Índice. AULA 6 Integrais trigonométricas 3. AULA 7 Substituição trigonométrica 6. AULA 8 Frações parciais 8. AULA 9 Área entre curvas 11

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2 Índice AULA 6 Integrais trigonométricas 3 AULA 7 Substituição trigonométrica 6 AULA 8 Frações parciais 8 AULA 9 Área entre curvas AULA Volumes 3 Integrais (volume )

3 AULA 6 Integrais trigonométricas Nessa aula usaremos as identidades trigonométricas para resolver integrais que apresentam certas combinações de funções trigonométricas. º caso: sen m (x)cos n (x) Para calcular integrais nesse formato, observamos qual função trigonométrica possui expoente ímpar: Se a potência do cosseno é ímpar, fatoramos deixando um fator cosseno e usamos a identidade cos (x) = sen (x) para escrever os demais fatores em termos de seno. A seguir, basta fazer a substituição u = sen (x). Se a potência do seno é ímpar, a diferença é que devemos fatorar o seno, deixando um fator seno e escrevendo os demais em termos de cosseno com a identidade sen (x) = cos (x). Se de seno e cosseno forem pares, utilizamos as identidades: sen (x) = cos (x) = cos (x) + cos (x) Algumas vezes é útil usar a identidade Exemplo : sen(x)cos (x) = Calcule cos 3 (x) sen (x) Note que a simples substituição u = cos (x) não resolve o problema, pois du = sen(x). Para integrarmos potências de cosseno, necessitamos de um fator sen(x) no integrando, bem como para integrar uma potência de seno precisamos de um fator cos(x) no integrando, daí a necessidade de fatorar a função trigonométrica que apresenta o expoente ímpar, da maneira que vimos anteriormente. Fatorando cos 3 (x): cos 3 (x) = cos (x) cos(x) cos 3 (x) = [ sen (x)] cos(x) Agora resolvemos a integral com a substituição u = sen (x), onde du = cos(x), observe: Exemplo : cos 3 (x) = [ sen (x)] cos(x) = [ u ] cos(x) = [ u ] du = u u3 3 = sen(x) sen3 (x) 3 Calcule sen 5 (x)cos (x) du cos(x) O seno apresenta expoente ímpar nesse caso, portanto, o fatoramos deixando um fator sen(x) e escrevemos os demais em termos de cosseno, sabendo que sen (x) = cos (x), ou seja: sen 5 (x) = sen (x)sen(x) sen 5 (x) = [sen (x)] sen(x) sen 5 (x) = [ cos (x)] sen(x) Fazendo a substituição u = cos (x), onde du = sen(x), temos sen 5 (x)cos (x) = [ cos (x)] sen(x)cos (x) = [ u ] sen(x)u ( du sen(x) ) = [ u ] u du = ( u + u )u du Integrais (volume ) 3

4 = u u + u 6 du = ( u3 3 u5 5 + u7 7 ) = cos3 (x) 3 Exemplo 3: Encontre sen x + cos5 (x) 5 cos7 (x) 7 Basta fazer sen (x) = [ cos(x)] : sen x cos (x) = = cos (x) = ( cos (x)) 3º caso: sen(mx)cos(nx) sen(mx)sen(nx) cos(mx)cos(nx) Finalmente, para calcular as integrais listadas acima, utilize a identidade correspondente: sen(a) cos(b) = sen(a) sen(b) = cos(a) cos(b) = Exemplo : Calcule sen(x)cos(5x) sen(a b) + sen(a + b) cos(a b) cos(a + b) cos(a b) + cos(a + b) sen(x)cos(5x) A primeira integral é imediata e a segunda sai com a substituição u = x. º caso: = = sen(u) (x ) sen(x) (x ) = x sen(x) tg m (x)sec n (x) sen( x) + sen(9x) = Empregamos uma estratégia semelhante a vista anteriormente para integrais nesse formato. São duas situações: Se a potência da secante é par, fatore deixando um fator como sec x e escreva os demais em termos de tg x, sabendo que EXERCÍCIOS sec x = + tg x. A seguir, utilize a substituição u = tg x. Se a potência da tangente for ímpar, fatore a 5 - Calcule a integral deixando um fator como sec x tg x e expresse os outros fatores em termos de ) sen 3 x cos x sec x, onde tg x = sec x. A seguir, faça a substituição u = sec x. Integrais (volume ) = sen( x) + sen(9x) = ( sen( x) + sen(9x) ) A primeira integral é resolvida com a substituição u = x e a segunda sai com a substituição u = 9x: = cos(9x) (cos( x) ) 9 = cos( x) cos(9x) 8

5 ) sen 6 x cos 3 x 3) tsen t dt ) tg 5 x 5) sen 8x cos 5x GABARITO ) cos5 x 5 cos3 x 3 sen9 x ) sen7 x 7 9 3) t sen t cos t + 8 ) sec x tg x + ln sec x cos 3x cos 3x 5) 6 6 ANOTAÇÕES Integrais (volume ) 5

6 AULA 7 Substituição trigonométrica A substituição trigonométrica é um método útil na resolução de integrais contendo expressões da forma a x, a + x ou x a, onde utilizaremos as substituições específicas indicadas na tabela abaixo: Expressão Substituição Expressão resultante a x x = a sen θ a cos θ a + x x = a tg θ a sec θ x a x = a sec θ a tg θ No primeiro caso, quando fazemos x = a sen θ, a expressão fica: a (a sen θ) = a a sen θ = a ( sen θ) Lembrando que sen θ + cos θ =, temos cos θ = sen θ, logo, a expressão será: a (cos θ) = a cos θ No segundo caso, a + x, fazemos x = a tg θ, pois: a + (a tg θ) = a + a tg θ = a ( + tg θ) Como + tg θ = sec θ a ( + tg θ) = a sec θ = a sec θ E no terceiro caso, x a, a substituição é x = a sec θ, veja o que acontece. (a sec θ) a = a sec θ a Da mesma relação utlizada anteriormente, + tg θ = sec θ, podemos obter agora tg θ = sec θ, assim: Exemplo : Calcule a integral a tg θ = a tg θ x 6 x Trata-se de uma integral contendo uma expressão do tipo a x, onde a =. Fazendo a substituição adequada, x = sen θ, temos = cos θ dθ. Assim, a integral ficará: cos θ dθ ( sen θ) ( cos θ) = 6 sen θ dθ = 6 cossec θ dθ = ( cotg θ) 6 Note que a integral está na variável θ, portanto precisamos retornar para a variável original x. Para isso precisamos determinar cotg θ. Sabemos que: cos θ cotg θ = sen θ Logo, precisamos determinar quem é sen θ e cos θ, o primeiro já vêm da substituição inicial: x = sen θ sen θ = x E cos θ encontramos na relação sen θ + cos θ = ( x ) + cos θ = cos θ = x 6 = a (sec θ ) cos 6 x 6 x θ = cos θ = 6 Integrais (volume ) 6

7 Finalmente: E portanto: cotg θ = cos θ sen θ 6 x cotg θ = x 6 x cotg θ = x x 6 x = 6 6 x ( ) x 6 x = x 6 x 6x Exemplo : Calcule a integral x Basta voltar para a variável original x: u = x sen θ = x θ = arcsen (x) ou θ = sen (x) Já encontramos θ, falta sen (θ), para isso, basta lembrar a fórmula do seno do arco duplo: sen (θ) = sen(θ)cos(θ) Sabemos que sen(θ) = x e cos(θ) = x, logo: x = θ arcsen (x) = + arcsen (x) = + + sen (θ) 8 x x 8 x x A princípio, parece que não temos uma expressão adequada para aplicar a substituição trigonométrica, mas note que com a substituição u = x, isso acontece: x = (x) u = x du = u du = u du Agora, fazemos a substituição trigonométrica u = sen θ, onde du = cos θ dθ e a expressão resultante para o radical é cos θ: cos θ cos θ dθ = cos θ dθ = + cos (θ) dθ = + cos (θ) dθ = [ dθ + cos (θ) dθ ] = = θ sen (θ) [θ + ] + sen (θ) 8 EXERCÍCIOS a 5 Calcule a integral. ) x x 9 3) x + 6 5) x x 7 ) x 9 9x ) x3 x + 9 GABARITO ) (x 8) x ) ln ( x x) ) sen (x) x x + 5) x 7 ) x Integrais (volume ) 7

8 Frações parciais AULA 8 A técnica de integração por frações parciais é utilizada para integrar funções racionais, ou seja, funções do tipo p(x) q(x), onde devemos escrever a função racional como uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais. O primeiro passo, é para o caso de funções racionais impróprias, isto é, funções racionais onde o grau do numerador é maior que o grau do denominador. Precisamos fazer a divisão de polinômios entre o numerador e o denominador, para escrever p(x) q(x) como s(x) + r(x)/q(x) onde s(x) é o resultado da divisão, r(x) é o resto da divisão e q(x) o denominador. Em alguns casos, apenas a divisão de polinômios já resolve a integral. Exemplo : Encontre x3 + x x Dividindo x 3 + x para x : x 3 + x x x 3 + x x + x + x + x x + x x x + Obtemos x + x + como resultado e como resto. Então, a integral fica: x + x + + x = x3 3 + x + x + ln x A próxima etapa consiste em fatorar o denominador q(x) o máximo possível, onde podemos escrever qualquer polinômio como um produto de fatores lineares (da forma ax + b) e fatores quadráticos irredutíveis (da forma ax + bx + c, onde b ac < ). Por exemplo: x 6 = (x + )(x ) = (x + )(x + )(x ) Na etapa seguinte vamos expressar a função racional própria como uma soma de frações parciais da forma A Ax ou (ax + b) m + b (ax + bx + c) n Agora veremos detalhadamente como isso acontece nos quatro casos que ocorrem. º caso: O denominador é um produto de fatores lineares distintos Significa que todos os fatores do produto são da forma ax + b, onde nenhum fator é repetido. Nesse caso, cada fator é denominador de uma fração parcial, onde temos que determinar seu numerador, vejamos como isso ocorre no exemplo seguinte. Exemplo : Calcule x + x x 3 + 3x x Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos dividir. Fatoramos o denominador como x 3 + 3x x = x(x + 3x ) = x(x )(x + ) Como o denominador possui três fatores lineares distintos, a decomposição em frações parciais do integrando tem a forma x + x x(x )(x + ) = A x + B x + C x + Para determinar A, B e C, tomamos o produto dos denominadores como denominador comum, e fazemos como se fosse uma soma de frações simples. Os numeradores serão: A(x )(x + ), Bx(x + ) e Cx(x ) Agora efetuamos a soma desses numeradores: A(x )(x + ) + Bx(x + ) x(x ) = A(x + 3x ) + B(x + x) (x x) Sabemos que tal soma deve resultar x + x, assim encontramos A, B e C por igualdade de polinômios, onde o coeficiente de x deve ser, o coeficiente de x deve ser e o termo independente de x deve ser -. A(x + 3x ) + B(x + x) (x x) = Ax + 3Ax A + Bx + Bx x Cx = x (A + B ) + x(3a + B C) A Integrais (volume ) 8

9 Logo, A + B = 3A + B C = A = Portanto, A =, B = 5 e C =. x + x x 3 + 3x x = x + 5 x + = x + 5 x x + = ln x + ln x ln x + + K x + º caso: O denominador é um produto de fatores lineares, e alguns dos fatores são repetidos Suponha que o denominador fatorado de uma função racional apresente o fator (ax + b) n, ou seja, esse fator repete-se n vezes. Nesse caso, não teremos uma única fração parcial com esse fator de denominador, mas sim n frações parciais. Tomamos o mesmo fator com o expoente inteiro de até n, onde cada fator será denominador de uma fração parcial. Veja o exemplo a seguir. Exemplo 3: Calcule x + x + (x ) 3 O fator x aparece três vezes, logo, teremos três frações parciais e o integrando terá a forma x + x + (x ) 3 = A x + B (x ) + C (x ) 3 Para determinar as constantes, tomamos como denominador comum o produto de todos os fatores distintos, cada um com seu maior expoente (denominador fatorado da função racional), em seguida o procedimento é análogo ao visto no caso. x + x + (x ) 3 x + x + (x ) 3 = (x ) A + (x )B (x ) 3 = (x x + )A + Bx B (x ) 3 x + x + = Ax Ax + A + Bx B Assim, A =, A + B = e A B =, onde A =, B = 3 e C = 6. x + x + (x ) 3 = x + 3 (x ) + 6 (x ) 3 = ln x 3 x 3 (x ) A primeira integral é imediata, já a segunda e a terceira saem com a substituição u = x. 3º caso: O denominador contém fatores quadráticos irredutíveis, onde nenhum se repete Se o denominador tiver o fator ax + bx + c, onde b ac <, além das frações parciais vistas nos casos e (caso o denominador fatorado apresente fatores lineares), teremos um termo da forma Ax + B ax + bx + c onde A e B são constantes a serem determinadas. Por exemplo, a função dada por f(x) = x/[(x )(x + )(x + )] tem uma decomposição em frações parciais da forma x (x )(x + )(x + ) = A Bx Dx + E + x x + + x + Para determinar as constantes dos numeradores, assim como no caso, tomamos o denominador da fração racional fatorado como múltiplo comum entre os denominadores das frações parciais, e em seguida o processo é análogo ao visto no caso. Se houver um único fator quadrático irredutível no denominador, o termo Ax + B ax + bx + c pode ser integrado completando o quadrado (se necessário) e usando a fórmula: x + a = arctg(x a ) a Exemplo : Calcule x x + x 3 + x Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador não precisamos dividir. Fatorando o denominador, temos: x 3 + x = x(x + ) Integrais (volume ) 9

10 A decomposição em frações parciais é da forma x x + x 3 + x = A x + Bx x + Tomando x(x + ) como múltiplo comum entre os denominadores, encontramos os numeradores A(x + ) e (Bx )x, basta agora fazer a igualdade de polinômios: A(x + ) + (Bx )x = x x + Ax + A + Bx x = x x + x (A + B) x + A = x x + Assim, A + B =, C = e A =, onde A = e B =, logo: x x + x 3 + x = x + x x + = x + x x + x + A primeira integral é fundamental, a segunda sai por substituição, onde fazemos u = x +, de modo que = du/x e a terceira é resolvida com a fórmula x + x x + x + = ln x + x u du x x + = ln x + ln x + arctg (x ) + K º caso: O denominador contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos Se o denominador tiver um fator (ax + bx + c) n, onde b ac <, em vez de uma única fração parcial como no caso anterior, teremos n frações parciais assim como no caso do. Por exemplo: x 3 + x Ax + B (x = + ) 3 x + + Cx + D (x + ) + Ex + F (x + ) 3 Para determinar as constantes dos numeradores, o procedimento é análogo ao visto no caso anterior. EXERCÍCIOS a 5 Calcule a integral. x 9 ) (x + 5)(x ) x + ) (x 3)(x ) 3) x3 x x 3 + x ) (x )(x + 9) 5) x 3x + 7 (x x + 6) GABARITO ) ln x + 5 ln x ) ln x 3 9 ln x + 5 x 3) 5 ln x + + ln x + x + x ) ln x ln x + 9 5) arctg (x 3 ) 3 7 arctg ( x ) 3x (x x + 6) ANOTAÇÕES Integrais (volume )

11 AULA 9 Exemplo : Área entre curvas Já vimos no início do estudo de integrais, que a integral definida fornece a área de uma região delimitada pelo pelo gráfico de uma função. Agora, usaremos as integrais para calcular áreas de regiões entre gráficos de duas funções. Considere a região S que se encontra entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) e entre as retas x = a e x = b, onde f e g são funções contínuas e f(x) g(x) para todo x em [a, b], como ilustra a figura abaixo: Encontre a área da região delimitada pelas parábolas y = x e y = x x. Nesses casos, onde não há retas verticais limitando a região, devemos encontrar as abcissas dos pontos de interseção entre as curvas, que serão os limites de integração, para isso, igualamos as funções resolvendo a equação em seguida. x = x x x x = x(x ) = x = ou x = x = Agora precisamos esboçar o gráfico das curvas para observar qual está limitando a região por cima e qual está limitando por baixo. A parábola y = x x tem raízes x = e x =, com vértice no ponto (,). Já a parábola y = x, tem vértice na origem com concavidade para cima, passando pelo ponto (,), observe os gráficos e a região cinza que buscamos a área: A área dessa região S, é dada pela integral definida: b A = [f(x) g(x)] a Exemplo : Encontre a área da região limitada acima por y = e x, limitada abaixo por y = x, e limitada nos lados por x = e x =. A = e x x A = e x x A = e x x A = e e ( ) = e 3 A curva que está por cima é a y = x x e a curva y = x está por baixo, logo, a área procurada é dada por A = x x x A = x x A = x x3 3 = x x A = 3 = 3 Integrais (volume )

12 EXERCÍCIOS - Encontre a área da região sombreada. a 5 - Calcule a área da região delimitada pelas curvas indicadas. ) y = x e y = x. 3) y = x e y = x 6. ) y = 5x x e y = x. 5) y = x 3 e y = x. GABARITO ) ) /6 3) 7 ) 3/3 5) / ln 3 ANOTAÇÕES Integrais (volume )

13 Volumes AULA Com a integral, além de calcular área de regiões entre curvas, podemos calcular o volume de um sólido, utilizando áreas de secções transversais. Dado um sólido compreendido entre x = a e x = b, onde A(x) é a área da secção transversal perpendicular ao eixo x, que está em função de x, então o volume do sólido é b V = A(x) a Da mesma maneira, podemos tomar o sólido compreendido entre y = a e y = b, e a área A(y), área da secção transversal perpendicular ao eixo y, onde o volume é dado por Exemplo : b V = A(y) dy a Mostre que o volume de uma esfera de raio r é 3 πr3. Colocamos o centro da esfera na origem do plano cartesiano e tomamos a secção transversal perpendicular ao eixo x, que é um círculo cujo raio é obtido por pitágoras, observe. Então, usando a definição de volume onde a = r e b = r, temos Exemplo : r V = π(r x ) r r V = π (r x ) r V = π [ r r x ] V = π [r x r x3 3 r ] V = π [r 3 r3 3 ] V = π r3 3 V = 3 πr3 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y = x de a. Observe o esboço da região: r = x + y y = r x Rotacionando a região em torno do eixo x, obtemos um sólido de secção transversal perpendicular ao eixo x circular, cujo raio é o valor da função para o x da secção, ou seja, é x, onde x é a altura em que é feita a secção. Observe a seguir o sólido obtido com uma secção destacada: Portanto, a área da secção transversal, que está em função de x, é A(x) = π(r x ) Integrais (volume ) 3

14 Em seguida, devemos notar que fazendo a rotação de tal região em torno do eixo x, teremos um sólido cuja secção transversal perpendicular ao eixo x é uma região de coroa circular ou arruela, ou seja, região compreendida entre dois círculos, como ilustra a figura abaixo. Como x é o raio, a área da secção será A(x) = π( x) A(x) = πx Aplicando a definição de volume com a = e b =, temos Exemplo 3: V = πx V = π x = π x V = π A região delimitada pelas curvas y = x e y = x é girada em torno do eixo x. Calcule o volume do sólido resultante. Primeiro, esboçamos a região referida. A área da secção transversal é a área de cada coroa circular, que obtemos subtraindo a área do círculo maior (que está por fora) da área do círculo menor (que está por dentro). O raio do círculo maior é x e o raio do círculo menor é x, onde x é a altura da secção. Logo: A(x) = πx π(x ) A(x) = π(x x ) V = π(x x ) V = π x x V = π [ x x ] V = π [ x3 3 x5 5 ] V = π [ 3 5 ] = π 5 Integrais (volume )

15 EXERCÍCIOS REFERÊNCIAS ) Mostre que o volume de um cilindro reto de altura h e raio da base r, é πr h. STEWART, James. Cálculo, vol.. 7a. ed. São Paulo, Cengage Learning. ) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x e y = em torno do eixo x. 3) Calcule o volume gerado pela parábola y = x girando em torno do eixo y, no intervalo [,] ) Ache o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região entre y = x e y = x. 5) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região sob a curva y = x 3 de a. GABARITO ) Basta colocar o centro da base do cilindro na origem do plano cartesiano. Assim, qualquer secção transversal perpendicular ao eixo x, na altura x, é sempre uma região circular de área πr. Logo, o volume é dado por: ) 8π 5 3) 8π h V = πr h V = πr = πr x V = πr h h ) π 6 5) 7π 7 Integrais (volume ) 5

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