Funções Trigonométricas e Trigonometria

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1 Unidade E Funções Trigonométricas e Trigonometria Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE FURG

2 Resumo Trigonometria no triângulo retângulo, resolução de triângulos quaisquer. Todos os resultados da trigonometria do triângulo retângulo continuam válidos. Por exemplo: Por definição se + =90º: (a) cos BC AC sen (b) sen AB AC cos (c) tan AB 1 cot an BC tan E também por definição: sen cos 1 (d) tan (d) cot an (e) sec (f) cos sec cos sen cos 1 sen Alguns resultados consequências dessas definições: (a) sen² + cos²=1 (b) tan² + 1 = sec² (c) cotan² + 1 = cossec² Alguns resultados bastante importantes são as leis dos cossenos e senos, que basicamente resolvem triângulos quaisquer, além do Teorema de Pitágoras, que só se aplica aos triângulos retângulos e seno e cosseno dos arcos soma. a b c (a) Lei dos Senos: sen sen sen (b) Lei dos Cossenos: c² = a² + b² - 2ab. cos (c) Relação entre ângulos suplementares: cosx = - cos(180 o x) e senx = sen(180 o - x) (d) Seno da adição/subtração: 1 sen(a b) = sena. cosb senbcosa (e) Cosseno da adição/subtração: cos(a b) = cosacosb senasenb Sabemos inicialmente seno e cosseno dos arcos notáveis: 30º, 45º e 60º. A partir das fórmulas agora do seno e cosseno da soma de arcos é possível encontrar o valor exato para mais alguns ângulos, incluindo ângulos obtusos. Exemplos: 1. Calcule: (a) sen15º (b) cos15º 1 Veja vídeo com a demonstração das fórmulas seno e cosseno da soma em:

3 77 (c) sen75º (d) tan75º (f) sen 105º (g) sen(2x) (h) cos(2x) (i) tan(2x) (j) x cos (k) cos(x - 180º) 2

4 78 (l) sen(-x) (m) sen90º (n) cos180º (o) sen(x-180º) 21. Introdução à trigonometria no círculo Círculo Já sabemos que o círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distância de um ponto dado chamado centro. Essa distância é denominada medida do raio do círculo e denotamos pela letra r. O ponto O é o centro do círculo. A medida do comprimento do círculo é chamada de sua circunferência e denotada pela letra C é calculado pela fórmula: C= 2r O Observação: Não há necessidade nos cálculos de substituir o valor de, pois qualquer representação decimal finita, por exemplo, 3,14, será uma aproximação e não o valor real. Fazemos essa substituição apenas quando queremos ter noção da medida envolvida Ângulo central e arco de circunferência. É a parte do círculo compreendida entre dois de seus pontos, por exemplo, A e B na figura. Usamos o sentido anti-horário para diferenciar as duas partes formadas que são ambas arcos de circunferência. Destinaremos a letra S para a medida de um arco de circunferência. Então, na figura, AB é o arco menor e o arco BA é o arco maior. Cada arco subentende um ângulo central. O arco AB está relacionado com o ângulo Os ângulos centrais podem ser medidos em graus ou em radianos. Assim para calcularmos o valor do arco de circunferência basta calcular uma fração do todo. Como existe a proporção podemos usar regra de três. Estamos mais acostumados com as medidas em graus, mas para termos funções trigonométricas precisaremos relacionar ângulos com números reais e arcos em radianos fazem esse papel. Grau 1- O que é 1 o? O ângulo central correspondente ao arco de circunferência se dividirmos o círculo em 360 partes iguais e tomarmos uma. Portanto o ângulo central total é de 360 o.. O que faz o arco BA, da figura anterior, estar relacionado com o ângulo Qual o valor de um arco de circunferência subentendido por um ângulo central medido em graus? 360 o r S r Chega-se ao resultado S 180 O B A

5 79 Exemplo: Na figura abaixo, indique a medida, em graus, do arco PQ. Em seguida calcule o comprimento do arco QP sabendo que o círculo tem 10 cm de raio. PQ.= P S cm O 100 o Q Radiano 1- O que é 1 rad? É a medida do ângulo central subentendido por um arco de circunferência, cujo comprimento coincide com a medida do raio da circunferência. Ou seja, se AP = r, então = 1 rad. 2 - Quantos radianos possui o ângulo central total? É o mesmo que responder quantos raios cabem na circunferência, pois cada comprimento de arco que mede r, subentende um ângulo central de 1 rad. Como a circunferência mede 2r, quantos raios cabem? Bom, basta dividir o valor da circunferência por r, logo 2 rad. Agora podemos converter uma medida em graus para radianos e vice-versa, usando a relação que acabamos de obter. Exemplos: 1. Determine em radianos, a medida dos arcos notáveis: 30 o, 45 o, 60 o e Segundo a regra de três sabemos que: rad 0 x rad Chegamos a 180x = (A) Portanto se queremos transformar um ângulo em graus para radianos, devemos isolar x. x = 180 = 30 o = 90 o 30 rad = 45 o rad rad = 60 o rad Quantos graus tem 1 rad? Agora se queremos transformar um ângulo em radianos em graus, devemos isolar na expressão definida por (A). 180x = rad x = 1 rad 57,29 Observação: Para determinar o comprimento de um arco se este é dado em radianos, é mais complicado passar para graus e calcular o comprimento. Façamos uma nova regra de três para encontrar a "fórmula" do comprimento de arco, se é dado em radianos: Se está em radianos: S = r 2 rad r S 22. Círculo trigonométrico Para as funções trigonométricas precisamos de domínio real, assim, os ângulos serão convertidos em radianos para equivaler a uma unidade de medida, ou seja, um número real. Se inserirmos numa circunferência de raio unitário (r = 1) os eixos do sistema cartesiano ortogonal, de maneira que a origem do plano cartesiano coincida com o centro da circunferência, que seja fixado um ponto A (1,0) chamado de origem dos arcos, de onde, como o nome sugere, são determinados arcos com início nesse ponto. Podemos visualizar os arcos com o ponto A fixo e o ponto P móvel. Se o ponto P se

6 80 desloca no sentido anti-horário o arco AP é positivo e se o ponto P se desloca no sentido horário o arco tem medida negativa. Observações: Todos os arcos têm origem em A, o que determinará se o arco determinado no sentido anti-horário ou horário é o sinal do arco; Para converter um ângulo em graus em radianos ou vice-versa, basta uma regra de três simples, fazendo a correspondência rad 180º; O tamanho do arco de circunferência numericamente é igual ao ângulo em radianos. Já que como o raio é r = 1, tem-se S = r S =. 2 Os eixos coordenados dividem a circunferência (e o plano) em quatro quadrantes, numerados segundo o sentido positivo dos arcos. Os limites dos arcos de acordo com os quadrantes estão dispostos na figura a seguir (complete): Em graus: Em radianos: IQ: < < IQ: < < IIQ: < < IIIQ: < < IVQ: < < IIQ: < < IIIQ: < < IVQ: < < Atribuindo sentido a arcos positivos e negativos atribuímos sentido também a arcos maiores que 360º ou 2 rad, basta imaginarmos o ponto P "móvel" completando mais de uma volta. A todo arco maior que uma volta corresponde a um arco da primeira volta. Arcos que começam e terminam no mesmo lugar, diferenciando-se apenas por um número inteiro de voltas, chamam-se de arcos côngruos. Se e são côngruos: Em radianos: - = 2n, n Z. Em graus: - = 360ºn, n Z. Exemplos: 54º, 414º e 306º são congruentes rad, rad, rad são congruentes Função Cosseno. Para determinar a função cosseno: f: R R y = cosx Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o eixo ox. A intersecção da perpendicular com o eixo ox, será o ponto C. A medida do cosx é a abscissa do ponto C, ou seja, IIQ IIIQ O IVQ I Q cosx = x c Observação: A definição de cosseno na circunferência trigonométrica não contradiz a definição no triângulo retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente. No triângulo retângulo só aparece ângulos agudos, só existia sentido cosseno de ângulos entre 0º e 90º. Agora podemos definir cosseno para qualquer arco, seja positivo ou negativo, maior que 360º ou menor que 360º, ou melhor, qualquer ângulo em radianos. Veja: 2 Veja item 21, fórmula do comprimento de arco de circunferência para um ângulo em radianos.

7 81 Assim o valor de cosseno de um ângulo pode assumir o sinal positivo se o ponto C estiver a direita da origem ou negativo se o ponto C estiver à esquerda da origem. Fazendo a construção no programa GeoGebra 3 observamos: Quadrante I II III IV Sinal positivo negativo negativo positivo Crescimento decrescente decrescente crescente crescente Variação cosx ]0,1[ cosx ]-1,0[ cosx ]-1,0[ cosx ]0,1[ E o gráfico da função cosseno é: 23.1 Redução ao primeiro quadrante Podemos relacionar os valores de cosseno de arcos em qualquer quadrante com, cosseno de arcos de qualquer outro quadrante. Essas relações nos dão subsídios para manipular algebricamente expressões que envolvam cossenos. Faremos o mesmo com outras funções trigonométricas. Exemplo: Determine o valor dos cossenos abaixo em relação a arcos do primeiro quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo que arcos sejam em radianos. (a) cos120º (b) cos245º (c) cos278º (d) cos335º 3 Download gratuito, disponível em várias plataformas, no site:

8 82 (e) cos(-71º) (f) cos(-104º) Generalizando: cos(180º - x) = - cosx ou cos( - x) = - cosx cos( x 180º) = - cosx ou cos( x - ) = - cosx cos( 360º - x) = cosx ou cos( 2 - x ) = cosx cos(-x) = cosx Esses resultados podem ser igualmente definidos pela fórmula do cosseno da soma/subtração. Observação: Todas as relações trigonométricas válidas no triângulo retângulo, vistos anteriormente continuam valendo, já que a matemática não define conceitos com nomes iguais que se contradiriam nas suas propriedades e essência. 24. Variações Função Cosseno. As funções trigonométricas são ditas periódicas, pois existe um número real p, tal que: f(x)=f(x+p), já que ao completar uma volta a função passa a assumir os mesmos valores da primeira volta, o mesmo acontece com o sentido horário. O menor valor de p possível, válido para todo x é chamado de período. Também podemos pensar, que é o tamanho do menor segmento do domínio em que o gráfico não contém repetição. A metade da maior variação horizontal do gráfico é chamada de amplitude. Frequência de uma função periódica é o número de ciclos numa determinada unidade de tempo. Na função cosseno básica: p = 2 A = 1 f = 1 Qualquer variação na função cosseno, esses parâmetros são alterados: f: R R y = acos(bx+c)+d Novamente, com o auxílio do programa GeoGebra, podemos concluir facilmente as alterações que a composição da função cosseno com a função afim produz. 1 No GeoGebra, esboce as funções y = 2cosx, y = 3cosx, y=0,5cosx e y = -4cosx. Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem. 2 - No GeoGebra, esboce as funções y = cos(2x), y = cos(3x), y=cos(0,5x) e y = cos(-4x). Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem. 3 - No GeoGebra, esboce as funções y = cos(x+), y = cos(x-), y=cos(x-4) e y = cos(x+1). Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem e se há um deslocamento em relação ao gráfico da função básica. 4 - No GeoGebra, esboce as funções y = cosx + 2, y = cosx - 3, y = cosx - 4 e y = cosx + 1. Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem e se há um deslocamento em relação ao gráfico da função básica. Período Amplitude Frequência Imagem 1- y = acos(x) 2 a 1 ciclo/volta [- a, a ] 2 1 b ciclo/volta [-1,1] 2 - y = cos(bx) b 3 - y = cos(x+c) ciclo / volta [-1,1] 4 - y = cos(x) + d ciclo/volta [-1+d,1+d]

9 83 Observações: O item 3 gera uma translação no sentido horizontal. Direita se c é negativo e esquerda se c é positivo. Já no item 4, há uma translação vertical. Para cima se c é positivo e para baixo se c é negativo. Exemplo: Esboce o gráfico da função f: R R y 3cos2x 1 4 Faremos uma alteração por vez, até chegar na função f. 1- a = 3 mudará essencialmente a amplitude. Im = {-3,3]. 2 b = 2 mudará a frequência e período. Serão dois ciclos a cada 2 rad (observe o destaque do segmento vermelho) e por isso o período será p =. 3 c = o gráfico se deslocará unidades para direita d = 1, inserirá no gráfico um translação de uma unidade para cima. Assim a imagem ficará Im = [-2,4]. Último passo para o gráfico definitivo. Gráfico da função f:

10 Função Seno. Para determinar a função cosseno: f: R R y = senx Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o eixo oy. A intersecção da perpendicular com o eixo oy, será o ponto S. A medida do senx é a abscissa do ponto S, ou seja: senx = y s Observação: A definição de seno na circunferência trigonométrica não contradiz a definição no triângulo retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente, assim como na função cosseno. Assim o valor de seno de um ângulo pode assumir o sinal positivo se o ponto S estiver acima da origem ou negativo se o ponto S estiver abaixo da origem. Veja: Fazendo a construção no programa GeoGebra 4 observamos: Quadrante I II III IV Sinal positivo positivo negativo negativo Crescimento crescente decrescente decrescente crescente Variação senx [0,1] senx [0,1] senx [-1,0] senx [-1,0] E o gráfico da função seno é: Da mesma forma que a função cosseno, a função seno possui imagem Im = [-1,1] Redução ao primeiro quadrante 4 Download gratuito, disponível em várias plataformas, no site:

11 85 Podemos relacionar os valores de seno de arcos em qualquer quadrante com, seno de arcos de qualquer outro quadrante. Essas relações nos dão subsídios para manipular algebricamente expressões que envolvam senos. Faremos o mesmo com outras funções trigonométricas. Exemplo: Determine o valor dos senos abaixo em relação a arcos de todos os quadrantes. (a) sen145º (b) sen205º (c) sen238º (d) sen345º (e) sen(-35º) (f) sen(-134º) Generalizando: sen(180º - x) = senx ou sen( - x) = senx sen( x 180º) = - senx ou sen( x - ) = - senx sen( 360º - x) = - senx ou sen( 2 - x ) = - senx sen(-x) = - senx Esses resultados podem ser igualmente definidos pela fórmula do seno da soma/subtração. Observação: Todas as relações trigonométricas válidas no triângulo retângulo, vistos anteriormente continuam valendo da mesma forma. 26. Relação em gráficos da função seno e cosseno.

12 86 Observe a diferença entre os gráficos da função seno e cosseno na imagem abaixo. Dizemos que há uma diferença de fase em relação aos gráficos das funções seno e cosseno, fazendo um deslocamento de unidades para esquerda ou direita os gráficos coincidem. Ou seja, dentro das variações da função cosseno, estudadas no item 2 24 deste arquivo, corresponderia a constante c =. 2 Assim: π senx = cos x 2 π senx = cos x 2 Podemos verificar esses resultados usando a fórmulas do cosseno da soma/subtração entre arcos ou relação existente entre arcos complementares. 27. Variações da função seno Na função seno básica: p = 2 A = 1 f = 1 Estudando a composição da função seno com uma função afim, verificaríamos as mesmas consequências nas definições de período, amplitude, frequência, imagem e alterações do gráfico que na função cosseno. Faça esse exercícios com o auxílio do GeoGebra, mas substituindo cosseno por seno. 28. Função Tangente Para obter o valor da tangente de qualquer arco no círculo trigonométrico: 1º) Trace o eixo t, tangente ao círculo no ponto A, será paralelo ao eixo oy, com mesma orientação. 2º) Estenda o segmento OP até encontrar o eixo t. 3º) Identifique o ponto T como a intersecção do prolongamento do segmento OP e o eixo t. 4º) tanx = y t Essa definição não contradiz o que conhecemos sobre tangente no triângulo retângulo e permite o cálculo da tangente para qualquer ângulo que possibilite a intersecção com o eixo t. Veja: Observação: Não é possível calcular tangentes de todos os ângulos, pois se estendermos o seguimento OP para ângulos de 90º, 270º e seus congruentes o segmento nunca interseccionará o eixo t, pois esse segmento está sobre o eixo oy, que é paralelo ao eixo t. A maneira de representar então o domínio da função tangente é excluir esses valores dos números reais.

13 87 Seja o conjunto A = {x R/ x π nπ, n Z}, a função tangente é: 2 f: A R f(x) = tanx 28.1 Gráfico da função tangente Pelo GeoGebra, podemos construir pela definição no círculo trigonométrico o gráfico da função tangente, que é: 28.2 Redução aos quatro quadrantes Exemplo: Determine o valor dos senos abaixo em relação a arcos de todos os quadrantes. (a) tan105º (b) tan200º (c) tan290º (d) tan(-55º) Generalizando: tan(180º - x) = tanx ou tan( - x) = tanx tan( x 180º) = tanx ou tan( x - ) = tanx tan( 360º - x) = - tanx ou tan( 2 - x ) = - tanx tan(-x) = - tanx

14 Outras funções trigonométricas As outras funções trigonométricas não serão estudadas. Presumimos que com os conhecimentos adquiridos com as funções seno, cosseno e tangente, tudo poderá ser deduzido. Até porque as relações do triângulo retângulo continuam válidas. Por exemplo: 1 cosecx senx tan 2 x + 1 = sec 2 x 30 Exercícios. 1 secx cosx cotan 2 x + 1 = cosec 2 x cotanx 1 tanx 1- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais: (a) cos 99º (b) cos301º 17 (c) cos 18 (d) cos195º 7 (e) cos 5 (f) cos610º 21 (g) cos 2 2-Preencha a tabela abaixo: x (rad) x (º) 45º 90º 120º 150º 240º 270º 315º 330º cosx senx tanx 3- Verdadeiro ou Falso? Corrija os falsos: (a) cos310º cos50º = 0 (b) cos66º = 2cos33º (c) cos 955º > cos 235º (d) cos 31º < cos 49º (e) tan 41º < tan 59º (f) cos 128º < cos179º (g) tan 203º > tan 261º 3 31 (h) cos = cos 7 7 (i) cos 31º < sen 59º (j) cos33º = cos147º

15 89 (k) tan161º = tan19º (l) cos358º = cos2º (m) cotan131º. tan41º= Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais: (a) sen345º (b) sen 127º (c) sen 256º (d) sen 872º 5- Reduza ao primeiro quadrante: (a) sen234º (b) sen 156º (c) sen283º (d) sen301º (e) sen120º (f) tan135º (g) sen 150º (h) sen 210º (i) sen 225º (k) sen 240º (l) sen300º (m) tan315º (n) sen 330º 6-Preencha as lacunas com >, <, = ou = : (a) sen 15º sen 67º (b) sen 125º sen 186º (c) sen 231º sen 129º (d) tan 171º tan 305º (e) tan 171º tan 189º 5 5 (f) sen sen 3 6 (g) sen 123º sen 690º (h) tan 171º tan 305º (i) cos 101º cos 79º 11 5 (j) sen sen 6 3 (k) sen 123º sen 843º (l) sen 234º sen 280º (m) sen 79º sen 101º (n) tan 271º tan 89º (o) sen 5 4 sen Determine se existir: (a) (b) (c) (d) 3 tan 4 4 tan 3 5 tan 6 5 tan 2 tan n, n Z (e)

16 90 8- Sabendo que secx = 4 e x II Q, determine tan2x. 9- Calcule o valor de tan150º + 2sen120º - cos330º Seja x IVQ tal que cosx =, determine senx, cossecx, secx, tanx e cotanx Simplifique as expressões abaixo: (a) senx.secx (b) 1 2sen 2 x + sen 4 x (c) sena.tana + cosa senb (d) cotanb + 1 cos b 2 cotan (e) 2 1 cotan 7- Complementar Determine amplitude, frequência, período e imagem das funções reais de variável real abaixo: (a) y = 5cos(2x) +3 (b) y = 6sen(5x)-6 (c) y x 2 cos 7 3 (d) y 2x 5 7sen 4 3 4