Calcule Arccot(0 ; Arccot(/ ; Arccot( / ; Arccot( / e represente cada um desses ângulos (dados em radianos no círculo trigonomérico (faça uma figura para cada ângulo ; (h Nas figuras acima, dá-se um ponto R, marcado no eio da cotangente, e pede-se para representar na figura o Arccot( ; (i Qual o comportamento de Arccot no infinito? Isto é, calcule: (j Faça o gráfico de Arccot ; lim Arccot( e lim Arccot( ; + (k Determine a relação entre Arccot( e arccot( para todo R. (l Faça o gráfico de Arccot. 40. Considere a função sec : [ 0, π/ ( π/, π ] (, ] [,. (a Mostre que ela é ijetora. Agora, denotemos sua inversa por arcsec. Assim, arcsec: (, ] [, [ 0, π/ ( π/, π ] arcsec(. ( Calcule, caso faça sentido: arcsec( ; arcsec(0 ; arcsec( ; arcsec( ; arcsec( / e represente cada um desses ângulos (dados em radianos no círculo trigonomérico (faça uma figura para cada ângulo ; (c Qual o comportamento de arcsec no infinito? Isto é, calcule: (d Faça o gráfico de arcsec. lim arcsec( e lim arcsec( ; + 4. Considere a função tan : ( π/, π ( π, π/ (, 0 ( 0,. (a Esoce seu gráfico ; ( Mostre que ela é ijetora. Agora, denotemos sua inversa por Arctan. Assim, Arctan: (, 0 ( 0, ( π/, π ( π, π/ Arctan(.

15 Números Compleos (c Calcule, caso estejam em definidos, Arctan(0 ; Arctan( ; Arctan( ; Arctan( e represente cada um desses ângulos (dados em radianos no círculo trigonomérico (faça uma figura para cada ângulo ; (d Nas figuras a seguir, dá-se um ponto (, 0 ( 0,, no eio da tangente e pede-se para representar na figura o Arctan( ; (e Qual o comportamento de Arctan no infinito? Isto é, calcule: lim Arctan( e lim Arctan( ; + (f Faça o gráfico de Arctan. 4. Mostre que: (a arcsin(sin θ = θ para todo θ [ π/, π/ ] ; ( sin(arcsin = para todo [, ] ; (c arctan(tan θ = θ para todo θ ( π/, π/ ; (d tan(arctan = para todo R ; (e arccos(cos θ = θ para todo θ [ 0, π ] ; (f cos(arccos = para todo [, ]. (g Seguindo a linha do que foi dito acima, o que se pode dizer de cot(arccot? E de arccot(cot θ? 4. Resolva as seguintes equações em R, onde os ângulos são dados em radianos. (a arcsin = π/ ; ( arcsin ( = π/ ; (c arccos ( = π/4 ; (d arctan ( = π/ ; 44. Resolva as seguintes inequações em R, onde os ângulos são dados em radianos. (a arccos < π/4 ; ( arccos ( < π/4 ; (c arctan > π/ ; (d arctan ( > π/ ; (e arcsin < π/6 ; (f arctan ( < π/6. 4. Considere a função