Elementos de Matemática

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1 Elementos de Matemática Trigonometria Circular - 2a. parte Roteiro no. 7 - Atividades didáticas de 2007 Versão compilada no dia 28 de Maio de Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré ulysses@matematica.uel.br Matemática Essencial: Resumo: Notas de aulas construídas com materiais utilizados em nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e não espero que estas notas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em português, há pouco material de domínio público, mas em inglês existem diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que o leitor faça pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: Ai daqueles que nas suas camas maquinam a iniqüidade e planejam o mal. Quando raia o dia, põem-no por obra, pois está no poder da sua mão. E cobiçam campos, e os arrebatam, e casas, e as tomam; assim fazem violência a um homem e à sua casa, a uma pessoa e à sua herança. A Bíblia Sagrada, Miquéias 2:1-2

2 CONTEÚDO 1 Cotangente, Secante e Cossecante Cotangente Ângulos no segundo quadrante Ângulos no terceiro quadrante Ângulos no quarto quadrante Secante e cossecante Algumas propriedades da secante e da cossecante Relações trigonométricas com secante e cossecante Alguns ângulos notáveis Resolução de triângulos Lei dos Senos Lei dos Cossenos Área de um triângulo em função dos lados Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade Fórmulas de arco duplo Fórmulas de arco triplo Fórmulas de arco metade

3 CONTEÚDO iii 4 Funções trigonométricas circulares Funções reais Funções crescentes e decrescentes Funções pares e ímpares Função seno Função cosseno Função tangente Função cotangente Função secante Função cossecante Funções trigonométricas inversas Função arco-seno Função arco-cosseno Função arco-tangente Função arco-cotangente

4 CAPÍTULO 1 Cotangente, Secante e Cossecante 1.1 Cotangente Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B = (0, 1). Esta reta s é perpendicular ao eixo OY. A reta passando pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente s no ponto S = (s, 1). A abscissa s deste ponto é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a. Assim, a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações cot(am) = cot(a) = cot(a + 2kπ) = m(bs) = s Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo: BS OB = ON MN

5 1.2. ÂNGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE 2 Como a circunferência é unitária OB = 1, logo: que é equivalente a cot(a) = cos(a) sen(a) cot(a) = 1 tan(a) A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva. Quando a = 0, a cotangente não existe, pois as retas s e OM são paralelas. 1.2 Ângulos no segundo quadrante Se o ponto M está no segundo quadrante, tal que o ângulo a [π/2, π], então a cotangente de a é negativa. Observação: cot(π/2) = Ângulos no terceiro quadrante Se o ponto M está no terceiro quadrante e o ângulo a [π, 3π/2], então a cotangente é positiva. Quando a = π, a cotangente não existe, as retas que passam por OM e BS são paralelas.

6 1.4. ÂNGULOS NO QUARTO QUADRANTE Ângulos no quarto quadrante Se o ponto M está no quarto quadrante e o ângulo a [3π/2, 2π], então a cotangente de a é negativa. Observação: cot(3π/2) = Secante e cossecante Uma reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M = (x, y ) é perpendicular à reta contendo o segmento OM. A reta r intersecta os eixos coordenados nos pontos U = (0, u) e V = (v, 0). A abscissa v do ponto V, é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a e a ordenada u do ponto U, é definida como a cossecante do arco AM correspondente ao ângulo a. Assim, a secante do ângulo a e a cossecante do ângulo a são dadas pelas suas várias determinações: sec(am) = sec(a) = sec(a + 2kπ) = m(ov ) = v csc(am) = csc(a) = csc(a + 2kπ) = m(ou) = u

7 1.6. ALGUMAS PROPRIEDADES DA SECANTE E DA COSSECANTE 4 Os triângulos OMV e Ox M são semelhantes, deste modo, que pode ser escrito como se cos(a) é diferente de zero. OV OM = OM Ox sec(a) = 1 cos(a) Os triângulos OMU e Ox M são semelhantes, logo: que pode ser escrito como OU OM = OM x M csc(a) = 1 sen(a) desde que sen(a) seja diferente de zero. 1.6 Algumas propriedades da secante e da cossecante Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, constatamos as seguintes propriedades: 1. Como os pontos U e V sempre estão fora do círculo trigonométrico, as suas distâncias até o centro da circunferência são sempre maiores ou iguais que a medida do raio unitário. Daí segue que: (a) sec(a) 1 ou sec(a) 1 (b) csc(a) 1 ou csc(a) 1 2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1o. e no 4o. quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.

8 1.7. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COM SECANTE E COSSECANTE 5 3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes. 4. Não existe a secante de ângulos da forma a = π 2 cos( π 2 + kπ) = 0. + kπ, onde k Z, pois 5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a = kπ, onde k Z, pois sen(kπ) = Relações trigonométricas com secante e cossecante Valem as seguintes identidades trigonométricas que são justificadas por sec 2 (a) 1 + tan 2 (a) csc 2 (a) 1 + cot 2 (a) 1 + tan 2 (a) = 1 + sen2 (a) cos 2 (a) = 1 cos 2 (a) = sec2 (a) 1 + cot 2 (a) = 1 + cos2 (a) sen 2 (a) = 1 sen 2 (a) = csc2 (a)

9 1.8. ALGUNS ÂNGULOS NOTÁVEIS Alguns ângulos notáveis arco x o sen(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x) 0 0 o Inexiste 1 Inexiste π/6 30 o 1/2 3/2 3/ /3 2 π/4 45 o 2/2 2/ π/3 60 o 3/2 1/2 3 3/ /3 π/2 90 o 1 0 Inexiste 0 Inexiste 1 2π/3 120 o 3/2 1/2 3 3/ /3 3π/4 135 o 2/2 2/ π/6 150 o 1/2 3/2 3/ /3 2 π 180 o Inexiste 1 Inexiste 7π/6 210 o 1/2 3/2 3/ /3 2 5π/4 225 o 2/2 2/ π/3 240 o 3/2 1/2 3 3/ /3 3π/2 270 o 1 0 Inexiste 0 Inexiste 1 5π/3 300 o 3/2 1/2 3 3/ /3 7π/4 315 o 2/2 2/ π/6 330 o 1/2 3/2 3/ /3 2 2π 360 o Inexiste 1 Inexiste

10 CAPÍTULO 2 Resolução de triângulos Os elementos fundamentais de um triângulo são: os lados, os ângulos e a área. Resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Tendo três dentre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência. 2.1 Lei dos Senos Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura com lados a, b e c, respectivamente tendo ângulos opostos A, B e C. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é: a sen(a) = b sen(b) = c sen(c) = 2R

11 2.1. LEI DOS SENOS 8 Demonstração: Para simplificar as notações denotaremos o ângulo que corresponde a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(a) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente com vértice em A. Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo BCA, de tal modo que o segmento BA seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C. Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondendo a um mesmo arco BC. Então: isto é, sen(a ) = sen(a) = a 2R a sen(a) = 2R

12 2.1. LEI DOS SENOS 9 Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obtemos os outros quocientes b sen(b) = c sen(c) = 2R 2. Triângulo obtusângulo: Se A e A são os ângulos que correspondem aos vértices A e A, a relação entre eles é dada por A = π A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA C. Então isto é, sen(π A) = a 2R = sen(a) a sen(a) = 2R Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obteremos os outros quocientes b sen(b) = c sen(c) = 2R 3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que sen(b) = b a, sen(c) = c a, sen(a) = sen(π 2 ) = 1

13 2.2. LEI DOS COSSENOS 10 Como, neste caso a = 2R, temos, a sen(a) = b sen(b) = c sen(c) 2.2 Lei dos Cossenos Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados. a 2 b 2 c 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) = a 2 + c 2 2 a c cos(b) = a 2 + b 2 2 a b cos(c) Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 1. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A, a relação a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) Como cos(a) = cos(π/2) = 0, esta relação recai na relação de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura. Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do

14 2.2. LEI DOS COSSENOS 11 triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos: a 2 = h 2 + (c x) 2 = (h 2 + x 2 ) + c 2 2cx (2.1) No triângulo AHC, temos que b 2 = h 2 + x 2 e também cos(a) = x b, ou seja, x = b cos(a). Substituindo estes resultados na equação 2.1, obtemos: a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) 3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura. Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que: a 2 = h 2 + (c + x) 2 = (h 2 + x 2 ) + c 2 + 2cx (2.2) No triângulo AHC, obtemos a relação de Pitágoras b 2 = h 2 + x 2 e também cos(d) = x = cos(π A) = cos(a), logo, x = b cos(a). b Substituindo estes resultados na equação 2.2, obtemos: a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a)

15 2.3. ÁREA DE UM TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS 12 As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma cos(a) = b2 + c 2 a 2 2 b c cos(b) = a2 + c 2 b 2 2 a c cos(c) = a2 + b 2 c 2 2 a b 2.3 Área de um triângulo em função dos lados Existe uma fórmula para calcular a área de um triângulo conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é: 2p = a + b + c, então, S = p(p a)(p b)(p c) A demonstração da fórmula acima está em nosso link Fórmula de Heron:

16 CAPÍTULO 3 Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos obter estas relações trigonométricas para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos. 3.1 Fórmulas de arco duplo Como sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b) cos(a + b) = cos(a) cos(b) sen(a)sen(b) dividindo membro a membro a primeira expressão pela segunda, obtemos: tan(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b) cos(a) cos(b) sen(a)sen(b) Dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a) cos(b), segue a fórmula: tan(a + b) = tan(a) + tan(b) 1 tan(a) tan(b) Tomando b = a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo: sen(2a) = sen(a) cos(a) + cos(a)sen(a) = 2sen(a) cos(a) cos(2a) = cos(a) cos(a) sen(a)sen(a) = cos 2 (a) sen 2 (a)

17 3.2. FÓRMULAS DE ARCO TRIPLO 14 de onde segue que tan(2a) = tan(a) + tan(a) 1 tan(a) tan(a) = 2 tan(a) 1 tan 2 (a) Substituindo sen 2 (a) = 1 cos 2 (a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco: cos(2a) = cos 2 (a) sen 2 (a) = cos 2 (a) (1 cos 2 (a) = 2 cos 2 (a) 1 Substituindo cos 2 (a) = 1 sen 2 (a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do arco: cos(2a) = cos 2 (a) sen 2 (a) = 1 sen 2 (a) sen 2 (a)) = 1 2sen 2 (a) 3.2 Fórmulas de arco triplo Se b = 2a em sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b), então sen(3a) = sen(a + 2a) = sen(a) cos(2a) + cos(a)sen(2a) = sen(a)[1 2sen 2 (a)] + [2sen(a) cos(a)] cos(a) = sen(a)[1 2sen 2 (a)] + 2sen(a) cos 2 (a)) = sen(a)[1 2sen 2 (a)] + 2sen(a)[1 sen 2 (a)] = sen(a) 2sen 3 (a)) + 2sen(a) 2sen 2 (a)) = 3sen(a) 4sen 3 (a) Se b = 2a em cos(a + b) = cos(a) cos(b) sen(a)sen(b), então cos(3a) = cos(a + 2a) = cos(a) cos(2a) sen(a)sen(2a) = cos(a)[2 cos 2 (a) 1] sen(a)[2sen(a) cos(a)] = cos(a)[2 cos 2 (a) 1] 2sen 2 (a) cos(a) = cos(a)[2 cos 2 (a) 1 2(1 cos 2 (a))] = cos(a)[2 cos 2 (a) cos 2 (a)] = cos(a)[4 cos 2 (a) 3] = 4 cos 3 (a) 3 cos(a) As fórmulas do arco triplo são sen(3a) = 3sen(a) 4sen 3 (a) cos(3a) = 4 cos 3 (3a) 3 cos(a)

18 3.3. FÓRMULAS DE ARCO METADE Fórmulas de arco metade Partindo das fórmulas do arco duplo cos(2a) = 2 cos 2 (a) 1 = 1 2sen 2 (a) e substituindo 2a = c, obtemos: cos(c) = 2 cos 2 ( c 2 ) 1 = 1 2sen2 ( c 2 ) Assim sen 2 ( c 2 ) = cos(c) cos 2 ( c 2 ) = cos(c) Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco: tan 2 ( c 2 ) = 1 cos(c) 1 + cos(c) Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco. tan( c 2 ) = 1 cos(c) 1 + cos(c)

19 CAPÍTULO 4 Funções trigonométricas circulares Funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes pela sua periodicidade pois elas representam fenômenos naturais periódicos, como variações da temperatura terrestre, comportamentos ondulatórios do som, pressão sanguínea no coração, níveis de água em oceanos, etc. 4.1 Funções reais Para estudar trigonometria, devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais. Função: Uma função de um conjunto não vazio A em um conjunto não vazio B, denotada por f : A B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B. O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y B que corresponde ao elemento x A de acordo com a lei f, é a imagem de x por f, indicado por y = f(x). O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f. Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e

20 4.2. FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 17 contradomínio de f são subconjuntos do conjunto dos números reais. Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x A, vale f(x + T ) = f(x) Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número T > 0, que satisfaz a esta condição é o período fundamental. Exemplo 1. A função real definida por f(x) = x [x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T = 1. Função limitada: Uma função f de domínio A R é limitada, se existe um número real L > 0, tal que para todo x A, valem as desigualdades: L f(x) L e esta última expressão é equivalente a f(x) L. Exemplo 2. A função real f(x) = 2x é limitada pois 1 + x2 1 x 1 + x Funções crescentes e decrescentes Seja f uma função definida em um intervalo I, sendo x, y I, com x < y. Afirmamos que f é crescente, se f(x) < f(y) e que f é decrescente, se f(x) > f(y). Exemplo 3. A função real f(x) = 2x + 1 é crescente enquanto que a função real f(x) = e x é decrescente. 4.3 Funções pares e ímpares Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f tem-se que f( x) = f(x)

21 4.4. FUNÇÃO SENO 18 Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY. Exemplo 4. A função real definida por f(x) = x 2 é par. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f tem-se que f( x) = f(x) Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0, 0) do sistema de eixos cartesiano. Exemplo 5. A função real definida por f(x) = x 3 é ímpar. 4.4 Função seno Dado um ângulo de medida x, a função seno associa a cada x R o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x) = sen(x). Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y 0 2/2 1 2/2 0 2/2 1 2/2 0 Gráfico: Na figura, o segmento Oy que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY. Propriedades da função seno 1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen) = R.

22 4.4. FUNÇÃO SENO Imagem: O conjunto imagem da função seno é I = {y R : 1 y 1} 3. Periodicidade: A função é periódica de período 2π. Para todo x R e para todo k Z: sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) =... = sen(x + 2kπ) Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos sen(x + 2kπ) = sen(x) cos(2kπ) + cos(x)sen(2kπ) Como para todo k Z, tem-se que cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, então sen(x + 2kπ) = sen(x)(1) + cos(x)(0) = sen(x) A função seno é periódica de período fundamental T = 2π. Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2π. 4. Sinal Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Seno positiva positiva negativa negativa 5. Monotonicidade Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Seno crescente decrescente decrescente crescente 6. Limitação: O gráfico de y = sen(x) está contido na faixa do plano limitada pelas retas horizontais y = 1 e y = 1. Para todo x R, temos: 1 sen(x) 1 7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x R, tem-se que: sen( x) = sen(x)

23 4.5. FUNÇÃO COSSENO Função cosseno Dado um ângulo de medida x, a função cosseno denotada por f(x) = cos(x), é a relação que associa a cada x R o número real cos(x). Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y 1 2/2 0 2/2 1 2/2 0 2/2 1 Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX. Propriedades da função cosseno 8. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos) = R. 9. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I = {y R : 1 y 1} 10. Periodicidade: A função é periódica de período 2π. Para todo x R e para todo k Z: cos(x) = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) =... = cos(x + 2kπ) Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos cos(x + 2kπ) = cos(x) cos(2kπ) sen(x)sen(2kπ) Para todo k Z: cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, logo cos(x + 2kπ) = cos(x)(1) sen(x)(0) = cos(x) A função cosseno é periódica de período fundamental T = 2π.

24 4.6. FUNÇÃO TANGENTE Sinal Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Cosseno positiva negativa negativa positiva 12. Monotonicidade: Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Cosseno decrescente decrescente crescente crescente 13. Limitação: O gráfico de y = cos(x) está contido na faixa localizada entre as retas horizontais y = 1 e y = 1. Para todo x R, temos: 1 cos(x) Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x R, tem-se que: cos( x) = cos(x) 4.6 Função tangente Como a tangente não tem sentido para arcos da forma (k + 1) π para cada 2 k Z, vamos considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x R, a tangente de x, denotada por tan(x). f(x) = tan(x) = sen(x) cos(x) Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y 0 1 Inexiste Inexiste 1 0

25 4.6. FUNÇÃO TANGENTE 22 Gráfico: O segmento AT, mede tan(x). Pelo gráfico, observamos que quando a medida do arco AM se aproxima de π/2 ou de π/2, a função tangente está crescendo muito rápido, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX. Propriedades 1. Domínio: Como cos( π + kπ) = 0 para cada k Z, temos que 2 Dom(tan) = {x R : x π 2 + kπ} 2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I = R. 3. Periodicidade A função tangente é periódica de período π Para todo x R, com x π 2 + kπ, sendo k Z: tan(x) = tan(x + π) = tan(x + 2π) =... = tan(x + kπ) Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos tan(x + kπ) = tan(x) + tan(kπ) 1 tan(x) tan(kπ) = tan(x) tan(x).0 = tan(x) A função tangente é periódica de período fundamental T = π. Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam. 4. Sinal: Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] T angente positiva negativa positiva negativa

26 4.7. FUNÇÃO COTANGENTE Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x = kπ, sendo k Z, onde a função não está definida Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k + 1) π, a função cresce (ou decresce) sem controle Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x R onde a tangente está definida, tem-se que: tan( x) = tan(x) 4.7 Função cotangente Como a cotangente não existe para arcos da forma kπ onde k Z, vamos considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x R, a cotangente de x, denotada por: f(x) = cot(x) = cos(x) sen(x) Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y Inexiste Inexiste Inexiste Gráfico: O segmento Os mede cot(x). O gráfico mostra que quando a medida do arco AM está próxima de π ou de π, podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interseção com a reta s vai se tornando muito distante.

27 4.7. FUNÇÃO COTANGENTE 24 Propriedades: 1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma kπ, onde k Z, temos Dom(cot) = {x R : x kπ}. 2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I = R. 3. Periodicidade A função é periódica e seu período é π. Para todo x R, sendo x kπ, onde k Z: cot(x) = cot(x + π) = cot(x + 2π) =... = cot(x + kπ) A função cotangente é periódica de período fundamental 2π. 4. Sinal Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] T angente positiva negativa positiva negativa 5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x = kπ, sendo k Z, onde a função não está definida. 6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kπ/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.

28 4.8. FUNÇÃO SECANTE Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x R, tem-se que: cot( x) = cot(x) 4.8 Função secante Como a secante não existe para arcos da forma (2k + 1) π onde k Z, vamos 2 considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x R, a secante de x, denotada por sec(x). f(x) = sec(x) = 1 cos(x) Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y 1 2 Inexiste Inexiste 2 1 Gráfico: O segmento OV mede sec(x). Quando x assume valores próximos de π 2 ou de 3π, cos(x) se aproxima de 2 1 zero e a fração em valor absoluto, tende ao infinito. cos(x) Propriedades 1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma π 2 + kπ, onde k Z, temos Dom(sec) = {x R : x (2k + 1) π 2 }.

29 4.8. FUNÇÃO SECANTE Imagem: Para todo x no domínio da secante, temos que sec(x) 1 ou sec(x) 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos: Im(sec) = {y R : y 1 ou y 1} 3. Periodicidade: A função secante é periódica e de período é 2π. Para todo x R, sendo x (k + 1)π, onde k Z, tem-se que sec(x) = sec(x + 2π) = sec(x + 4π) =... = sec(x + 2kπ) Por isto, a função secante é periódica de período é 2π. Podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam. 4. Sinal 5. Monotonicidade Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Secante positiva negativa negativa positiva Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Secante crescente crescente decrescente decrescente 6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k + 1) π, a função cresce (ou decresce) sem controle Simetria: A função secante é par, pois para todo x R onde a secante está definida, tem-se que: sec( x) = sec(x)

30 4.9. FUNÇÃO COSSECANTE Função cossecante Como a cossecante não existe para arcos da forma kπ onde k Z, vamos considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cossecante como a relação que associa a cada x R, a cossecante de x, denotada por csc(x) f(x) = csc(x) = 1 sen(x) Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y Inexiste Inexiste Inexiste Gráfico: A medida do segmento OU mede csc(x). Quando x assume valores próximos de 0 ou π ou 2π, sen(x) se aproxima de 1 zero e a fração em valor absoluto, tende ao infinito. sen(x) Propriedades 1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma kπ, onde k Z, temos Dom(csc) = {x R : x kπ} 2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x) 1 ou csc(x) 1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos: Im(csc) = {y R : y 1 ou y 1}

31 4.9. FUNÇÃO COSSECANTE Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2π Para todo x R, sendo x kπ, onde k Z: csc(x) = csc(x + π) = csc(x + 2π) =... = csc(x + kπ) por este motivo, a função cossecante é periódica de período 2π. Podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam. 4. Sinal Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Cossecante positiva positiva negativa negativa 5. Monotonicidade: Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Cossecante decrescente crescente crescente decrescente 6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kπ, a função cresce (ou decresce) sem controle. 7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x R onde a cossecante está definida, tem-se que: csc( x) = csc(x)

32 CAPÍTULO 5 Funções trigonométricas inversas Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, logo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas funções que restritas a conjuntos menores possuem inversas. Exemplo 6. A função f(x) = cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x) = 1, podemos tomar x = 2kπ, onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x) = cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio a um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora. Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem. 5.1 Função arco-seno Consideremos a função f(x) = sen(x), com domínio no intervalo [ π/2, π/2] e imagem no intervalo [ 1, 1]. A função inversa de f = sen, denominada arco

33 5.2. FUNÇÃO ARCO-COSSENO 30 cujo seno, definida por sen 1 : [ 1, 1] [ π/2, π/2] é denotada por Gráfico da função arco-seno sen 1 (x) = arcsen(x) 5.2 Função arco-cosseno A função f(x) = cos(x), com domínio [0, π] e imagem [ 1, 1], possui inversa, denominada arco cujo cosseno e é definida por cos 1 : [ 1, 1] [0, π] e denotada por cos 1 (x) = arccos(x) Gráfico da função arco-cosseno: 5.3 Função arco-tangente A função f(x) = tan(x), com domínio ( π/2, π/2) e imagem em R, possui uma inversa, denominada arco-tangente definida por tan 1 : R ( π/2, π/2) e denotada por tan 1 (x) = arctan(x)

34 5.4. FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE 31 Gráfico da função arco-tangente: 5.4 Função arco-cotangente A função f(x) = cot(x), com domínio (0, π) e imagem em R, possui uma inversa, denominada arco-cotangente definida por cot 1 : R (0, π) e denotada por cot 1 (x) = arccot(x) Gráfico da função arco-cotangente: