Matematica Essencial: Trigonometria. Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos

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1 Página 1 de 15 Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos Trigonometria: Funções trigonométricas circulares Funções circulares Funções reais Funções crescentes e decrescentes Funções pares e ímpares Função seno e propriedades Função cosseno e propriedades Função tangente e propriedades Função cotangente e propriedades Função secante e propriedades Função cossecante e propriedades Funções circulares As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc. Funções reais Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções. Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B. O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x). O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f. Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais. Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale

2 Página 2 de 15 f(x+t) = f(x) Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental. Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T= Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades: -L < f(x) < L Esta última expressão pode ser escrita como f(x) <L. Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois -1 < x/(1+x²) < 1 Funções crescentes e decrescentes Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x<y. Afirmamos que f é crescente, se f (x)<f(y) e que f é decrescente, se f(x)>f(y). Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e -x é decrescente. Funções pares e ímpares Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f: f(-x) = f(x) Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY. Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.

3 Página 3 de 15 Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f: f(-x) = -f(x) Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano. Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar. Função seno Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x). Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ]. x 0 /4 /2 3 /4 5 /4 3 /2 7 /4 2 y 0 ½ 1 ½ 0 -½ -1 -½ 0 Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY. Propriedades da função seno Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}

4 Página 4 de Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z: sen(x) = sen(x+2 ) = sen(x+4 ) =...= sen(x+2k ) Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos sen(x+2k ) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k ) para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0 sen(x+2k ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x) A função seno é periódica de período fundamental T=2. Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida Sinal: Função seno positiva positiva negativa negativa 5. Monotonicidade: Função seno crescente decrescente decrescente crescente 6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y= Para todo x real temos: -1 < sen(x) < 1

5 Página 5 de Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que: sen(-x) = -sen(x) Função cosseno Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x). Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ]. x 0 /4 /2 3 /4 5 /4 3 /2 7 /4 2 y 1 ½ 0 ½ -1 -½ 0 ½ 1 Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX. Propriedades da função cosseno 3. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1} Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z: cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )

6 Página 6 de 15 Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos cos(x+2k )=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k ) Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k )=0, então cos(x+2k )=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x) A função cosseno é periódica de período fundamental T=2. 4. Sinal: Função cosseno positiva negativa negativa positiva 5. Monotonicidade: Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y= Para todo x real temos: -1 < cos(x) < 1 Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que: cos(-x) = cos(x)

7 Página 7 de 15 Função tangente Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1) /2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x). sen(x) f(x) = tan(x) = cos(x) Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ]. x 0 /4 /2 3 /4 5 /4 3 /2 7 /4 2 y 0 1 não existe não existe -1 0 Gráfico: O segmento AT, mede tan(x). Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de - /2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX. Propriedades Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temos Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k } Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.