Lista 9. (b) π 2 + x (c) π + x (d) 3π 2
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- Yasmin Bentes
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1 Lista 9 Funções Trigonométricas I - Calculando o valor de uma função trigonométrica para um ângulo qualquer reduzindo-a a uma função trigonométrica de um ângulo agudo. 1. Expresse cada uma das expressões abaixo como função de seu ângulo agudo associado e de o seu valor. (a) sin( 7π 6 ) (b) cos 15π tan( 8π 3 ) (d) tan 33π (e) sin 0 (f) cos( 135 ) (g) tan 330 (h) sin 95. Expresse cada uma das expressões abaixo como função de seu ângulo agudo co-relacionado e de o seu valor. (a) cos 11π 6 (b) sin( 7π 6 ) sin 0 (d) tan( 5π 3 ) (e) tan 510 (f) cos( 315 ) 3. Simplifique (assuma x é ângulo agudo) (a) cos x + cos(π x) cos(π + x) cos( x) (b) tan x+tan(π x)+cot( π x) tan(π x) sin(π + x) + cos( π x) + tan( π + x) + tan( 3π x) (d) sin( π x) + sin(π x) + sin( 3π x) + sin(π x). Determine a cosecante, secante e cotangente de cada um dos ângulos abaixo, expressando-a em termos da cosecante, secante e cotangente de x. (a) π x (b) π + x π + x (d) 3π + x 5. Simplifique (a) sin(x π) (b) cos(x π ) tan( x π) 6. Determine (a) sec(π + π 3 ) (b) csc( 3π π 6 ) cot( π + π 3 ) (d) sec( 3π ) (e) csc( 3π π ) (f) cot( π + π ) 7. Simplifique (a) (b) cos(π + x) cos( π + x) cos(π x) sin(x π ) cos(π x) sin( 3π x) sec(π + x) + tan(x 3π ) tan(π + x) 8. Se A, B, C são ângulos de um triângulo mostre que sin B = sin(a + C). II - Fórmulas de adição e subtração 9. Expresse como uma única função trigonométrica. (a) cos a cos a sin a sin a (b) cos x cos x + sin x sin x sin 5 cos cos 5 sin (d) sin m cos m + cos m sin m (e) tan a+tan 3a 1 tan a tan 3a (f) tan 7 tan 9 1+tan 7 tan 9 (g) cos x sin x (h) sin a cos a + cos a sin a
2 (i) tan x+tan x 1 tan x (j) cos + sin 10. Determine os valores das expressões abaixo usando as fórmulas de adição e subtração (a) sin 11π (b) cos 13π tan( 7π ) (d) tan( 5π ) (e) sin 75 (f) cos( 15 ) 11. Encontre o valor de cada expressão (a) sin( π π 3 ) (b) cos( π 6 π ) tan( 3π + π 3 ). Se x e y estão no intervalo (0, π ) e sin x = 3 5 e cos y = 13, determine cada uma das expressões abaixo (a) sin(x y) (b) cos(x y) tan(x + y) 13. Se x está no intervalo ( π, π) e y está no intervalo (π, 3π ) e cos x = 5 13 e tan y = 3 determine cada uma das expressões abaixo (a) sin(x + y) (b) cos(x y) tan(x y) 1. Encontre o valor exato de cada expressão abaixo. (a) sin 50 cos 0 cos 50 sin 0 (b) cos π 7 cos π 1 sin π 7 tan 7 +tan 8 1 tan 7 tan 8 (d) sin 5π 36 5π 5π cos 18 + cos 36 sin π 1 sin 5π Usando as fórmulas de soma e subtração para seno, coseno e tangente mostre que (a) sin(π + x) = sin x (b) tan(π x) = tan x cos( 3π (d) sin( 3π + x) = sin x x) = cos x (e) cos( π + x) = sin x (f) sin(x π) = sin x (g) tan( x π) = tan x 16. Mostre que (a) sin x + sin y = cos x y sin x+y (b) sin x sin y = cos x+y sin x y cos x + cos y = cos x+y cos x y (d) cos x cos y = sin x+y sin x y 17. Expresse cada uma das expressões abaixo como um produto, depois simplifique [Sugestão: Use o exercício anterior]. (a) sin 60 + sin 0 (b) cos 70 cos 110 cos 0 + cos 80 (d) sin 6x sin x (e) sin 130 sin 0 (f) cos x cos x 18. Simplifique (a) (b) sin(x 30 ) + cos(60 x) sin x tan( π x) tan( π + x) tan x cos x + cos 3x sin x sin 3x 19. Se sin x = 1 3, π < x < 3π e cos y = 5, 3π < y < π, determine o valor de sec(x y). 0. Expresse csc(x + y) em termos de secantes e cosecantes de x e y. 1. Desenvolva uma fórmula para sin(x + y + z). [Sugestão: Considere sin((x + y) + z)]
3 . Se x, y, z são ângulos no segundo quadrante e cos x = 1 3, sin y = 1, sin z = 1 5 determine o valor de cos(x + y z). 3. Se sin x sin y = 1 e cos x cos y = 3 mostre que (a) sin(x + y) = 7 3 sin x cos x (b) cos(x + y) = 7 cos x 6 3. Se sin(x y) = sin(x + y) mostre que tan x = 3 tan y. 5. Se tan( π + x) = 3 tan( π x) determine o valor de tan x. 6. Simplifique (a) cos( 3π + x) + sin( 3π x) (b) cos( π x) sec π sin( π x) csc π sin(x y) cos x cos y + sin(z x) cos z cos x + sin(y z) cos y cos z III - Formulas envolvendo duplicação do ângulo 7. Use as expressões envolvendo duplicação do ângulo para reescrever cada uma das expressões abaixo (a) cos (x) (b) sin 3x tan 6x (d) sin 1 x (e) cos 3 x (f) tan( 7x) 8. Reduza as expressoes a seguir a uma função que seja seno ou coseno (a) sin 3θ cos 3θ (b) 6 sin θ cos θ 1 sin θ cos θ (d) cos 3θ sin 3θ (e) 1 sin θ (f) cos ( 7 θ) 1 (g) 8 sin θ (h) 1 sin ( π x ) 9. Determine sin θ e cos θ sabendo que cos θ = 5, π θ π. 30. Determine sin θ e cos θ sabendo que sin θ = 13, 0 θ π. 31. Determine sin θ sabendo que sin θ = 3, 0 θ π. 3. Determine csc θ e sec θ sabendo que cos θ = 5, 3π θ π 33. Determine tan a sabendo que tan a = 1, 0 a π. 3. Determine tan a sabendo que tan a =, π a 3π. 35. Obtenha fórmulas para (a) sin 3θ em termos de sin θ (b) cos 3θ em termos de cos θ tan 3θ em termos de tan θ (d) cos θ em termos de cos θ 36. Encontre o valor exato. (a) sin 67 1 (b) cos 1 1 tan.5 (d) sin( π 8 ) (e) cos π 16 (f) tan (a) Expresse sin θ (b) Expresse cos θ Expresse tan θ 38. Se cos x = 13 e x (π, 3π ), determine (a) sin x (b) cos x tan x 39. Expresse sin θ e cos θ em termos de tan θ. 0. Expresse 1 cos x sin x em termos de tan x.
4 1. Expresse 1 tan x 1+tan x como uma função trigonométrica de x.. Se cos θ + sin θ = 3, determine sin θ. 3. Se cos θ + sin θ = 1+ 3 e cos θ sin θ = 1 3 determine o valor de sin θ.. Se a + b = π, mostre que cos a = ± 1+sin b. 5. Se tan a = 1 5 e tan b = 1 39, determine o valor de tan(a b). 6. Se sec θ sec θ =, determine o valor de cos θ, 0 < θ < π. 6. tan(x y)+tan y 1 tan(x y) tan y = tan x 65. sin 5x = sin x (cos x sin x) + cos x cos x sin x As identidades a seguir envolvem ângulos relacionados e co-relacionados. 66. sin( π x) cot( π + x) = sin x 67. cos( x) + cos(π x) = cos(π + x) + cos x 68. sin(π x) tan(π + x) cot( π x) cos(π x) tan( π + x) = sin x sin( x) 7. Simplifique sin ( π 8 + θ ) sin ( π 8 θ ). IV - Identidades trigonométricas 8. sin x tan x = sec x cos x 9. cos x sin x = 1 sin x 50. csc x + sec x = csc x sec x 51. cos x cos y + sin x sin y + sin x cos y + sin y cos x = 1 5. sec x sec y = tan x tan y sin( x) sin(π + x) tan( π + x) cos x + cot x sin( π + x) = 3 csc(π x) sec(π + x) cos( x) cos( π + x) = cot x cos( π + x) sec( x) tan(π x) sec(π + x) sin(π + x) cot( π = 1 x) 53. tan x+tan y cot x+cot y = tan x tan y 5. (sec x cos x)(csc x sin x) = tan x 1+tan x 55. cos 6 x + sin 6 x = 1 3 sin x + 3 sin x 56. sec 6 x tan 6 x = tan x sec x As identidades a seguir envolvem a fórmula de adição e subtração cot x tan y = sin(x+y) sin x cos y 58. cos(x + y) cos y + sin(x + y) sin y = cos x 59. sin x tan y cos x = sin(x y) cos y 60. cos( 3π + x) + sin( 3π x) = tan( π + x) tan( π x) tan( π + x) + tan( π = sin x cos x x) 6. sin(x + y) sin(x y) = cos y cos x 63. tan(x + y) tan(x y) = sin x sin y cos x sin y 7. sin(π x) cos(π + x) tan(π x) sec( π + x) csc( 3π x) cot( 3π + x) = sin x sin x As identidades a seguir envolvem a fórmula de ângulo duplo 73. sin x 1+cos x = tan x 7. 1+cos x sin x = cot x 75. csc x = sec x csc x 76. cot x = cot x tan x 77. cos x 1+sin x = tan( π x) cos x sin x 78. cos x+sin x = sec x tan x cos x+sin x 1+cos x+sin x = tan x 80. cos 6 x sin 6 x = cos x (1 1 sin x) 81. (cos 6 x + sin 6 x) = cos x 8. sec x tan x = tan( π x )
5 83. sin x 1+cos x cos x 1+cos x = tan x As identidades a seguir envolvem o uso de fórmulas e relações diversas 8. sin x + cos x = cos x + sin x 85. tan x cot x = (tan x 1)(cot x + 1) 86. cos x = sin x tan x cot 3 x 87. (sin x + cos x)(tan x + cot x) = sec x + csc x 88. sin x + cos x = sin x (csc x cos x) 89. sin 3 x + cos 3 x = (1 sin x cos x)(sin x + cos x) 90. cos( π x) sec π sin( π x) csc π = sin x 91. tan(x y) + tan(y z) = = sec y (tan x tan z) (1+tan x tan y)(1+tan y tan z) 9. sin 8x = 8 sin x cos x cos x cos x 93. sin x = 1 sin ( π x ) 9. sin(x + y) + sin(x y) = sin x cos y 95. sin(x y) sin(y z) sin(z x) + + sin x sin y sin y sin z sin z sin x = 0 tan x = 1 (d) sec x = (e) sin x = 1 (f) cos x = Resolva as equações para x no intervalo [ π, 0] (a) cos x = 1 (b) tan x = tan x sin x sin x = (d) sin x = 3 (e) ( csc x 1) = Resolva as equações para x nos intervalos especificados (a) sin x sin x tan x = 0, x [0, π] (b) sin x tan 3x = 0, x [ π, 0] 6 sin x 5 cos x = 0, x [0, π] (d) sin x + tan x = 0, x [ π, π] (e) cos x 3 sin x = 1, [ π, π] (f) tan x = sec x, [ π, 0] 107. Resolva para x 96. tan x + tan(π x) + cot( π + x) = tan(π x) 97. sin( π + x) cos(π x) cot( 3π + x) = sin( π x) sin( 3π x) cot( π + x) 98. tan( π x) cot( 3π x) + tan(π x) cot(π x) = sec x tan x 99. tan(x+y+z)= tan x+tan y+tan z tan x tan y tan z 1 tan x tan y tan x tan z tan y tan z (a) cos x = cos x, π x π (b) sin x = cos x, π x π cos x sin x cos x sin x = 0, x π (d) tan x = 8 cos x cot x, 0 x π (e) tan x + sec x = 1, π < x < π (f) (sin x + cos x) = 1, π x π csc ( π x) = 1 + sin x csc ( π x) 101. tan( π + x) + tan( π x) = sec x sin x cos x = cos x 1+sin x sin x 1 cos x cos x cos x = tan x IV - Equações trigonométricas 10. Resolva as equações para x no intervalo [0, π] (a) sin x = 3 (b) cos x = Resolva a equação tan x cos x + sin x tan x tan x = 0 com x < π 109. Determine os valores de sin x e cos x sabendo que tan x = Se x sin A+y cos A = p e x cos A y sin A = q, encontre x + y Se sin A + cos A = p e tan A + cot A = q mostre que q(p 1) =.
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