AULAS DE TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS

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1 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS FACULDADE DE MATEMÁTICA AULAS DE TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA PARFOR PROFESSOR: ALUNO(A): PERÍODO DA DISCIPLINA: / / a / / LOCAL: SANTANA DO ARAGUAIA-PA CONTATO COM A COORDENAÇÃO DO CURSO: mat.parfor@unifesspa.edu.br

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS FACULDADE DE MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS Marabá Novembro 016 1

3 Conteúdo 0.1 Noções Básicas Semi-Reta Ângulo Angulo nulo ou ângulo raso Interior de ângulo Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes Comparação de ângulos Soma de ângulos Unidades de medida de ângulos Ângulos suplementares Angulo reto Ângulo agudo e ângulo obtuso Ângulos complementares Triângulo Triângulo retângulo: conceito, elementos, Pitágoras Triângulo retângulo: razões trigonométricas Exercícios Relações entre seno, cosseno, tangente e cotangente Relação Fundamental Exercícios Razões Trigonométricas especiais Razões do ângulo de Razões do ângulo de

4 0.6.3 Razões do ângulo de Exercícios Arcos na circunferência Medidas de arcos Unidades Exercícios resolvidos Medidas de ângulos Ciclo trigonométrico Exereícios Seno, Cosseno e Tangente Seno Cosseno Tangente Exercícios Relações Fundamentais Exercícios Resolvidos Exercícios Redução do o ao 1 o quadrante Redução do 3 o ao 1 o quadrante Redução do 4 o ao 1 o quadrante Exercícios Noções Básicas Funções Periodicas Função Seno Gráco Função Cosseno Gráco Função tangente Gráco Exercícios

5 0.7.1 Cosseno da soma Cosseno da diferença Seno da soma Seno da diferença Tangente da soma Tagente da diferença Cotangente da soma Cotangente da soma Exercícios Introdução Operações com pares ordenados O Conjunto dos números complexos Descobrindo que os reais são complexos Unidade imaginária Forma algébrica Exercícios resolvidos As pontências de i Conjugado de um número compexo Argumento de um número complexo Forma trigonométrica Operações na forma trigonométrica Potenciação de números complexos Exercícos Bibliograa 63 4

6 Introdução Os problemas métricos da Geometria podem ser resolvidos por dois processos: o processo gráco e o processo analítico. No segundo caso os elementos desconhecidos, são determinados pelos conhecidos, por meio de cálculo; no primeiro caso mediante construções grácas, com emprêgo de instrumentos de desenho, tais como régua, compasso, transferidor, etc. Para determinar, por exemplo, os elementos de um triângulo, denido pelos elementos necessários que estudamos na Geometria Plana, será suciente, feita a construção do triângulo e dos elementos necessarios correspondentes com auxilio da régua e compasso, medir com uma régua graduada os elementos lineares que dejesamos conhecer, e com o transferidor, os ângulos. É claro, pois, que a exatidão das medidas efetuadas dependem em grande parte, da precisão dos instrumentos de desenho utilizados na construção e da habilidade de seu emprêgo. É evidente que a exatidão dos resultados é limitada, sendo insuciente em grande número de problemas de Cálculo, Astronomia, Geodesia, etc. A resolução analítica, por exemplo, de um triângulo consiste em determinar os elementos desconhecidos em função dos elementos dados ou conhecidos, mediante o emprêgo de relações matemáticas conhecidas. A Trigonometria tem, portanto, por objetivo o estudo das funções circulares ou trigonométricas e a resolução dos triângulos por meio de cálculo. A Trigonometria pode se dividida em três partes a saber: 1 a ) estudos das funções circulares ou trigonométricas e fórmulas que as relacionem. a ) trigonometria retilínea, que trata da resolução analitica de triângulos retílineos. 3 a trigonometria esférica que trata da resolução analitica dos triângulos esféricos. 5

7 Revisão de Geometria Plana 0.1 Noções Básicas Faremos uma breve revisão de alguns conceitos e resultados de geometria plana, o quais nos possibilitarão no decorrer do curso Semi-Reta Denição Semi-reta é cada uma das partes em que uma reta ca divida por um de seus pontos Ângulo Denição 0.1. Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem mas não contidas na mesma reta. No ângulo AÔB acima temos os seguintes elementos: a) lados do ângulo: OA e OB; b) vértice do ângulo: O. 6

8 0.1.3 Angulo nulo ou ângulo raso Em particular se Oa e Ob coincidem, dizemos que elas determinam um ângulo nulo. Se as semi-retas são opostas, dizemos que determinam dois ângulos rasos Interior de ângulo Denição Interior de ângulo é a intersecção de dois semiplanos abertos, a saber: α com origem na reta OA e que comtém o ponto B e β com origem na reta OB e que contém o ponto A. Interior de AÔB = α β Observação: Os pontos do interior de um ângulo são pontos internos ao ângulo. Denição Exterior de ângulo do ângulo AÔB é o conjunto dos pontos que não pertecem ao ângulo AÔB nem ao seu inteior. Observação: Os pontos do exterior de um ângulo são pontos externos ao ângulo Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes Dois ângulos são consecutivos se um lado de um deles é também lado do outro. 7

9 Neste caso, em particular, os ângulos são adjacentes porque não tem pontos internos comuns Comparação de ângulos Dados dois ângulos a Bc e dêf, podemos transportar o ângulo dêf sobre a Bc, de tal forma que a semi-reta Ed coincida com a semi-reta Ba. Desse modo, seurgem três hipóteses: 1 a ) Ef é a semi-reta interna a a Bc. Então a Bc > dêf. a ) Ef é a semi-reta externa a a Bc. Então a Bc < dêf. 3 a ) Ef coincide com Bc. Então a Bc dêf. Neste caso, os ângulos a Bc e dêf se dizem congruentes. 8

10 0.1.7 Soma de ângulos Dados dois ângulos a Bc e dêf, transportamos dêf de tal forma que Ed Bc e Ef seja externa a a Bc, isto é, que a Bc e dêc sejam adjacentes. O ângulo a Bf obtido chama-se o ângulo soma de a Bc e dêf Unidades de medida de ângulos Consideremos um ângulo raso AÔB. Podemos dividir esse ângulo em 180 partes iguais. Chama-se ângulo de 1 ao ângulo que corresponde a Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. do ângulo raso. Um minuto (1 ) é o ângulo correspondente a 1 60 do ângulo de um grau. 1 = 1 60 Um segundo (1 ) é o ângulo correspondente a 1 60 do ângulo de um minuto. 1 =

11 0.1.9 Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas é 180. Um deles é o suplemento do outro. Os ângulos AĈD e DĈB são suplementares Angulo reto Se dois ângulos são adjacentes, suplementares e têm medidas iguais, então cada um deles é chamado ângulo reto e sua medida é Ângulo agudo e ângulo obtuso O ângulo que mede menos que 90 é chamado ângulo agudo. Chama-se obtuso o ângulo cuja medida está entre 90 e

12 0.1.1 Ângulos complementares Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma de suas medidas é 90. Um deles é o complemento do outro Triângulo Três pontos A, B e C, não colineares, determinam três segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC é chamada de triângulo ABC. No triângulo acima temos ABC = AB BC AC. Os elementos que compoem um triângulo são: a) vérices: A, B, C b) lados: AB, BC, AC c) ângulos internos: BÂC, A BC, AĈB. 11

13 Razões Trigonométricas de um Ângulo Agudo Objetivos Ao nalizar a presente aula, o discente estará capaz de: Determinar os valores das razões trigonométricas de um ângulo agudo. Conhecer as relações entre os lados dos triângulos, cujos ângulos são: 30, 45, 60, assim como o valor de suas razões trigonométricas. Resolver triângulos retângulos, relacionando lados e ângulos e aplicá-los a situaçõe práticas. 0. Triângulo retângulo: conceito, elementos, Pitágoras Sabemos da Geometria Plana que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto. Vamos utilizar a notação seguinte para os elementos de um triângulo ABC, a saber: a) lados: AB, BC, AC b) ângulos internos: BÂC, A BC, AĈB c) medidas dos lados: b = medida de BC, b = medida de AC, c = medida de AB d) medida dos ângulos: Â = medida de BÂC, B = medida de A BC, Ĉ = medida de AĈB. 1

14 Sabemos que o lado BC oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa e os lados AB e AC, adjacente ao ângulo reto, são chamados catetos do triângulo ABC. Teorema 0..1 (Teorema de Pitágoras) Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos seus catetos. 0.3 Triângulo retângulo: razões trigonométricas Dado um ângulo agudo B, vamos marcar sobre um de seus lados os pontos A 1, A, A 3,... e vamos conduzir, por eles, as perpendiculares A 1 C 1, A C, A 3 C 3,... Os triângulos BA 1 C 1, BA C, BA 3 C 3,...,etc, são todos semelhantes entre si. Então, 1 o ) A 1C 1 = A C = A 3C 3 = BC 1 BC BC 3 (xado B, o cateto oposto a B e a hipotenusa são diretamente proporcionais). o ) BA 1 = BA = BA 3 = BC 1 BC BC 3 (xado B, o cateto adjacente a B e a hipotenusa são diretamente proporcionais). 3 o ) A 1C 1 = A C = A 3C 3 = BA 1 BA BA 3 (xado B, o cateto oposto e adjacente a B são diretamente proporcionais). 4 o ) BA 1 = BA = BA 3 = A 1 C 1 A C A 3 C 3 (xado B, os cateto adjacente e oposto a B são diretamente proporcionais). onde A 1 C 1 = medida de A 1 C 1, BC 1 = medida de BC 1, A C = medida de A C, etc. Vericamos que as reações acima não dependem do tamanho dos triângulos BA 1 C 1, BA C, BA 3 C 3,..., mas dependem somente do valor do ângulo B. Desse modo, considerando um triâgulo retângulo e xando um ângulo agudo B, temos que: 13

15 1 o ) Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. sin B = b a o ) Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. cos B = c a 3 o ) Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. sin B = b c 4 o ) Cotangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto. sin B = c b Exercícios Exercício Dado o triângulo ABC retângulo em  calule: a) sin B b) cos B c) tan B d) cot B e) sin Ĉ f) cos Ĉ. Exercício 0.3. Calcule as razões trigonométricas seno, cosseno, tagente e cotangente dos ângulos agudos do triângulo retângulo em que os catetos mede 3 e a hipotenusa 3. Exercício Num triângulo ABC reto em A, determine as medidas dos catetos, sabendo que a hipotenusa vale 50 e sin B =

16 Exercício Na gura abaixo, a hipotenusa mede 17 e cos B = 51. Calcule os 17 catetos. Exercício Seja ABC um triângulo retãngulo em A. São dados tan B = 5 e hipotenusa a = 6. Calcule os catetos b e c. 0.4 Relações entre seno, cosseno, tangente e cotangente Relação Fundamental Considere o triângulo retângulo ABC. Temos que sin B = b a = b = a sin B e cos B = c a = c = a cos B Pelo Teorema de Pitágoras, temos a = b + c. Então, b + c = (a sin B) + (a cos B) = a. sin B + a. cos B Daí, teremos a = a (sin B + cos B) 15

17 Logo, Consideremos a razão Assim, Logo, sin B cos B. sin B cos B = sin B + cos B = 1. b a c a = b a a c = b c = tan B tan B = sin B cos B Consideremos a razão Assim, isto é, cos B sin B. cos B sin B = c a b a = c a a b = c b = cot B cot B = cos B sin B Podemos vericar facilmente que cot B = 1 tan B. 0.5 Exercícios Exercício Calcule o cosseno, tangente e cotagente do ângulo B, quando: a) sin B = 3 5 b) sin B = 3 c) sin B = 0, 57 d) sin B = 0, 95. Exercício 0.5. Sabendo que B e quando: Ĉ são complementares, calcule cos Ĉ, tan Ĉ e cot Ĉ, 16

18 a) cos B = 0, 57 b) cos B = 5 6 c) cos B = 3 5 d) cos B = 0, Razões Trigonométricas especiais Razões do ângulo de 45 Consideremos um triângulo retãngulo isósceles, com catetos de medida 1cm. Temos que  = 90, B = Ĉ = 45, b = c = 1. Pelo Teorema de Pitágoras tem-se a =. Assim, i) sin B = b a = sin 45 = 1 = ii) cos B = c a = cos 45 = 1 = iii) tan B = b c = tan 45 = 1 1 = 1 iv cot B = c b = cot 45 = 1 1 = Razões do ângulo de 30 Considere um triângulo equilátero ABC de lado l. Então  = B = Ĉ =

19 Seja CM a mediana relativa ao lado AB. Da Geometria Plana sabemos que, no triângulo equilátero, CM é mediana, altura e bissetriz. Portanto, no M BC, temos Então M = 90, Ĉ = 30, c = l e b = h = l 3. (i) sin Ĉ = c l = sin 30 = 1 (ii) cos Ĉ = b 3 l = cos 30 = (iii) tan Ĉ = c b = tan 30 = 1 3 = 3 (iv) cot Ĉ = b 3 c = cot 30 = 1 = Razões do ângulo de 60 Considerando no triângulo MBC, B = 60 e Ĉ = 30 são ângulos complementares, temos (i) sin B = cos Ĉ = b l = sin B 3 = sin 60 = (ii) cos B = sin Ĉ = c l = cos B = cos 60 = 1 (iii) tan B = b c = tan B = tan 60 = 3 (iv) cot B = c b = cot B 3 = cot 60 = 3 Essas razões trigonométricas podem ser dipostas numa tabela, a saber: Razão seno cosseno tangente Exercícios Exercício No triângulo ABC retãngulo em A, B = 35 e c = 4cm. Quais os valores do outro cateto e da hipotenusa? Exercício 0.6. Calcule os lados de um triângulo retângulo, sabendo que a altura relativa a hipotenusa é h = 4 e um ângulo agudo é B =

20 Exercício Calcule os lados de um triângulo retângulo, sabedo que a altura relativa a hipotenusa mede 4 e forma um ângulo de 15 com o cateto b. Dados: sin 75 = e cos 75 = 6 4. Exercício Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento máximo de 5m, formando um ângulo de 70 com a base, que está apoiada sobre um camininhão, a m do solo. Qual é a altura máxima que a escada atinge? Exercício Um observador vê um prédio, construido em terreno plano, sob um ângulo de 60. Afastando-se do edicio mais 30m, passa a ver o edifício sob ângulo de 45. Qual é a altura do prédio? Exercício Calcule a distância entre os parapeitos de duas janelas de um aranha-céu, conhecendo os ângulos α e β sob os quais são observados de um ponto O do solo, a distância d do prédio. 19

21 Arcos e Ângulos Objetivos Ao nalizar esta aula, o discente será capaz de: Conhecer a medida de um ângulo. Conhecer o cálculo de comprimento de arcos da circunferência e suas diversas aplicações Arcos na circunferência Denição Consideremos uma circunferência de centro O e um ângulo central AÔB, sendo A e B pontos que pertencem aos lados do ângulo e à circunferência. A cincuferência ca dividida em duas partes, cada uma das quais é um arco de circunferência: arco de cirncuferência ÂXB e arco de cirncuferência ÂY B, onde A e B são extremidades do arco. Se A e B são extremidades de um diâmetro, temos dois arcos, cada um dos quais é chamado semicircunferência. 0

22 Em particular se os pontos A e B coincidem, eles dererminam dois arcos: um deles é um ponto e o outro é a circunferência Medidas de arcos Caso queremos comparar os tamanhos de dois arcos ÂB e ĈD, somos levados a estabelecer um método que permita saber qual deles é o maior ou se são iguais. Este problema é resolvido estabelecendo-se um método para medir arcos. Medida de um arco ÂB em relação a um arco unitario u(u não nulo e de mesmo raio que ÂB) é o número real que exprime quantas vezes o arco u cabe no arco ÂB. Assim, na gura abaixo, o arco u cabe 6 vezes no arco ÂB, então a medida do arco ÂB é 6, isto é, arco ÂB = 6.arco u Unidades Para evitar as confusões ocorreriam se cada um escolhesse uma unidade u para medir o mesmo arco ÂB, limitamos as unidades de arco a apenas duas: o grau e o radiano. 1

23 Denição 0.6. Grau(simbolo ) é um arco unitário igual a 1 da circunferência que contém 360 o arco a ser medido. Considerando a gura abaixo, vericamos que AÔB é um ângulo central e ÂB é o arco correspondente ao ângulo central AÔB. Tomando-se para unidades de arco (arco unitário) denido por um ângulo entral unitário (unidades de ângulo), temos "A medida(em graus) de um arco de circunferência é igual a medida do ângulo central correspondente". Notamos que a medida(em graus) de um arco não depende do raio da circunferência, como vemos na gura abaixo: Denição Radiano (simbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o raio a ser medido.

24 É evidente que uma circunferência mede 360, porém já não é tão facil dizer quantos radianos mede uma circunferência. Diante disso, podemos chegaar a uma noção intuitiva do valor dessa medida, considerando a seguinte construção: 1 o ) Em uma circunferência de centro O e raio r inscrevem um héxagono regular ABCDEF. Cada lado do héxagono tem comprimento l = r: AB = BC = CD = DE = EF = F A = r o ) A circunferência ca dividida em 6 arcos de medidas iguais ÂB = BC = ĈD = DE = ÊF = F A e, sendo o comprimento do arco sempre maior que da corda correspondente, todos esses arcos são maiores que 1 rad. 3 o ) Em cada um dos citados arcos cabe 1 rad: ÂB = BC = ĈD = DE = ÊF = F A = 1 rad 3

25 e ainda sobra uma fração de radiano. 4 o ) O radiano cabe 6 vezes na circunferência e mais a soma dessas sobras. Sendo mais preciso mostra-se que a circunferência mede 6, rad. Diante disso, podemos estabelecer que a seguinte correspondência para conversão de unidades: 360 π rad 180 π rad Exercícios resolvidos Exercício Exprima 5 em radianos. Resolução: Por uma simplies regra de três, temos Logo Exercício Exprima 11π π rad (1) 5 x () x = 5 π 180 = 5π 4 rad. rad em graus. Resolução: Temos Assim π rad 180 (3) 11π rad 6 x (4) x = 11π π = 330. Exercício Um arco de circunferência mede 30 cm e o raio da circunferência mede 10 cm. Calcule a medida do arco em radianos. Resolução: Temos que comprimento do arcoâb m(âb) = comprimento do raio 4 = = 3 rad.

26 Exercício Sobre uma circunferência de raio 10 cm marca-se um arco ÂB tal que a corda AB mede 10 cm. Calcule a medida do arco em radianos. Resolução: O segmento AB é lado do hexágono regular inscrito na circunferência, logo, o menor arco ÂB é 1 6 da circunferência, isto é 1 6 π rad = π 3 rad. Exercício Um grau se divide em 60 (60 minutos) e um minuto se divide em 60 (60 segundos). Por exemplo, um arco de medida 30 é um arco de 0, 5. Converta em radianos os seguintes arcos: a) 30 b) Resolução: a) Temos 30 = 1350 e 180 = = então π rad 1350 x Logo x = π 8 rad. a) Temos = e 180 = = então π rad x Portanto x = 0, rad Medidas de ângulos Considere as circunferências concêntricas de raio r 1, r e r 3. Seja α o ângulo central aôb, tal que α = 60, determinando sobre as circunferências arcos l 1, l e l 3, respectivamente. 5

27 Para determinar esses comprimentos, fazemos: 360 πr 1 60 l 1 Daí Ainda, temos l 1 = πr 1 3 = l 1 r 1 = π 3 Assim e analogamente, segue que ou seja, 360 πr 60 l l = πr 3 = l r = π 3 l 3 r 3 = π 3. l 1 r 1 = l r = l 3 r 3 = π 3. Desse modo, π 3 é a medida em radianos do ângulo α = 60. 6

28 Quando queremos medir em radianos um ângulo aôb, devemos construir uma circunferência de centro O e raio r e vericar quantos radianos mede o arco ÂB, ou seja, calcular o comprimento entre o o comprimento l do arco ÂB e o raio r da circunferência: α = l r (α em radianos) Ciclo trigonométrico Escolha sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal uov. Considere ainda a circunferência λ de centro O e raio unitário. Observemos que o comprimento dessa circunferência é π, pois r = 1. Desse modo associamos a cada número real x, com 0 x < π, um único ponto P da circunferência λ da seguinte forma: 1 o ) Se x = O, então P coincide com A; o ) Se x > O, então utilizamos a partir de A um percuso de comprimento x, no sentido anti-horário, e marca-se P como ponto nal do percuso. 7

29 Denição A circunferência λ acima denida, com origem em A, é chamada ciclo ou circunferência trigonométrica Exereícios Exercício Exprima em radianos: a)10 b)40 c)70 d)300 e)330. Exercício Exprima em graus: a) π 6 b) π 4 c) π 3 d) π 3 e) 5π 6. Exercício Exprima em radianos as medidas dos arcos a, b e c tais que a b = 15 e a + b = 7π 4 rad. aôb que determina em uma circufe- Exercício Calcule a medida do ângulo central rência de raio r um arco de comprimento πr 3. Exercício Calcule o comprimento l do arco raio 7 cm por um ângulo central de 4, 5 rad. ÂB denido em uma circunferência de Exercício Calcule o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que marca: a)h 40min b)5h 55min c)6h 30min d)10h 15min. 8

30 Razões Trigonométricas na Circunferência Ao nalizar esta aula, o discente será capaz de: Localizar os números reais na circunferência trigométrica através dos arcos dirigidos em posição normal. Representar gracamente as razões trigonométricas de arcos dirigidos em posição normal. Comparar na circunferência trigonométrica, as razões trigonométricas de ângulos e números reais. Determinar os valores das funções trigonométricas. 0.7 Seno, Cosseno e Tangente Considere um ciclo trigonometrico de origem A e raio OA, em que OA = 1. Am de estudar as razões trigonométricas na circunferência, vamos associar ao ciclo quatro eixos: 1 o ) eixo dos cossenos (x) o ) eixo dos senos (y) 9

31 3 o ) eixo das tangentes (u) 4 o ) eixo das cotangentes (v) Os eixos x e y dividem o ciclo trigonometrico em quatro arcos, a saber: ÂB, BA, Â B e B A. Dado um número real z, usamos a seguinte processo para encontrar a imagem P de z no ciclo: z está no 1 o quadrante P ÂB z está no o quadrante P BA z está no 3 o quadrante P Â B z está no 4 o quadrante P BA Seno Denição Dado um número real x [0, π], seja P sua imagem no ciclo. Denominamos seno de x, e indicamos por sen x a ordenada OP 1 do ponto P em relação ao sistema uov. Propriedade Se x é do primeiro ou segundo quadrante, então sen x é positivo. De fato, nese caso o ponto P está acima do eixo u e sua ordenada é positiva. 30

32 Propriedade 0.7. Se x é do terceiro ou quarto quadrante, então sen x é negativo. Com efeito, aqui o ponto P está abaixo do eixo u e sua ordenada é negativa. Desse modo, para todo x [0, π], temos que a variação do seno é 1 senx 1. Assim, 1 é o valor mínimo e 1 é o valor máximo de sen x. Propriedade O sinal do sen x pode ser assim sintetizado: 0.7. Cosseno Denição 0.7. Dado um número real x [0, π], seja P sua imagem no ciclo. Denominamos cosseno de x, indicamor por cos x a abcissa OP do ponto em relação ao sistema uov. 31

33 Propriedade Se x é do primeiro ou do quarto quadrante, então cos x é positivo. Propriedade Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então cos x é negativo. Portanto, para todo x [0, π], temos 1 cos 1, isto é, 1 e 1 são valores, de minímo e máximo da abcissa OP, ou seja, do cosseno. O sinal de cos x também pode ser posto assim: 3

34 0.7.3 Tangente Denição Dado um número real x [0, π], π e 3π, seja P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta OP e seja T sua interseção com o eixo das tangentes. Denominamos tangente de x(e indicamos por tg x) a medida álgebrica do segmento AT. Observemos que, para x = π, P está em B e, para x = 3π, P está em B e, então a reta OP ca paralela ao eixo das tangentes. Como nesse caso não existe o ponto T, a tg x não está denida. Propriedade Se x é do primeiro ou do terceiro quadrante, então tg x é positiva. Propriedade Se x é do segundo ou do quarto quadrante, então tg x é negativa. O sinal de tg x pode ser assim esquematizado: 33

35 0.7.4 Exercícios Exercício Localize os arcos π 6, 5π 6, 7π 6 e 7π 6 e tangente de cada um deles.. Em seguida, dê o sinal do seno, cosseno. Qual é o sinal do seno, cosseno e tan- Exercício 0.7. Localize os arcos π 3, π 3, 4π 3 gente de cada um deles? e 5π 3 Exercício Calcule o valor das expressões a) sen π 3 + sen π 4 sen π b) sen π sen 7π 4 c) 3sen π sen 5π sen π Exercício Calcule as expressões: a) cos π 3 + cos π 4 cos π b) cos π cos 7π 4 c) 3 cos π cos 5π cos π Exercício Determine o sinal de cada uma das expressões: a) y = sen 45 + cos 45 b) z = sen 5 + cos 5 c) w = sen cos 300 d) y 1 = tan 69 + sen 178. Exercício Calcule o valor de ( cossec π 6 + sen π ) ( sen π 6 4 sec π ). 3 34

36 Exercício Se θ 3 o Q, determinar a variaçao de w = 5 3sen θ. 4 Exercício Sabendo que sen θ = x 3 de valores que pode assumir x. Exercício Dadas as seguintes condições: ( π ) a) sen 6 + x = a [ ] 5π b) x, 3π Determinar o máximo valor de a. a) b) 3 c) 3 d) x + 1, onde θ IV Q, determinar o intervalo 4 35

37 Relações Fundamentais No capítulo anterior denimos as razões trigonometricas sin x, cos x, tan x, cot x, sec x e csc x no ciclo trigonométrico, ou seja, para x [0, π]. Nosso objetivo agora é mostrar que tais razões trigonométricas guardam entre si certas relações denominadas relações fundamentais Relações Fundamentais Teorema Para todo x [0, π], temos sen x + cos x = 1. Demonstração: a) Em particular se x {0, π, π, 3π }, π, a prova é trivial. b) Se x / {0, π, π, 3π }, π, a imagem de x distinta de A, B, A e B e, então, existe o triângulo retângulo OP P. Portanto, pelo Teorema de Pitagoras (OP ) + (P P ) = (OP ) ou seja. sen x + cos x = 1 Teorema 0.7. Para todo x real, x [0, π] e x / tg x = sen x cos x. { π, 3π }, temos 36

38 Demonstração: Se x / {0, π, π}, a imagem de x é distinta de A, B, A e B, temos que os triângulos OAT e OP P são semelhantes. Assim Logo, AT OA = P P OP tg x = sen x cos x Uma vez que o sinal da tg x é igual ao do quociente sen x, segue que cos x tg x = sen x cos x Teorema Para cada x real com x [0, π] e x / {0, π, π}, temos que Demonstração: A cargo do leitor. cotg x = cos x sen x. Teorema Para todo x R, com x [0, π] e x / {π/, 3π/}, vale Demonstração: A cargo do leitor. sec x = 1 cos x. Teorema Para todo x R, com x [0, π] e x / {0, π, π}, vale Demonstração: A cargo do leitor. cossec x = 1 sen x. Corolário Para todo x R, com x [0, π] e x / {0, π/, π, 3π/, π}, vale cotg x = 1 tg x tg x + 1 = sec x 1 + cotg x = cossec x cos x = tg x sen x = tg x 1 + tg x 37

39 0.7.6 Exercícios Resolvidos Exercício Sabendo que sin x = 4 5 e π de x. < x < π, calcule as demais funções circulares Resolução: Desde que π < x < π implica que cos x < 0. Desse modo, cos x = 1 sin x = = 3 5 tan x = sin x cos x = 4/5 3/5 = 4 3 cot x = cos x sin x = 3/5 4/5 = 3 4 sec x = 1 cos x = 1 3/5 = 5 3 csc x = 1 sin x = 1 4/5 = 5 4. Exercício Sabendo que sec x = 3, calcule o valor da expressão y = sin x + tan x. Solução: Temos que cos x = 1 sec x = 1 3, logo sin x = 1 cos x = = 8. Além disso, 9 como tan x = sec x 1 = 9 1 = 8, segue que y = = 15 9 Exercício Calcule sin x e cos x, sabendo que 3 cos x + sin x = 1. Solução: Basta resolver o sistema 3 cos x + sin x = 1 sin x + cos x = 1. Da equação I do sistema temos que sin x = 1 3 cos x. Daí e da equação II do sistema, segue ou seja, ou ainda ( 1 3 cos x) + cos x = 1 cos x cos x + 9 cos = 1 10 cos x + 6 cos x = 0 38

40 Assim, cos x = 0 ou cos x = 3 5 Daí ( sin x = = 1 ou sin x = ) = Assim, temos duas soluções a) cos x = 0 e sin x = 1 b) cos x = 3 5 e sin x = 4 5. Exercício Calcule m de modo que sin x = m + 1 e cos x = 4m + 1. Resolução: Desde que sin x + cos x = 1, resulta que (m + 1) + (4m + 1) = 1 = (4m + 4m + 1) + (16m + 8m + 1) = 1 = 0m + 1m + 1 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos m = 1/ ou m = 1/ Exercícios Exercício Sabendo que csc x = 5 4 e π < x < 3π, calcule as demais funções circulares de x. Exercício Calcule cos x, sabendo que cot x = m, com m > 1. m 1 Exercício Calcule sec x sabendo que sin x = ab, com a > b > 0. a + b Exercício Sendo sin x = 1 3 e 0 < x < π, calcule o valor de 3 y = 1 csc x + cot x + 1 csc x cot x Exercício Dado que cos x = 5 e 3π < x < π, obtenha o valor de y = (1 + tan x) + (1 tan x) 39

41 Exercício Calcule sin x e cos x, sabendo que 5 sec x 3 tan x = 1. Exercício Obetenha tan x, sabendo que sin x 5 sin x cos x + cos x = 3 Exercício Calcule m de modo a obter tan x = m e cot x = m 3. Exercício 0.7. Determine a de modo a obter cos x = 1 a + 1 e csc x = a + 1 a +. 40

42 Redução ao 1 o Quadrante Vamos deduzir fórmulas para calcular as razões trigonométricas de x, com x não pertecente ao 1 o quadrante, relacionando assim x com algum elemento do 1 o quadrante. O objetivo é conhecer sin x, cos x, tan x a partir de uma tabela que dê as razões circulares dos reais entre 0 e π Redução do o ao 1 o quadrante Dado o número real x tal que π < x < π, seja P a imagem de x no ciclo. Seja P ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos senos. Temos ÂP + P A = π e, como ÂP = P A, segue que ÂP + ÂP = π logo ÂP = π x. Assim sin x = sin(π x) cos x = cos(π x) 41

43 Pensando nas relações fundamentais, temos: tan x = sin x sin(π x) = cos x cos(π x) cot x = cot(π x) = tan(π x) sec x = sec(π x) csc x = csc(π x) Redução do 3 o ao 1 o quadrante Dado o número real x tal que π < x < 3π, seja P a imagem de x no ciclo. Seja P o ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao centro. Temos ÂP P A = π assim ÂP = x π Desse modo sin x = sin(x π) cos x = cos(x π) Como consequência, segue tan x = sin x sin(x π) = cos x cos(x π) cot x = cot(x π) = tan(x π) sec x = sec(x π) csc x = csc(x π) 4

44 Redução do 4 o ao 1 o quadrante Dado o número real x tal que 3π < x < π, seja P a imagem de x no ciclo. Seja P o ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos. Temos ÂP + P A = π e como ÂP = P A tem-se ÂP + ÂP = π logo, ÂP = π x. Desse modo sin x = sin(π x) cos x = cos(π x) Como consequência, segue tan x = sin x sin(π x) = cos x cos(π x) cot x = cot(π x) = tan(π x) sec x = sec(π x) csc x = csc(π x) 43

45 Exercícios Exercício Reduza ao 1 o quadrante: a) cos 178 b) cot 7π 6 g) tan 90 c) sin 7π 6 d) sin 5π 4 Exercício Se cos x = 3 ( 5, calcule sin x + π ). e) sin 51 f) sec 14 Exercício Sabendo que sin x = 1 e 0 x π (, calcuele: a) cos x b) cos x + π ) ( c) sin x + π ) ( d) tan x + π ) ( f) sec x + π ) ( g) csc x + π ) ( e) cot x + π ) Exercício Calcule: [ ( π )] a) sin x + cos x [cot(x π) cot(π x)] b) tan(x π) + sec(π x) [ cot( π x) csc(π x)] cos ( π x) Exercício Calcule Exercício Calcule ( π ) sin(π x) cos x tan(π x) ( π ) tan(π x) cos(π x) + sin x em função de tan x. cos(90 + x) + cos(180 x) + cos(360 ) + 3 cos(90 x) sin(70 + x) sin(90 + x) cos(90 x) + sin(180 x) 44

46 Funções Circulares Objetivos Ao nalizar essa aula, o discente será capaz de: Analisar e determinar o domínio, imagem e representação cartesiana de uma função. Estudar, analizar e aplicar conceitos que nos permitam traçar o graco de funções. Aplicar a teoria de funções em situações práticas da vida cotidiana Noções Básicas Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B todo subconjunto R de A B. R é relação binária dea em B R A B. Denição Sejam A e B conjuntos. Uma correspondência que associa a cada elemento x A um único elemento f(x) B é chamada função de A em B, a qual escrevemos f : A B. Denição Seja f : A B. O subconjunto Γ f A B, o qual consiste de todos os pares ordenados da forma (a, f(a)) é chamado gráco de f : A B. O gráco Γ f de uma função f : X Y é um subconjunto de X Y consistindo de precisamente pontos (x, y) tal que f(x) = y é verdadeiro. Este conjunto é as vezes escrito por Γ f = {(x, y) (x, y) X Y e y = f(x)}. 45

47 Funções Periodicas Denição Uma função f : A B é periódica se existir um número p > 0 tal que f(x + p) = f(x), x A O menor valor de p que satisfaz a condição acima é chamado periódo de f. O gráco da função periódica se caracteriza por apresentar um elemento de curva que se repete, isto é, se quisermos desenhar toda a curva bastará constrirmos o periodo e repetir o processo pra toda a curva. Nosso objetivo é estudar as funções trigonométricas sin x, cos x e tan x Função Seno Dado um número real x [0, π], seja P sua imagem no ciclo. Denominamos seno de x, e indicamos por sen x a ordenada OP 1 do ponto P em relação ao sistema uov. Denição Denominamos função seno a função f : R R que associa a cada número real x o real OP 1 = sin x, ou seja, f(x) = sin x. Observação: As propriedades da razão trigonométrica seno também são válidas para a função seno. Além disso 1 o ) A imagem da função seno é o intervalo [ 1, 1]. o ) A função seno é periódica e seu periódo é π. 46

48 Gráco Fazendo um diagrama com x em abcissas e sin x em ordenadas, podemos construir o gráco da função seno, demominado senóide, que nos diz como varia a função f(x) = sin x. x y = sin x 0 0 π/ 1 π 0 3π/ 1 π 0 Assim Função Cosseno Dado um número real x [0, π], seja P sua imagem no ciclo. Denominamos cosseno de x, indicamor por cos x a abcissa OP do ponto em relação ao sistema uov. 47

49 Denição Denominamos função seno a função f : R R que associa a cada número real x o real OP = sin x, ou seja, f(x) = cos x. Observação: As propriedades da razão trigonométrica seno também são válidas para a função cosseno. Além disso 1 o ) A imagem da função seno é o intervalo [ 1, 1]. o ) A função seno é periódica e seu periódo é π Gráco Fazendo um diagrama com x em abcissas e cos x em ordenadas, podemos construir o gráco da função seno, demominado senóide, que nos diz como varia a função f(x) = cos x. x y = cos x 0 1 π/ 0 π 1 3π/ 0 π 1 Assim 48

50 Função tangente Dado um número real x, x π + kπ, seja P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta OP e seja T sua interseção com o eixo das tangentes. Denominamos tangente de x a medida algébrica do segmento AT. Denição Denominamos função tangente a função f : D R que associa a cada x, x π + kπ, o real AT = tan x, isto é, f(x) = tan x. Note que para x = π + kπ, P está em B ou B e, então, a reta OP ca paralela ao eixo das tangentes. Como nesse caso não existe o ponto T a tangente não está denida. Observação: Além das propriedades já vista para a razão trigonométrica tangente, o mesmo é valido para a função tangente. Além disso, temos 1 o ) O dominio da função tangente é D = o ) A imagem da função tangente é R. 3 o ) A função tangente é periódica e seu periodo é π. {x R : x π + kπ } Gráco Fazendo um diagrama com x em abcissas e tan x em ordenadas, podemos construir o gráco da função seno, demominado senóide, que nos diz como varia a função f(x) = tan x. 49

51 x y = tan x 0 0 π/ π 0 3π/ π 0 Desse modo, temos Exercícios Exercício Determine o periodo e a imagem e faça o gráco das funções dadas por a) f(x) = sin x b) f(x) = sin x c) f(x) = sin x d) f(x) = sin x e) f(x) = 3 sin x f) f(x) = sin(x) g) f(x) = sin( x ) h) f(x) = sin(3x) i) f(x) = 1 + sin x j) f(x) = 1 + sin x, l) f(x) = sin(x π 4 ) m) f(x) = sin(x + π 3 ) ( Exercício Determine o periodo da função y = 3 sin πx + π ). Exercício Construa o gráco de um periodo da função f : R R tal que ( f(x) = 1 sin x π ). 3 Exercício Determine o periodo e a imagem e faça o gráco das funções dadas por a) f(x) = cos x b) f(x) = cos x c) f(x) = cos x d) f(x) = cos x 50

52 e) f(x) = 3 cos x f) f(x) = cos(x) g) f(x) = cos( x ) h) f(x) = cos(3x) i) f(x) = 1 + cos x j) f(x) = 1 + cos x, l) f(x) = cos(x π 4 ) m) f(x) = cos(x + π 3 ) Exercício Determine a imagem e o periodo da função dada por ( g(x) = 1 + cos 3x π ). 4 Exercício Para que valores de t existe x satisfazendo a igualdade cos x = t + t 1? Exercício Qual é o dominio da função real tal que f(x) = tan(x)? Exercício Qual é o dominio das funções reais abaixo: ( a) f(x) = tan 3x b)g(x) = tan x π ) 3 Exercício Para que valores de α existe x tal que tan x = α 5α + 4? ( Exercício Esboçe o gráco, dê o dominio e o periodo da função real f(x) = tan x π ). 4 51

53 Transformações Queremos nessa aula deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma (a + b) e da diferença (a b) de dois números reais quaisquer a e b, conhecidas as funções circulares de a e b Cosseno da soma Sejam P, Q e R os pontos do ciclo associados aos números a, a + b e b, respectivamente. Em relação ao sistema cartesiano uov, as coordenadas desses pontos são: P (cos a, sin a), Q(cos(a + b), sin(a + b)) e R(cos b, sin b). Os arcos ÂQ e RP tem a mesma medida, portanto as cordas AQ e P R tem medidas iguais. Aplicando, a fórmula da distância entre dois pontos vista em Geometria Analitica, teremos: d AQ = (x Q x A ) + (y Q y A ) = [cos(a + b) 1] + [sin(a + b) 0] = cos (a + b) cos(a + b) sin (a + b) = cos(a + b) d RP = (x P x R ) + (y P y R ) = [cos a cos b] + [sin a + sin b] = cos a cos a cos b + cos b + sin a + sin a sin b + sin b = cos a cos b + sin a sin b Como d AQ = d RP, temos cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b 5

54 assim, cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b 0.7. Cosseno da diferença Tomando b = b na formula do cosseno da soma e usando o fato do cosseno ser uma função par e o seno uma função impar, temos cos(a b) = cos[a + ( b)] = cos a cos( b) sin a sin( b) = cos a cos b sin a( sin b) Logo cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b Seno da soma Note que [ π ] sin(a + b) = cos (a + b) = cos ( π a ) cos b + sin [( π ) = cos a ] b ( π a ) sin b Daí sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a Seno da diferença Temos que sin(a b) = sin[a + ( b)] = sin a cos( b) + sin( b) cos a = sin a cos b + ( sin b) cos a assim sin(a b) = sin a cos b sin b cos a 53

55 0.7.5 Tangente da soma Observe que tan(a + b) = = = sin(a + b) sin a cos b + sin b cos a = cos(a + b) cos a cos b sin a sin b sin a cos b + sin b cos a cos a cos b cos a cos b sin a sin b cos a cos b sin a cos b sin b cos a + cos a cos b cos a cos b cos a cos b sin a sin b cos a cos b cos a cos b Desse modo, segue tan(a + b) = tan a + tan b 1 tan a tan b Essa fórmula só é aplicavél se: a π + kπ, b π + kπ e a + b π + kπ De maneira bem fácil chegamos as seguintes fórmulas: Tagente da diferença tan(a b) = Cotangente da soma tan a tan b 1 + tan a. tan b cot(a + b) = cot a. cot b 1 cot a + cot b Cotangente da soma cot(a b) = cot a. cot b + 1 cot a cot b 54

56 0.7.9 Exercícios Exercício Calcule os valores de: a) cos 15 b) sin 105 c) tan 75 d) sec 85 Exercício Calcule cot 165, sec 55 e csc 15. Exercício Se tan A = e tan B = 1, encontre tan(a B). Exercício Calcule o valor da expressão sin 105 cos 75. Exercício Dados sin x = 3 5 e cosx = 5 1, calcule o cos(x + y), sabendo que 0 < x < π e 3π < x < π. Exercício Estude a variação das seguintes funções: a) f(x) = sin x cos x + sin x cos x b) f(x) = cos x + sin x c) f(x) = 1 + tanx 1 tan x 55

57 Números Complexos Introdução A criação dos números complexos teve estimulo na necessidade, sentida pelos matemáticos, de ampliar o campo númerico de seu trabalho, dando signicado, principlamente, as raizes quadradas de números negativos. Porque razão, quando se trabalha com números reais, algumas equações do segundo grau tem duas raizes, enquanto que outras não tem nenhuma? Como sabemos, isso ocorre porque não existe, entre os reais, um número que elevado ao quadrado dê um número negativo: (?) = 9 (?) = 9 e isso aparece quando a equação do segundo grau ax + bx + c = 0 é escrita da forma: ( x + b ) = b 4ac a 4a onde vemos que não existe valor real para x capaz de satisfazer a equação no caso em que o discriminante = b 4ac é negativo. Ora, como todo número negativo pode ser escrito como o produto de seu simétrico por 1: 9 = 9.( 1) = 3.(?) [ ] 9 = 9 ( 1) =.(?) 3 56

58 a questão de ampliar o campo númerico reside, portanto, em criar algum ente que verique a igualdade: (?) = 1 Observa-se, assim, a necessidade de ampliação do universo númerico. Essa necessidade não é nova: Diofante de Alexandria (cerca de 50 d.c) esteve as voltas com o seguinte questionamento: Determinar os lados de um triângulo retângulo de perimetro 1 e área 7. A montagem desse problema remete a equação 6x 43x + 84 = 0 onde x é a medida de um dos catetos. Uma vez que o discriminante dessa equação é negativo, nos leva a concluir que não existe o triângulo procurado. Não teria Diofante despertado sua atenção para equações que, como essa, têm < 0? Suponha-se então, que convencidos da necessidade, resolvamos inventar um número cujo quadrado seja 1. Imediatamente surge a pergunta: como operar com esse novo número? É claro que essa criaçao nos será util apenas se pudermos usar os mesmos processos operacionais a que estamos acostumados. Desse momo, sem ter, por enquanto, a preocupação de formalizar uma estrutura númerica nova, procurando apenas ganhar intimidade com a ideia, consideremos um novo número que, por falta de outro melhor, representaremos pelo simbolo i, e formularemos duas hipóteses: a) i = 1 b) i obedece as principais propriedades operacionais da Álgebra. Diante disso, podemos completar as igualdades questionadas no inicio: 9 = 9.( 1) = 3.i (5) [ ] 9 = 9 ( 1) =.(i). (6) 3 57

59 Operações com pares ordenados Em matemática, existe mais de um modo de denir, formalmente, número complexo. Vamos preferir adotar aqui a denição: Denição Chama-se número complexo a qualquer par ordenado (x, y) de números reais. Usualmente indicamos um número complexo pela letra z. Assim, z 1 = (, 3), z = (0, 1) e z 3 = (, π) são exemplos de números complexos. Com o objetivo de introduzir uma estrutura operatoria aos números complexos, vamos estambeler também, as seguintes denições, onde a, b, c e d são números reais: a) Igualade de número complexos (a, b) = (c, d) a = c e b = d b) Adição de números complexos (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) c) Multiplicação de números complexos (a, b).(c, d) = (ac bd, ad + bc) O Conjunto dos números complexos Com a denição de número complexo, seguida dos conceitos de igualdade, adição e multiplicação, dados anteriormente, podemos agora denir conjuntos dos númros complexos como sendo o conjunto C de todos os pares ordenados de núemros reais: C = {z = (x, y) : x R e y R} Desse modo, estamos denindo o conjunto dos números complexos como o produto cartesiano do conjunto dos números reais por ele mesmo, a saber: C = R R = R Tendo denidas em C a igualdade, adição e multiplicação, é bastante simples provar que nesse novo conjunto são válidas as seguintes propriedades: 58

60 Propriedade (Comutativa da adição) z 1 + z = z + z 1, z 1, z C Propriedade (Associativa da adição) z 1 + (z + z 3 ) = (z 1 + z ) + z 3, z 1, z, z 3 C Propriedade (Existência do elemento neutro da adição) e C : z + e = z, z C Propriedade (Existência do elemento simétrico da adição) z C : z + z = e, z C Propriedade (Comutativa da multiplicação) z 1.z = z.z 1 z 1, z C Propriedade (Associativa da multiplicação) z 1.(z.z 3 ) = (z 1.z ).z 3 z 1, z, z 3 C Propriedade (Existência do elemento neutro da multiplicação) e m C : z.e m = z, z C Propriedade (Existência do elemento inverso) z 1 C : z.z 1 = e m, z C 59

61 Forma algébrica dos números complexos Descobrindo que os reais são complexos Comecemos por considerar o subconjunto C r de C, formado pelos complexos da forma (x, y), ou seja, C r = {(x, y) : x R e y = 0} Assim, (0, 0), (1, 0) e ( 5, 0) são exemplos de elementos em C r. Quando fazemos a adição e multiplicação de dois elementos (a, 0) e (c, 0) de C r, temos (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0) e (a, 0).(c, 0) = (a.c 0.0, a c) = (ac, 0) Notamos que as segundas componentes dos resultados é zero e as primeiras componentes são obtidas como se tivessemos usado a adição e multiplicação de números reais. Desse modo, vemos que os elementos de C r, obedecendo as denições de iualdade, adição e multiplicação de números números complexos, tem comportamento idêntico aos dos núemros reais. Uma vez que podemos operar com os complexos da forma (x, 0) do mesmo modo que operamos com o real x, vamos adotar a notação: (x, 0) = x para todo x real. Podemos assim, escrever (0, 0) = 0, (1, 0) = 1, ( 1, 0) = 1. 60

62 Admitida a igualdade (x, 0) = x, é evidente que C r = R, vamos passar, então, a considerar o conjunto dos números reais como subcojunto do conjunto dos números complexos: R C armando assim, que todo número real é complexo Unidade imaginária A igualdade (1, 0) = 1 dene, em C, o número complexo (1, 0) como unidade real. Denimos como unidade imaginária o número complexo (0, 1), que passamos a indicar pelo simbolo i: i = (0, 1) Era nosso objetivo conseguir um núemro cujo quadrado desse negativo. Observe que i = i.i = (0, 1).(0, 1) = ( , ) = ( 1, 0) e utilizando a notação adotada, otemos a propriedade fundamental da unidade imaginária i = 1 Todos os números complexos da forma (0, y) com y 0, são ditos imaginários puros Forma algébrica Diante das novas notações e denições, podemos representar um número complexo qualquer z = (x, y) numa outra forma que, como será vista, tornará bem prática e mais simples as operações. Note que sempre podemos escrever z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) como (x, 0) = x e (0, y) = yi, teremos z = x + yi 61

63 que é a chamada forma algébrica de z. Os números reais x e y são, respectivamente, denominados parte real de z e parte imaginária de z. Usualmente, representamos por x = Re(z) e y = Im(z) Vejamos como se aplicam com a forma x + yi a igualdade, a adição e multiplicação de complexos Propriedade (Igualdade de números complexos) Sejam z = a+bi e w = c+di então z = w a + bi = c + di a = c e b = d Propriedade (Adição de números complexos) Sejam z = a + bi e w = c + di então z + w (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (c + d)i Propriedade (multiplicação de números complexos) Sejam z = a + bi e w = c + di então z.w (a + bi).(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Exercícios resolvidos Exercício Sendo z 1 = 1 + 4i, z = 3 3i e z 3 = 5i, efetue: a) z 1 + z z 3 b) z 1 z + z 3 c) (z 1 + z ) Resolução: Temos a) z 1 + z z 3 = (1 + 4i) + (3 3i) 5i = 4 4i b) z 1 z +z 3 = (1+4i)(3 3i)+5i = (3 3i+1i 1i )+5i = 3 3i+1i+1+5i = 15+14i c) (z 1 + z ) = (1 + 4i + 3 3i) = (4 + i) = i + i = i 1 = i Exercício Calcule (1 i) 6. Solução: Note que (1 i) 6 = [(1 i) ] 3 = (1 i+i ) 3 = (1 i 1) 3 = ( i) 3 = 8i 3 = 8i.i = 8.( 1).i = 8i 6

64 Exercício Determine o real x para que o número complexo z = + (x 4i)( + xi) seja: a) real b) imaginário c) imaginário puro. Resolução: Vamos primeiro escrever z na forma a + bi, assim z = + (x 4i)( + xi) = + x + x i 8i 4xi = + x + x i 8i + 4x Assim z = ( + 6x) + (x 8)i (a) Para que z seja real é necessário que sua parte imaginária seja nula, isto é, Im(z) = 0 x 8 = 0 x = ±. (b) Para que z seja imaginário é necessário que sua parte imaginária seja não nula, logo Im(z) 0 x 8 0 x ±. (c) Para que z seja imaginário puro é necessário que sua parte real seja nula, assim Re(z) = 0 + 6x = 0 x = As pontências de i Consideremos as pontências do tipo i n, onde n é natural. Vejamos alguns exemplos i 0 = 1 i 1 = i i = 1 i 3 = i.i = ( 1).i = i i 4 = i.i = ( 1)( 1) = 1 i 5 = i 4.i = 1.i = i i 6 = i 5.i = i.i = i = 1 i 7 = i 6.i = ( 1).i = i 63

65 Começamos a perceber que a medida que n cresce, os valores de i n vão-se repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos valores da sequência: 1, i, 1, i sendo de 4 unidades o periodo de repetição, isso nos sugere que para calcular o valor de i n, basta elevar i ao resto da divisão euclidiana de n por 4. De fato, se dividirmos n por 4 encontramos quociente q e resto r, temos n = 4q + r e r < 4 Assim i n = i 4q+r = i 4q.i r = (i 4 ) q.i r = (1) q.i r e portanto, i n = i r. Exemplo Calcule i 67. Resolução: Note que o resto da divisão de 67 por 4 é r = 3, logo i 67 = i 3 = i Exemplo 0.7. Calcule i 76. Solução: Dividindo 76 por 4 teremos resto r =, assim i 76 = i = 1 Quando o expoente n é maior que 99, podemos facilitar a regra acima usando um resultado da Aritmética que diz: O resto da divisão euclidiana de um número natural n(n 100) por 4 pode ser obtido dividindo por 4 apenas o número formado pelos dois ultimos algarismos de n. Assim, no exemplo acima, poderiamos apenas dividir 6 por 4 e obter resto r =. Exemplo Calcule i Resolução: Como o número formado pelos dois últimos algarismos do expoente é 53, didivindo 53 para 4 temos resto r = 1, logo i = i 1 = i 64