Funções. Conceitos Básicos. Unidade C. Matemática I Cálculo I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

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1 7 Unidade C Funções Conceitos Básicos Matemática I Cálculo I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

2 73 Funções A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por exemplo, como escrevemos o deslocamento de um móvel em movimento retilíneo variado dependendo do tempo? E se o móvel está em movimento retilíneo uniformemente variado? Como representar o número de habitantes de uma cidade em função do tempo? E a quantidade de calor transferido entre duas superfícies com temperaturas diferentes? Podemos relacionar essas grandezas na forma de funções, o que nos permitirão traçar e analisar gráficos, aprofundando o conhecimento sobre as grandezas que se relacionam e como se relacionam. Estudaremos apenas as funções que relacionam duas variáveis, geralmente usaremos x e y. Em que a variável x é chamada de independente e y de dependente. 1. Definição de função. Duas grandezas, x e y, em que x A e y B, A e B conjuntos não vazios, se relacionam como uma função se: I Todo x se relaciona com algum y B. II Cada x se relaciona com exatamente um y B. O conjunto A chamamos de domínio da função, B contradomínio e se existir uma expressão que relacione y a x, chamamos de lei da função. Notação: f: A B y = f(x) Exemplos: 1. Seja A o conjunto dos triângulos no plano e B o conjunto dos números reais. Se f relaciona o triângulo com a sua área, f: A B é função?. Seja A o conjunto das mulheres e B o conjunto dos homens. Se f associa a mulher com quem possui relacionamento romântico, f: A B é função? 3. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais. Se f associa cada pessoa com sua idade em anos, f: A B é uma função?

3 74 4. Seja A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números reais. Se f associa cada equação com suas soluções, f: A B é uma função? Observação:1 - O conjunto dos y B, tais que existem algum x relacionado a eles chama-se conjunto imagem.. Nosso objeto, nessa disciplina, é estudar funções cujo domínio e contradomínio são conjuntos numéricos. Exemplo: 1. Determine o conjunto imagem das funções entre os itens 1 a 4, anteriores?. Considere A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números inteiros. Se f relaciona cada equação de segundo grau com o número de soluções reais, f: A B é função? Caso afirmativo determine o conjunto imagem. 3. Defina a função que relaciona a área de um quadrado com o seu lado. Determine o conjunto imagem da função. 4. Defina a função que relaciona cada número real com o seu dobro. Determine o conjunto imagem.

4 75 5. Defina a função que relaciona a ordenada com a abscissa dos pontos do plano que pertencem à reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45º com o sentido positivo do eixo x. Determine o conjunto imagem da função.. Gráficos de funções. Nesta disciplina estudaremos o gráfico de algumas funções especiais. Não esboçaremos gráficos de outras funções. Aqui o objetivo é reconhecer o gráfico de uma função e reconhecer quando temos gráficos que não são de funções. Também poderemos definir domínio e imagem a partir do gráfico. (a) Domínio? Imagem? É função? (b) Domínio? Imagem? É função? (c) Domínio? Imagem? É função? (d)

5 76 Domínio? Imagem? É função? (e) Domínio? Imagem? É função? (f) Domínio? Imagem? É função? Observação: Passaremos a estudar funções específicas focando um maior número de detalhes. Geralmente se nada for dito, assume-se que o domínio e contradomínio da função são os reais. 3. Domínio de uma função. Se conhecemos apenas a lei de uma função podemos definir o domínio da mesma, pensando qual o maior subconjunto dos reais que torna a expressão uma função.

6 77 Exemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R (b) f: A R 1 y x y x Se pensarmos em domínios como subconjuntos dos números reais só existem duas restrições: I Divisão por zero; II Radicando negativo em raiz de índice par. Podemos ter combinações dessas restrições. Exemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R (b) g: A R 1 y x y x² 1 (c) f: A R y x 4 4 x (d) h: A R 1 y 3x 5 (e) f: A R (f) g: A R y x 3 x² x 1 y x 1 1 x 1 Observação: Após estudar as funções básicas voltaremos a determinar domínios com outras combinações destas restrições.

7 78 Unidade D Funções Tipos básicos Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE

8 79 4. Função afim. É todo função que pode ser escrita na forma: f: R R y = ax + b Em que a e b são constantes reais. Já estudamos esta função como a equação reduzida da reta. Sabemos o significado de a, coeficiente angular e b, coeficiente linear. Para completar o estudo desta função veremos: estudo do crescimento, raiz da função e o estudo do sinal Estudo do Crescimento. Estudar o crescimento de uma função é indicar os valores de x em que a função é crescente, decrescente ou constante. Estudo do crescimento da função f, cujo gráfico está ao lado: f crescente: f decrescente: Agora, se a função for afim, ela não terá mudança no comportamento, ou ela é sempre crescente, sempre decrescente ou constante. Função crescente Função constante Função decrescente 0 < < 90º = 0 90º < < 180º tan > 0 tan = 0 tan < 0 a > 0 a = 0 a < 0 Resumindo: a > 0 função afim crescente x R a = 0 função afim constante x R a < 0 função afim decrescente x R Exemplo: Determine o crescimento das funções afim, cujas leis são: 3 (a) y x 6 (b) y x 7 4

9 80 4. Raiz da função afim. Em geral, raiz de uma função, é o valor de x em que y = 0. Assim se a função é a afim: y = ax + b ax + b = 0 x b a Não precisamos ter isso como uma fórmula. Apenas sabendo a definição de raiz, chegamos na equação muito simples de resolver. Exemplo: Determine a raiz das funções abaixo: (a) f: R-{} R (b) f: R R 3x 7 y y = 4x - 10 x 4.3. Estudo do sinal. Estudar o sinal de uma função é indicar os intervalos do domínio, ou seja, valores de x, em que a função, ou seja, y, assume valores positivos, negativos ou nulos. Observe o gráfico abaixo. As regiões em rosa correspondem aos valores de x em que o gráfico está acima do eixo ox, ou seja, y>0. As regiões em azul correspondem aos valores de x em que o gráfico está abaixo do eixo ox, ou seja, y < 0. E os pontos estão no eixo ox, ou seja, y = 0. Exemplo: Estudo do sinal da função do gráfico acima: y > 0 y = 0 y < 0 Se a função é afim, temos quatro possibilidades: (a) a > 0 (b) a < 0

10 81 (c) a = 0 e b > 0 (d) a = 0 e b < 0 Exemplos: 1. Estude o sinal de cada função afim abaixo: (a) y = x 4 (b) y = 4 8x. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R y x 3 1 x (b) g: A R y 4x 1 3x 8

11 8 3. Resolva as inequações abaixo, em R: (a) < x 6 < 10 Interpretação geométrica da solução deste tipo de inequação. (b) 4x 5 6 3x 1 5. Função Quadrática É todo função que pode ser escrita na forma: f: R R y = ax² + bx + c Em que a, b e c são constantes reais e a 0, caso contrário a função seria afim. Já estudamos um tipo de função quadrática. A que b = c = 0, como a equação da parábola, cuja diretriz é horizontal e o vértice é o ponto V(0,0), pois nesse caso a equação é y = px². Aqui temos uma diversidade maior. Descubra qual as coordenadas do vértice, foco e reta diretriz para esses casos.

12 Raízes e intersecção com o eixo oy. As raízes são os valores de x em que a função assume y = 0 e vemos esses pontos no gráfico como intersecções com o eixo ox. Já que o gráfico é uma parábola, podemos ter no máximo duas raízes. Duas raízes. Uma raiz. Nenhuma raiz. Raízes: Soluções de ax²+ bx + c = 0. Intersecção com o eixo oy: Substituindo x = 0 na lei da função quadrática: y=a.0² + b.0 + c y = c. Na maioria dos casos, apenas com as raízes e a intersecção com o eixo oy traçamos um bom esboço da função quadrática. Exemplo: Esboce o gráfico da função quadrática: y = x² - 10x Forma fatorada da função quadrática. Podemos escrever a lei da função quadrática sendo conhecidos as raízes, x 1 e x da função: y = a(x x 1)(x x ) Exemplo: Determine a forma fatorada da lei da função quadrática: (a) y = x² - 10x + 8

13 84 (b) y = 3x 18x Vértice. Para a função quadrática o vértice agrega outro caráter, é o ponto de máximo ou mínimo da função e a partir daí podemos determinar o conjunto imagem da função e a reta de simetria do seu gráfico. Pela simetria, podemos pensar que a abscissa do vértice é o ponto médio entre as raízes da função. Sabemos da fórmula de Bhaskara, que as raízes da função quadrática são: b b x' e x'' a a Para definirmos a abscissa do vértice, façamos o ponto médio das raízes: x v x v b a b a b a Para encontrarmos a ordenada do vértice, substituímos x v na equação da função quadrática: y v y v b b a b a a 4ac b². 4a 4a c b² a 4a² Logo o vértice tem coordenadas: b² a c V b a, b a b² b² 4ac 4a 4a Observação: Mesmo que não existam raízes reais o modo de calcular as coordenadas do vértice serão as mesmas, pois para a abscissa do vértice as raízes quadradas que não seriam números reais sempre se anulam e sempre existe, já que na ordenada do vértice não é necessário extrair sua raiz quadrada. Exemplo: Determine as coordenadas do vértice da função quadrática, o conjunto imagem desta função e a equação do eixo de simetria do seu gráfico: (a) cuja lei é y = x² 10x + 1 b a

14 85 (b) cuja lei é y = -3x² + 7x Concavidade. y ax b a 4a A parábola da esquerda (roxa) tem concavidade para cima e a parábola da direita (verde) tem concavidade para baixo. Como diferenciar a concavidade conhecido a lei da função quadrática y = ax² + bx + c? Notamos que se determinarmos as raízes da função e a intersecção com o eixo oy a concavidade fica automaticamente determinada. Podemos analisar diretamente pelo sinal do coeficiente a. Colocando a em evidência, obtemos: b c y ax² x a a Fazemos um processo chamado de Completar quadrados 1 e assim podemos reescrever a lei da função como: chamada de forma canônica da função quadrática. Entendemos que para valores de x + ou x -, temos x b a 4a +, b pois x e é constante, mesmo que este número seja negativo. a 4a Assim, se a > 0, então y +, na condição de x +, fazendo com que a concavidade da parábola seja para cima. Se a < 0, então y, na condição de x +, fazendo com que a concavidade da parábola seja para baixo. Se a > 0, então o gráfico tem concavidade para cima. Se a < 0, então o gráfico tem concavidade para baixo Estudo do Crescimento. Independente do número de raízes, o estudo do crescimento é definido pela concavidade e o vértice do gráfico da função quadrática. 1 Procedimento bastante importante para o cálculo de Integrais, vistos na disciplina de Matemática II.

15 86 Com a concavidade para cima, a > 0, tem-se: f é crescente: x ]x v, + [ f é decrescente: x ], x v[ Isso faz com que o vértice seja um Ponto de Mínimo. Com a concavidade para baixo, a < 0, tem-se: f é decrescente: x ]x v, + [ f é crescente: x ], x v[ Isso faz com que o vértice seja um Ponto de Máximo Estudo do Sinal. Para determinarmos os intervalos de x em que a função assume valores positivos, negativos ou nulos, necessitamos saber a concavidade do gráfico e as raízes da função. Com isso temos seis possibilidades. a > 0 a < 0 Duas raízes. Duas raízes. a > 0 a < 0 Uma raiz. Uma raiz. a > 0 a < 0 Nenhuma raiz. Nenhuma raiz. Exemplos: 1. Estude o sinal de cada função afim abaixo: (a) y = -x²+ 3x + 4

16 87 (b) y = x² +. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R y x² 5x 6 x (b) g: A R y x 3 x² 3x 4

17 88 (c) h: A R y x² x² 3x 16 x² 3x 3. Resolva as inequações abaixo, em R: (a) 3 < x² 4x < 0 Interpretação geométrica da solução deste tipo de inequação.

18 89 (b) x² 6 x² 0 x 3 0 Interpretação geométrica da solução deste tipo de inequação. x² 3x 1 (c) x 1 x 4

19 90 6. Função Composta A ideia geral das funções compostas é aplicar duas funções consecutivamente. Considere f: A B e g: C D. y= f(x) y= g(x) Para podermos aplicar a função f primeiro, e no seu resultado a função g, o conjunto B deve estar contido no conjunto C, pois caso contrário, existirá x A que não possua y D relacionado a ele. gof: A D y = g(f(x)) f g A B C D g(f(x))= gof(x) Para podermos aplicar a função g primeiro, e no seu resultado a função f, o conjunto D deve estar contido no conjunto A, pois caso contrário, existirá x C que não possua y B relacionado a ele. g f C D A B fog: C B y = f(g(x)) f(g(x))= fog(x) Exemplo: Verifique a existência das funções compostas fog e gof, no caso afirmativo determine também a lei da função composta. (a) f: R R g: R R y = x y = x²-3x+

20 91 (b) f: R-{1} R* g: [,+[ R + 1 y y x x 1 (c) f: R [,+[ g: [,+[ R + y = x² + y x (d) f: R R g: [5,+[ R + y = x + 1 y x

21 9 7. Função inversa. Seja f: A B. Dizemos que a função f possui inversa, função g: B A, y=f(x) y= g(x) se para todo par (a,b) f, ou seja, b=f(a); tem-se (b,a) g, ou seja, a = g(b) e g ser uma função. De modo simples o domínio de uma é imagem da outra e a imagem da outra é domínio da uma. Os papéis de x e y se invertem. f: R R g: R R y = x x y = (1,) f (,1) g (3,6) f (6,3) g 1 1, 1 f 1, g... Ambas são funções, os gráficos de ambas são retas. Podemos dizer que f e g são inversas entre si, ou g = f -1. Até a lei faz uma alusão ao inverso: a operação inversa de multiplicar por é dividir por. Infelizmente a maioria das funções não são tão simples para enxergarmos esta correlação. O gráfico de funções inversas possuem simetria em relação à reta y = x. Enxergamos a simetria se dobrarmos o gráfico na reta y = x os gráficos da função f e g se sobrepõe. h: R R g: R R y = x² x = y² (,4) h (4,) g (3,9) h (9,3) g , h, 4 4 g... Só que neste caso, g não é função!!! h é função, g satisfaz o critério da operação inversa, mas g não é função, então não podemos dizer que g É FUNÇÃO INVERSA de h. O critério da inversa faz com que os gráficos, mesmo neste caso que a g não é função, é a simetria dos gráficos em relação à reta y=x. Em consequência da definição, se f e g são funções inversas entre si, temos: fog: B B e gof: A A y=fog(x)=x y=gof(x)=x

22 93 Exemplo: 1. Verifique se as funções abaixo são inversas entre si: (a) f: R R g: R R 1 x 3x 1 y y 3 (b) f: [1,+[ R + g: R + [1,+[ y x 1 y x² 1. Verifique a existência da função inversa de f, apenas baseado em seu gráfico. Se existir, esboce seu gráfico e determine domínio e imagem. (a) (b)

23 94 (d) (e) 3. Determine a função inversa das funções abaixo, se existirem. 1 (a) f: [-,+[ [,+[ (b) g: R-{} R- x 1 y x y x 4

24 95 (c) h: R R + y = x - 1

25 96 8. Função Exponencial É todo função que pode ser escrita na forma: f: R R + y = a x Em que a é um número real tal que 0 < a 1. Observação: 1. Se a < 0, com x R, poderíamos ter, por exemplo, a = - e x = 1 e assim teríamos 1 y = R, ou seja, f não seria função.. Se a= 0, poderíamos ter x = -1. Assim y = 0-1 = 0 1, que não existe. 3. Se a = 1, teríamos y = 1 x = 1, independente do valor de x, logo seria uma função afim e não exponencial. 8.1 Gráfico da função exponencial e exemplos. O gráfico ao lado é o gráfico da função exponencial, cuja lei é y= x. Para fazer seu gráfico incialmente podemos obter alguns pontos e depois passar uma linha por estes pontos. Será que a função intersecciona o eixo ox? Para isso deveríamos achar resposta para x = 0 e de fato não existe x para que isso ocorra. No caso da função ser crescente, podemos dizer que quanto mais x se aproxima de, mais y se aproxima de zero, mas nunca será zero. E quanto mais x se aproxima de +, mais y vai a +. Esse comportamento da função exponencial é de extrema importância. Vejamos um outro gráfico. O gráfico ao lado é o da função, cuja lei é g(x) x 1. x y x y Podemos fazer este gráfico analogamente ao anterior. Desta vez, nos deparamos com uma função decrescente. O comportamento da função g se inverte em relação ao crescimento e assim podemos dizer que quanto mais x se aproxima de, mais y se aproxima de +. Assim como quanto mais x se aproxima de +, mais y se aproxima de zero. Dessa forma o eixo ox é uma assíntota da função exponencial. Tanto na função exponencial crescente, quanto na decrescente o gráfico da função intersecciona o eixo ox no ponto (0,1).

26 97 8. Crescimento. Com a função exponencial básica, ou a função é apenas crescente, ou apenas decrescente. Como diferenciar os dois casos? Tiramos esta resposta da aritmética e das regras de potenciação. Analisamos dois casos: Se 0 < a < 1 e se a > 1. Se a > 1, à medida que aumentarmos o x, maior ficará o y, isso significa que a função é crescente. Ao lado, os gráficos bordô, azul e verde são respectivamente das funções exponenciais, cujas leis são: y= 3 x, y = x e y = 1,5 x. Por exemplo, considerando a = : -1 < 0 < 1-1 < 0 < 1 Se 0 < a < 1, à medida que aumentarmos o x, menor ficará o y, isso significa que a função é decrescente. Ao lado os gráficos verde, vermelho e azul são respectivamente das funções exponenciais h, g e p, cujas leis são: y x, 3 y x 1 e y 1 3 x Por exemplo, considerando a = 1-1 < 0 < Se 0 < a < 1, então a função exponencial é decrescente. Se a > 1, então a função exponencial é crescente. Exemplo: Determine o crescimento das funções abaixo: (a) f: R R + y x 3 (b) g: R R + y 3 x (c) h: R R + 5 y 7 4x

27 Estudo do Sinal A função básica f: R R + não intersecciona o eixo ox e está toda acima y = a x deste eixo, logo é sempre positiva. Agora quando compomos a função exponencial com outras tudo pode acontecer. Isso requer que saibamos resolver equações e inequações envolvendo expressões exponenciais. 8.4 Equações exponenciais. Qual é a raiz da função f : lr lr? Sabemos que a função exponencial básica não 5x y 3 9 * g : lr lr tem raiz, mas esta é o resultado da composição da função h : lr lr, x y 3 y x 9 p : lr lr e. y 5x Descobrir a raiz da função f requer que resolvamos a equação 3 5x- - 9 = 0. Outras composições exigirão resolver outras equações, então passamos agora a resolvêlas. Para isso vamos retomar algumas propriedades da potenciação: a a a b x y x x a a x x a b y x x y a x (ab) x y a, se a 0. x a, se b 0. b x xy 5 - a a y x y 6 - a a x y 7 - a a x y x a, se a 0. x a 9 a 0 = 1, se a a 1 = a. A fim de resolver uma equação exponencial podemos aplicar estas propriedades e somente estas, além das manipulações algébricas conhecidas. Exemplo: Resolver as equações abaixo: (a) 4 x 1 x = 3 (b) 81 3 y x (c) x x (d) 3 5x- - 9 = 0

28 99 (e) 5 x x x = 05 (f) 4 x = x Inequações exponenciais. f : lr lr Para que valores do domínio assume valores positivos ou 5x y 3 9 negativos? Sabemos que a função exponencial básica não tem raiz e é apenas positiva, mas e esta? Determinar em que valores de x, f é positiva requer que resolvamos 3 5z- - 9 > 0 e para valores negativos, 3 5z- - 9 < 0. Para isso além de considerar as propriedades de potenciação e as manipulações algébricas já conhecidas, devemos considerar as propriedades abaixo relacionadas com o crescimento de uma função exponencial: 11 Se a > 1, então: 1 Se 0 < a < 1, então: a x1 < a x x 1 < x. a x1 > a x x 1 < x.

29 100 Exemplo: Resolver as equações abaixo: (a) 3 x-1 x 1 1 > 7 (b) 8 x 16 (c) x x (d) 3 5x- - 9 > 0 (e) 3 x x+ < 108 (d) 5 x+ 5 x+3 > 5 x - 5

30 Função inversa da função exponencial. Sendo f: R R + função exponencial, então g: R + R é sua inversa, desde y = a x x= a y g seja função. Não esqueça, a é um número real tal que 0 < a 1. Como conhecemos o gráfico da função f e que gráficos de funções inversas entre si são simétricos em relação à reta y = x, podemos verificar s g é função. Ao lado a curva azul é o gráfico de uma função exponencial em que a > 1. A curva vermelha foi produzida pela simetria. Nota-se que é uma função e que, identicamente a f, g é crescente. Lembramos que pela definição de função inversa: (a,b) f (b,a) g Podemos já fazer o estudo do sinal da função g: y > 0 x > 1 y = 0 x = 1 y < 0 0 < x < 1 Também podemos estudar o sinal da função inversa da exponencial quando 0 < a < 1. y > 0 0 < x < 1 y = 0 x = 1 y < 0 x > 1 Ambas são decrescentes nas mesmas condições. Devemos obter um modo de explicitar y na lei de g e a função estará definida. Na lei da função inversa da função exponencial: x = a y, para explicitar y que está no expoente, temos a definição de LOGARITMO! Que nada mais é do que o EXPOENTE! Logaritmo é o expoente!!!!! Agora podemos definir a função logarítmica básica: g: R + R y = log ax Em que: 0 < a 1 e só está definido para x > 0. Qualquer alteração na função logarítmica básica requer minucioso estudo, por isso estudaremos o logaritmo como algo independente da definição de função, resolveremos equações e inequações logarítmicas. 9.1 Logaritmo. Se 0 < a 1, o resultado de a x é estritamente positivo, assim se a x = b, temos b > 0. Logaritmo é o expoente de uma equação exponencial. a x = b x = log ab

31 10 Desde a sua criação, no século XV, foram criadas tabelas indicando alguns valores de logaritmos na base 10. Felizmente hoje não necessitamos destes artifícios devido ao amplo uso das calculadoras, mas não pense que tu poderá usála na prova. Precisamos desenvolver as propriedades dos logaritmos, assim como temos as propriedades de potenciação. E por exemplo se uma resposta resultar em log 3, deixamos assim, da mesma forma que se o resultado é, na matemática, não dizemos que o resultado é 1,41, deixamos. 9. Propriedades dos logaritmos. Mostraremos as propriedades de logaritmos juntamente com as propriedades de potenciação, pois são INVERSAS uma da outra. a 0 = 1 log a1 = 0 a 1 = a log aa = 1 a x.a y = a x+y log a(x. y) = log ax + log ay a a x y x y x a log ax y = ylog ax x y a loga loga x loga y x y y a f(x)=a x g(x)=log ax f(g(x))= x a x = a y x = y log x a z x log ax = log ay x = y Exemplo: 1. Sabendo que log bx = - e log by = 3, calcule x log b. 3 y. Se loge = 1 + loga + logb logc, então calcule E. 3. Se log8 = a e log3 = b, calcule: (a) log (b) log 3 18

32 Fórmula de mudança de base. Caso queiras alguma explicação adicional a como se chega a fórmula da mudança de base, procure atendimento. logx y log log a a y x Em que a é a nova base. Exemplo: Resolver as equações abaixo e calcule aproximadamente o valor de x: (a) x = 3 (b) 5 x = 7 (c) 8 x = Equações exponenciais e logarítmicas. Nos exemplos anteriores já conseguimos resolver algumas equações exponenciais que somente com o conhecimento de exponencial não conseguiríamos. Agora incrementaremos estes casos e resolveremos equações logarítmicas, com base nas suas sete propriedades e mais na fórmula da mudança de base. Bastante importante, pois a maioria das propriedades de logaritmação só são válidas quando estão na mesma base. Exemplo: Resolver as equações abaixo e deixe as respostas com os resultados logarítmicos mais simples possíveis: (a) 3 1-x = 4 (b) x = 3 x (c) log 4(3x+)=log 4(x+5) (d) log x(4x-3)=log x(x+1)

33 104 (e) log 3(x-11)= 3 (f) log 4(log x)=1 (g) log x 7 log x 6 0 (h) log(x+1) log(x) = (i) log 3x = 1 + log 9(x-9) 9.5 Inequações logarítmicas. Ao resolver inequações logarítmicas devemos ter o mesmo cuidado do que com as equações exponenciais, pois se estamos comparando desigualdade de potências devemos saber como comparar os expoentes. Tudo depende da base ser de uma função exponencial ser crescente ou decrescente lembram-se? O mesmo caso agora, com o agravante que ainda temos as condições de existência do logaritmo, ou seja a base 0<a1 e logaritmando estritamente positivo. Exemplo: Resolver as inequações abaixo: (a) log 4x < log 45

34 105 (b) log x² log (x ) 1 1 (c) log 3(x²-8x) < (d) log x log (x 1) log (x 3) (e) ln x lnx > 6

35 106 (f) log x log x 10. Exercícios. 1- Determine o maior subconjunto dos reais que torna as expressões abaixo em funções: a f : A f(x) lr x 4 h : A lr c h(x) x 1 x g : A lr b x 3 g(x) x 1 g : A lr d g(x) 4 x x 3 x² 1 - Determine o domínio de cada gráfico abaixo. Analise se os gráficos abaixo ;são referentes a funções, considerando o seu domínio. Justifique sua resposta. No caso de função determine o conjunto imagem. a b

36 107 c d 3 Responda: a. Uma função afim pode não ter raiz? Em que situação? b. O gráfico de uma função afim é uma reta. E toda reta pode ser definida como uma função afim? 4 Resolva as inequações abaixo, em R: a. b. c. d. e. f. g. h. 11. Exercícios. Esboce o gráfico das funções f:r R abaixo, determinando as raízes, o vértice, a intersecção com eixo oy e a concavidade da função. 1- y=x²-x+4 - y=3x-x² 3- y=x²-10x+7 4- y=4x-x² Resolva, em R, as inequações abaixo: 5- (x-3)(x²-7x+10) < 0 6-0x-4x²-5 < < x² - 3x + < 6 8- (1-4x²)(x²+3x) > 0 9- (x²-x+8)(x²-5x+6) < 0 4x² x 5 3x x² 3x x² 3x 1- x x x x x 1 x 1 x 1

37 Exercícios. Determine as funções compostas fog ou gof, se existirem: f : lr lr f : lr lr f : lr lr 1- e - e f(x) 3x 1 f(x) 3x 1 f(x) x³ g : lr lr g(x) x f : lr lr 3- x e f(x) x 1 g : 1, lr f : 1, g(x) x 1 lr 4- e 4 f(x) x 1 g : lr g(x) x 6 1 1, Determine a função inversa de cada função abaixo. Em caso negativo, justifique: f : lr lr f : lr* lr 4 g : lr lr y x 5 4x 1 y 3x 1 y x 3 h : lr 8- x 3 y x 3 1 lr f : lr 11- x f(x) x 1 lr 1 1 g : lr lr f : lr lr y 4x y x x Verifique se existe a função inversa das funções representadas pelos gráficos abaixo. Em caso afirmativo, esboce o gráfico da inversa, em caso negativo, justifique: Exercícios. Classifique as funções exponenciais, cujas leis estão abaixo segundo seu crescimento. (a) x y (b) y x 3 e (c) y x e

38 109 (d) y = -x (e) y 4 x Compare as potências abaixo, colocando entre elas os sinais adequados de < ou >: (a) (c) (d) Resolva as equações exponenciais abaixo: (b) (0,9) 4 (0,9) -5 (a) x = 64 (b) 3 x- = 9 x x (c) x 1 (d) 3 (e) x + x-1 = 1 (f) 3 x- + 3 x+1 = 84 (g) x 9. x = - 8 (h) 4 x+ 3. x+3 = 160 e 10 Resolva as inequações exponenciais abaixo: (a) 5x > 3x+10 x x x 1 (b) 0,01 0,01 (c) (d) (0,5) x-1 + (0,5) x- > 48 (e) 4 x x+ 180 < 0 x 1 3 x Determine o maior subconjunto A dos reais que tornam as expressões abaixo em leis de uma função f: A R. (a) y = x x 7 x 7 (b) y x x (a) Estudo o sinal da função f: R R em que f(x) = 1. 3 (b) A função f intersecciona a reta y = -1? Justifique. (c) Qual a imagem da função f? (d) Em que ponto o gráfico de f intersecciona o eixo oy? (e) Esboce o gráfico da função f. 3x 1 14 Exercícios. Determine o maior subconjunto dos reais que torna a equação abaixo na lei de uma função: x 3 1- y log - y log1 x 5x 6 3- y log x3 x x² 5 x Determine a função inversa das leis abaixo, incluindo seu domínio. 5x 1 4- y y x 5 Resolva as equações abaixo, em R:6-3 x = x + x x-1 = 3 x+ 8- log 3 5x 4 log log x(6x-5) = log x(x-1) 10- log(4x-3) =

39 log log x 0 log log 4 x 5 log4 x 13- log 3(x²-x-5)-log 3x = log x = log x Resolvas as inequações abaixo, em R: 15-3 x > log 9x < log 9 (-5x) 17- log x 3 log 5 x 18- log x > Estude o sinal da função abaixo: f: R + R y = log x 3 log x

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67 Unidade E Funções Trigonométricas Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE FURG

68 Trigonometria no triângulo retângulo, resolução de triângulos quaisquer. Todos os resultados da trigonometria do triângulo retângulo continuam válidos. Por exemplo: Por definição se +=90º : (a) cos BC AC sen (b) sen AB AC cos (c) tan AB 1 cot an BC tan (d) sen tan (d) cos E também por definição: cos 1 cot an (e) sec (f) sen cos cos sec 1 sen Alguns resultados consequências dessas definição: (a) sen² + cos²=1 (b) tan² + 1 = sec² (c) cotan² + 1 = cossec² Alguns resultados bastante importantes são as leis dos cossenos e senos, que basicamente resolvem triângulos quaisquer, além do Teorema de Pitágoras, que só se aplica aos triângulos retângulos e seno e cosseno dos arcos soma. a b c (a) Lei dos Senos: sen sen sen (b) Lei dos Cossenos: c² = a² + b² - ab. cos (c) Seno da adição/subtração: sen(a b) = sena. cosb senbcosa (d) Cosseno da adição/subtração: cos(a b) = cosacosb senasenb Muitos outros resultados podem ser concluídos a partir deste, por exemplo: senx, tan(a+b), etc. 16. Circunferência trigonométrica. Se inserirmos numa circunferência de raio unitário (r = 1) os eixos do sistema cartesiano ortogonal, de maneira que a origem do plano cartesiano coincida com o centro da circunferência, que seja fixado um ponto A (1,0) chamado de origem dos arcos, de onde, como o nome sugere, são determinados arcos com início nesse ponto. Podemos visualizar os arcos com o ponto A fixo e o ponto P móvel. Se o ponto P se desloca no sentido anti-horário o arco AP é positivo e se o ponto P se desloca no sentido horário o arco tem medida negativa. Para as funções trigonométricas precisamos de domínio real, assim, os ângulos serão convertidos em radianos para equivaler a uma unidade de medida, ou seja, um número real. Para medir o comprimento de um arco de círculo subentendido por um ângulo,, em radianos: S= r Se r = 1, tem-se, S =.

69 140 OP = r = 1 = rad 4 comp(ap ) = Observações: med(ap) = med(aq) = Todos os arcos têm origem em A, o que determinará se o arco determinado no sentido anti-horário ou horário é o sinal do arco; Para converter um ângulo em graus em radianos ou vice-versa, basta uma regra de três simples, fazendo a correspondência rad 180º; Os eixos coordenados dividem a circunferência (e o plano) em quatro quadrantes, numerados segundo o sentido positivo dos arcos. Os limites dos arcos de acordo com os quadrantes estão dispostos na figura a seguir (complete): Em graus: Em radianos: IQ: < < IQ: < < IIQ: < < IIIQ: < < IVQ: < < IIQ: < < IIIQ: < < IVQ: < < Atribuindo sentido a arcos positivos e negativos atribuímos sentido também a arcos maiores que 360º ou rad, basta imaginarmos o ponto P "móvel" completando mais de uma volta. A todo arco maior que uma volta corresponde a um arco da primeira volta. Arcos que começam e terminam no mesmo lugar, diferenciando-se apenas por um número inteiro de voltas, chamam-se de arcos côngruos. Se e são côngruos: Em radianos: - = n, n Z. Em graus: - = 360ºn, n Z. 17. Função Cosseno. Para determinar a função cosseno: f: R R y = cosx Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o eixo ox. A intersecção da perpendicular com o eixo ox, será o ponto C. A medida do cosx é a abscissa do ponto C, ou seja, II III O IV I cosx = x c A definição de cosseno na circunferência trigonométrica não contradiz a definição no triângulo retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente. No triângulo retângulo só aparece ângulos agudos, só existia sentido cosseno de ângulos entre 0º e 90º. Agora podemos definir cosseno para qualquer arco, seja positivo ou negativo, maior que 360º ou menor que 360º, ou melhor, qualquer ângulo em radianos. Assim o valor de cosseno de um ângulo pode assumir o sinal positivo se o ponto C estiver a direita da origem ou negativo se o ponto C estiver à esquerda da origem. Quadrante I II III IV Sinal Crescimento Variação

70 141 Exemplo: Determine o valor dos cossenos abaixo em relação a arcos do primeiro quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo que arcos sejam em radianos. (a) cos10º (b) cos45º (c) cos78º (d) cos335º Observação: Todas as relações trigonométricas válidas no triângulo retângulo, vistos no arquivo H, continuam valendo Gráfico Função Cosseno. As funções trigonométricas são ditas periódicas, pois existe um número real p, tal que: f(x)=f(x+p), já que ao completar uma volta a função passa a assumir os mesmos valores da primeira volta, o mesmo acontece com o sentido horário. O menor valor de p possível, válido para todo x é chamado de período. A metade da maior variação horizontal do gráfico é chamada de amplitude. Frequência de uma função periódica é o número de ciclos numa determinada unidade de tempo. Na função cosseno básica: p = A = 1 f = 1 Qualquer variação na função cosseno, esses parâmetros são alterados:

71 14 f: R R y = acos(bx+c)+d y = acos(x) Período Amplitude Frequência Imagem y = cos(bx) y = cos(x+c) y = cos(x) + d y = acos(bx+c)+d Exemplo: Esboce o gráfico da função f: R R y 3 cos x Função Seno. Para determinar a função cosseno: f: R R y = senx Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o eixo oy. A intersecção da perpendicular com o eixo oy, será o ponto S. A medida do senx é a abscissa do ponto S, ou seja: senx = y s A definição de seno na circunferência trigonométrica não contradiz a definição no triângulo retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente, assim como na função cosseno. Assim o valor de seno de um ângulo pode assumir o sinal positivo se o ponto S estiver acima da origem ou negativo se o ponto S estiver abaixo da origem.

72 143 Quadrante I II III IV Sinal Crescimento Variação Exemplo: Determine o valor dos senos abaixo em relação a arcos do primeiro quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo que arcos sejam em radianos. (a) sen145º (b) sen05º (c) sen38º (d) sen345º Gráfico Função Seno. Na função seno básica: p = A = 1 f = 1

73 144 Observe a diferença entre os gráficos da função seno e cosseno na imagem abaixo. Dizemos que há uma diferença de fase em relação aos gráficos das funções seno e cosseno, fazendo c = em uma das funções, os gráficos coincidem. Qualquer variação na função seno, esses parâmetros são alterados: f: R R y = asen(bx+c)+d y = asen(x) Período Amplitude Frequência Imagem y = sen(bx) y = sen(x+c) y = sen(x) + d y = asen(bx+c)+d Exemplo: Esboce o gráfico da função f: R R x y sen 3

74 145 Deveríamos estudar tão profundamente como as funções seno e cosseno, as funções tangente, cossecante, secante, cotangente. Pela escassez de tempo, deixamos a cargo do estudante usar os conhecimentos aqui vistos para deduzir as propriedades destas outras funções. 19 Exercícios. 1- Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 10 cm e a hipotenusa mede 1 cm. Determine o valor do cosseno de cada ângulo agudo do triângulo. 7 - Seja o ângulo agudo x tal que cosx =, determine senx, cossecx, secx, tanx 5 e cotanx. 3- Calcule o comprimento da sombra projetada por um poste de 6 metros de altura no instante em que os raios solares que incidem sobre ele formam com o solo, horizontal, um ângulo de 60º. 4- Uma telha de um galinheiro quebrou. Em dias chuvosos, uma goteira produz no chão, embaixo da telha quebrada, uma pequena poça de água a 1,85 metros de uma das paredes do galinheiro, conforme a figura. Considerando que a espessura dessa parede é de 15 cm e que d é a distância entre o ponto mais alto do telhado e a quebra da telha, calcule, d em metros. 5- Um túnel reto AB deverá ser construído a partir da perfuração de uma montanha. De um ponto C situado a 65 metros de A, na perpendicular ao traçado do túnel avistam-se as futuras extremidades do túnel sob ângulo de 60º. Qual o comprimento do túnel a ser construído? 6- Dois homens, H 1 e H, com metros e 1,50 metros de altura, respectivamente, estão em pé numa calçada, em lados opostos de um poste de 5 m de comprimento, iluminados por uma lâmpada desse poste, como mostra a figura. Determine a distância entre os homens. 0. Exercícios. 1- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais: (a) cos 99º (b) cos301º 17 (c) cos 18 (d) cos195º 7 (e) cos 5 (f) cos610º 1 (g) cos

75 146 -Preencha a tabela abaixo: x (rad) x (º) 45º 90º 10º 150º 40º 70º 315º 330º cosx senx 3- Verdadeiro ou Falso? Corrija os falsos: (a) cos310º cos50º = 0 (b) cos66º = cos33º (c) cos 955º > cos 35º (d) cos 31º < cos 49º (e) cos 18º < cos179º (f) cos 03º > cos 61º 3 31 (g) cos = cos 7 7 (h) cos33º = cos147º (i) cos161º = cos19º (j) cos358º = cosº 4- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais: (a) sen345º (b) sen 17º (c) sen 56º (d) sen 87º 5- Associe o valor de cada seno, com um arco do primeiro quadrante: (a) sen34º (b) sen 156º (c) sen83º (d) sen301º (e) sen10º (g) sen135º (h) sen 150º (i) sen 10º (j) sen 5º (k) sen 40º (l) sen300º (m) sen315º (n) sen 330º 6-Preencha as lacunas com >, < ou = : (a) sen 15º sen 67º (b) sen 15º sen 186º (c) sen 31º sen 19º (d) sen 171º sen 305º

76 (e) sen sen 3 6 (f) sen 13º sen 690º 11 5 (g) sen sen 6 3 (h) sen 13º sen 843º (i) sen 34º sen 80º (j) sen 79º sen 101º 5 7 (k) sen sen Determine amplitude, frequência, período e imagem das funções reais de variável real abaixo: (a) y = 5cos(x) +3 (b) y = 6sen(5x)-6 (c) y x cos 7 3 (d) y x 5 7sen 4 3 4

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95 Respostas dos exercícios item (a) A = [4,+[ (b) A =,, (c) A = 1, (d) A = R - (a) A = R. É função, porque qualquer reta vertical interseciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im = ]0,+[. (b) A = [6,6[. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im=[4,7[. (c) A = R. Não, há três intersecções com o eixo oy, ou seja, para x = 0 existem três valores de y relacionado a ele. (d) A = R - {1}. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im= R. 3- (a) Sim, no caso em que a = 0 (reta horizontal). (b) Não, uma reta vertical não é função. 4- (a) (b) (c) (d) (e) (f) 1 S x lr / x ou 3 1 S, S x lr / x 1 ou x ou S, 1 5, 5 5 x lr / x ou x S ou S,, 4 x lr / x ou x S ou S, 6, S x lr / x ou x ou S,, 3 S x lr / x ou x ou 3 (g) S x lr / x 1 ou S 1, (h) 3 x lr / x 1 ou x ou x S,, 3 S ou S,1, 3,. Respostas dos Exercícios item

96 167 3 S x lr/x ou x 5 5- ou S,, S x lr/ x ou S 1,1, S, 0, 9- S = [,3] S,,1, 4 S 5 lr 11- S 1,, 3 1- S x lr/x -1 ou 0 x 1 ou S, 1 0,1 13- S, 3. Respostas dos exercícios do item 1. 3 fog : lr* 1- gof e x 3 y x 3- gof e fog 1 f : lr lr 5-5 y x 1 1 f : lr 7- y x g : lr lr 9-3 x y 4 lr * lr fog : lr - e y 7 7x lr 9x x gof : 1, 1, 4- e y x g 1 : lr 6- x 1 y 3 h 1 8- y : lr 3x 3 x 1 1 lr lr 3 y gof : lr y 3 x fog : lr 3 x lr lr

97 Não existe a inversa, pois para f, por exemplo, y=0, está relacionado com x= 0 e x = -1. (0,0) f e (-1,0) f, ou seja, (0,0) f -1 e (0,-1) f -1, para f -1 temos dois y para o mesmo x, logo não é função. 11- f=f -1 1 a 14 e 17- Não existe, pois há mais de um x para o mesmo y, assim na inversa teria mais de um y para o mesmo x, não sendo função. 15- Existe, e o gráfico é idêntico. 16- Existe, gráfico em vermelho. 4. Respostas dos exercícios do item (a) Decrescente (b) Crescente (c) Crescente (d) Decrescente (e) Crescente (a) > (b) < (c) < (d) < 3 (a) S = {6} (b) S = {4} (c) S = (d) S = {-5} (e) S = {3} (f) S = {3} (g) S = {0,3} (h) S = {} 4 (a) S = ]5, +[ (b) S = R-{1} (c) S = ]-4, +[ (d) S = ]-,-3] (e) S = ]-, 3[ 5 (a) A = ]-, 0] [,+[ (b) A = ]6, +[ 6 (a) y > 0 x 1 1, 3 ; y = 0 x = e y < 0 x 1 3, 3 1 (b) Não, pois depende da solução da equação 0, que não existe. 3 (c) A reta y = -1 é assíntota da função (resultado de (b), poderemos generalizar o conceito de assíntota quando estudarmos limites), desta forma Im = ]-1, +[ (d) P(0,) (e) 3x 1

98 Respostas dos exercícios do item A = ]3, 5[ - A=]-,[]3,+[ 3- A = ]-1,1[]1,3[ 4-5- f: ]-9,+[ R g: ]4,+[ R y 1 1 x 4 log3x 9 y 5 log x log x log x = 9- S= 10- x x = 3 1- S = {,16} 13- S = {-1,5} 1 S, S= 0, S= 18- S= ]8,+[ S = 7, log f>0 x,, ; f=0 x = 16 ou x = ; f<0 1 16, 6. Respostas dos exercícios do item e senx =, cossecx =, secx =, tanx =, cotanx = Respostas dos exercícios item (a) (b) + (c) (d) (e) (f) (g) 0

99 170 - x(rad) cosx x(º) 0 30º 45º 60º 90º 10º 135º 150º 180º 10º 5º 40º 70º 300º 315º 330º 360º senx (a) V (b) F, cosx cosx (c) F cos955º=cos35º (d) F, cos31º > cos49º. No IQ, cosseno é decrescente. (e) F, cos18º > cos179º. No IIQ, cosseno é decrescente. (f) F, cos03º < cos61º. No IIIQ, cosseno é crescente. (g) V, arcos congruentes. (h) V, 180º - 147º = 33º. (i) F, cos161º= - cos19º, 180º - 161º = 19º. (j) V, 360º - 358º= º. 4-(a) (b) + (c) (d) + 5-(a) sen34º= - sen54º (b) sen156º = sen4º (c) sen83º = - sen77º (d) sen301º = - sen59º (e) sen10º = sen60º (f) sen135º = sen45º (g) sen150º = sen30º (h) sen10º = - sen30º (i) sen5º = - sen45º (j) sen10º = -sen30º (k) sen40º = - sen60º (l) sen300º= - sen60º (m) sen315º = -sen45º (n) sen330º = - sen30º 6-(a) < (b) > (c) < (d) > (e) < (f) > (g) > (h) = (i) > (j) = (k) = 7- Amplitude frequência período Imagem (a) 5 [-,8] (b) 6 5 [0,1] 5 (c) 1 14 [-,] 7 (d) 7 3 [-11,3] 3