Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas

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1 Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas Disciplina: Calculo para Tecnologia (Equação de 1o e 2o graus, Porcentagem, razão e proporção. Regra de três, Logaritmo, Funções Trigométricas ) Prof. Wagner Santos C. de Jesus wsantoscj@gmail.com

2 Conceito de Equação 2

3 Equações São expressões algébricas que possuem uma igualdade. Essas expressões são chamadas de algébricas porque possuem pelo menos uma incógnita, que é um número desconhecido representado por uma letra. 3

4 Termos de uma Equação 4

5 Conceito de Termos Termo é o nome que se dá ao produto de algum número por alguma letra. Para identificá-los, basta procurar pelas multiplicações separadas por sinais de adição ou subtração. Exemplo 8x + 9x 10x = 15x 4x wsantoscj@gmail.com 5

6 Membros da equação Primeiro e segundo membros são definidos pela igualdade, nas equações. ax + bx cx = kx cx Primeiro membro Segundo membro wsantoscj@gmail.com 6

7 Grau de uma equação O grau de uma equação é determinado, pelo valor de potência mais alto que equação tiver. Exemplo: 4x 3 + 2x 2 = 7 é 3 Se a equação possui mais de uma incógnita, então, o grau dela é dado pela maior soma entre os expoentes de um mesmo termo. Por exemplo, o grau da equação: 4xyz + 7yz 2 5x 2 y 2 z 2 = 0 é 6. wsantoscj@gmail.com 7

8 Conceito de equação do primeiro Grau 8

9 Conceito de Equação do Primeiro Grau. Basta reduzir os seus termos semelhantes e observar os expoentes das partes literais dos monômios, se o maior expoente for 1, significa que a equação é do 1º grau. 2x 1 = 5 wsantoscj@gmail.com 9

10 Exemplos de Equação do primeiro grau 2x 1 = 5 20 y = 15 30n + 12 = 20 20x + 2y = 5z wsantoscj@gmail.com 10

11 Como escrever uma equação 1. Identificar as variáveis 2. Identificar possíveis valores do problema (coeficientes). 3. Escrever a expressão, achando a igualdade. 4. Resolver. wsantoscj@gmail.com 11

12 Exemplo Um número somado a seu sucessor, resulta em 11 qual é esse número? x + x+1 = (5+1) = 11 2x +1 = 11 2x = 11-1 wsantoscj@gmail.com 12

13 Exemplo Prático 4x + 2x -7x = 16 5x 6x - 7x = 16 5x -x = 16 5x -x +5x = 16 6x = 16 x = 4 wsantoscj@gmail.com 13

14 Problema Em uma empresa de informática, um analista chegou a conclusão de que seus custos, eram um triplo do valor de gasto desconhecido, adicionado a seu dobro, resultando em total de R$ 600 reais. Qual o valor do gasto desconhecido? wsantoscj@gmail.com 14

15 Resolução GD Gasto desconhecido =? 3(120) + 2(120) = 600 3GD + 2GD = 600 5GD = 600 Gasto desconhecido = 120 Reais wsantoscj@gmail.com 15

16 Problema Proposto José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele percorreu após o café? wsantoscj@gmail.com 16

17 Resolução Distância de d antes de parar e depois percorre o triplo. d + 3d = 350 4d = 350 wsantoscj@gmail.com 17

18 Gráfico de uma função do Primeiro Grau 18

19 Termos de uma função do Primeiro Grau f(x) = mx+b Imagem Coeficiente Angular Domínio Coeficiente Linear wsantoscj@gmail.com 19

20 Conceito Em uma função do 1º grau para se criar um gráfico basta indicar apenas dois pontos. Apenas um ponto, corta o eixo x esse ponto é a raiz da função e apenas um ponto, corta o eixo y esse ponto é o valor de b coeficiente linear. wsantoscj@gmail.com 20

21 Conceito de Domínio O domínio é o subconjunto de IR (Reais) no qual todas as operações indicadas em y=f(x) são possíveis. wsantoscj@gmail.com 21

22 Exemplo de Domínio Domínio D = {1,2,3,4,5} Imagem Im = {2,3,4,5,6} wsantoscj@gmail.com 22

23 As formulas (1) e (2) serão base para construir os algoritmos de retas y 1 y 0 x x 0 1 wsantoscj@gmail.com 23

24 Conceito Matemático de reta y = mx + b Onde (m) Coeficiente ângular em relação ao eixo x. se se m 1 m 1 Ângulo entre 0º e 45º com eixo x, o Coeficiente linear b dá o valor do eixo y. Ângulo entre 45º e 90º com eixo x. Dados dois pontos no plano P1 e P2, pode-se obter m e b da seguinte maneira. m y x 1 0 = 1 1 y x 0 (1) b = y 1 mx (2) 24

25 Exemplo - Encontrando Coeficiente angular f(x) x m f(x) = 2.x + 1 m = y x 1 1 y x = 2 wsantoscj@gmail.com 25

26 Exemplo - Encontrando Coeficiente Linear f(x) x f(x) = 2.x + 5 b = y mx 1 1 = 5 wsantoscj@gmail.com 26

27 Exercício Encontre o coeficiente angular e Linear da reta abaixo e determine a equação da reta: (0,8) m b = = y x 1 1 y x 0 0 y mx 1 1 (4,0) wsantoscj@gmail.com 27

28 Solução m = y x 1 1 y x 0 0 = -2 b = y mx 1 1 b = 8 (-2).(0) = 8 Descrevendo a reta f(x) = -2x + 8 wsantoscj@gmail.com 28

29 Resposta Coeficiente angular m = -2 Coeficiente Linear b = 8 Equação da reta f(x) = -2x + 8 wsantoscj@gmail.com 29

30 Balanceamento da equação caso negativo Se a parte da variável ou a incógnita da equação for negativa, devemos multiplicar todos os membros da equação por 1. Exemplo: -8x = -80-8x.(-1) = -80.(-1) 8x = 80 x = 80 / 8 x = 10 wsantoscj@gmail.com 30

31 Equação do Segundo Grau 31

32 Conceito Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. 2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau. 2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau. wsantoscj@gmail.com 32

33 Conceito Encontrar as raízes de uma equação significa, determinar o ponto em que a curva passa (Intercepta) pelo eixo x (Abscissa). Ordenada Abscissa wsantoscj@gmail.com 33

34 Solução de Equação de Grau - 2 wsantoscj@gmail.com 34

35 Gráfico da função x 2 = 25 (-5,0) (-5,0) (5,0) wsantoscj@gmail.com 35

36 Método de Solução Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau por meio do método de "Bhaskara". wsantoscj@gmail.com 36

37 Termos de uma função do segundo Grau Coeficiente literal Potencia de grau 2 Coeficiente literal Termo independente wsantoscj@gmail.com 37

38 Sabendo que as raízes 38

39 x = 4; x =6 x² 10x + 24 = 0 4² 10 * = = = 0 (Raiz válida) wsantoscj@gmail.com 39

40 x = 4; x =6 x² 10x + 24 = 0 6² 10 * = = = 0 (Raiz válida) wsantoscj@gmail.com 40

41 Método de solução da equação Levando em consideração, que em algum momento, não teremos os valores de x então, precisamos de um método para descobrir as raízes da equação do segundo grau. wsantoscj@gmail.com 41

42 Método de Bhaskara 42

43 Solução: f(x) = x² 10x + 24 = 0 wsantoscj@gmail.com 43

44 Indicação das raízes (4,0) (6,0) 44

45 Problema Um experimento realizado com um processador 8031, observou-se que seu comportamento seria conforme a equação, f(x) = x² 2x 3, em que ponto ocorreu a saturação e em que ponto, ocorreu a retomada. Esboce o gráfico da função. wsantoscj@gmail.com 45

46 Solução Prova: f(x) = x² 2x 3 = 0 3² 2(3) 3 = 0 1² 2( 1) 3 = 0 2( 1) 3 3 = 0 (-1,0) (3,0) wsantoscj@gmail.com 46

47 Equação Terceiro Grau 47

48 Conceito Uma equação cúbica ou equação do terceiro grau é uma equação polinomial de grau três. Qualquer equação de 3 grau pode ser escrita como: wsantoscj@gmail.com 48

49 Termos de uma função do Terceiro Grau Coeficiente literal Potencia de grau 3 Coeficiente literal Grau 2 Variável independente Coeficiente literal wsantoscj@gmail.com 49

50 Solução de Equação de Grau - 2 wsantoscj@gmail.com 50

51 Gráfico da f(x) = x 3 wsantoscj@gmail.com 51

52 Solução de uma equação do Terceiro Grau 52

53 Metodologia para solução Albert Girard, matemático belga nascido no ano de 1595, em seus estudos estabeleceu fórmulas matemáticas que relacionam os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica. P = a 2.(-d) S = -b wsantoscj@gmail.com 53

54 Solução Equação de grau-3 54

55 Resolução de uma Equação de grau-3 P = a 2.(-d)= S = -b = wsantoscj@gmail.com 55

56 Exemplo 2 (Teste) P = a 2 -d = 36.(-2) = -72 S = -b = -(-5) = 5 (6+3-4) = wsantoscj@gmail.com 56

57 Conceito de Regra de Três Simples 57

58 Conceito Prático Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. wsantoscj@gmail.com 58

59 Processo Prático 1. Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3. Montar a proporção e resolver a equação. wsantoscj@gmail.com 59

60 Exemplo Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: > Área (m 2 ) Energia (Wh) 1, ,5 x Elementos de grandezas conhecidas, encontram-se dispostos de forma crescente. wsantoscj@gmail.com 60

61 Solução Área (m 2 ) Energia (Wh) 1, ,5 x Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. wsantoscj@gmail.com 61

62 Importante Observa-se que, aumentando a grandeza da coluna x, a coluna y também será aumentada. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. x y x wsantoscj@gmail.com 62

63 Importante (Caso Contrário) Observa-se que, aumentando a grandeza da coluna x, a coluna y também diminui. Como as palavras correspondem (aumentando - diminuindo), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. x y x wsantoscj@gmail.com 63

64 Exemplo Prático Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) x Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminuindo), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. wsantoscj@gmail.com 64

65 Solução Velocidade (Km/h) Tempo (h) x Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminuindo), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Faria esse mesmo percurso em duas horas e meia. wsantoscj@gmail.com 65

66 Regra de Três Composta 66

67 Conceito A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. wsantoscj@gmail.com 67

68 Exemplos Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? wsantoscj@gmail.com 68

69 Solução Logo, serão montados 32 carrinhos. 69

70 Discussão Observe que, aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional. Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. wsantoscj@gmail.com 70

71 Calculo de Porcentagem 71

72 Conceito A porcentagem é uma forma matemática de demonstrar uma proporção entre o todo e uma de suas partes. wsantoscj@gmail.com 72

73 Exemplo - 1 Imagine uma feira onde 200 trabalhos, foram apresentados e nesta feira tinham 200 trabalhos escritos. O todo, neste caso, é representado por todos os participantes da iniciativa, ou seja, corresponde a 100% das inscrições. wsantoscj@gmail.com 73

74 Exemplo - 2 wsantoscj@gmail.com 74

75 Exemplo - 3 Agora, imagine que 25% das fichas de inscrição foi preenchida incorretamente. Como é possível descobrir o total exato de inscrições com problemas? wsantoscj@gmail.com 75

76 Exemplo de resolução 76

77 Porcentagem e suas representações Entender valores de porcentagens envolve também compreender e reconhecer seus diversos formatos. Elas podem ser representadas pelo símbolo %, por uma fração ou mesmo por um número decimal. wsantoscj@gmail.com 77

78 Representações 25% = 25/100 = 0,25 55% = 55/100 = 0,55 7% = 7/100 = 0,07 8,5% = 8,5/100 = 0,085 2% = 2/100 = 0,02 wsantoscj@gmail.com 78

79 Calculando descontos 79

80 Calculando acréscimos Você recebeu uma promoção, e agora seu salário terá um aumento de 15%. Considerando que seu salário, atualmente, é R$ 1.400,00 qual será o valor que você vai começar a receber? = 1610 Portanto o salário será de R$ 1.610,00 wsantoscj@gmail.com 80

81 Dica prática: calculando 1% 81

82 Outra opção prática para calcular porcentagens é encontrar o correspondente a 1% do valor total, dividindo o todo por 100. Confira mais um exemplo. Como calcular 27% de 1300? Primeiro, vamos encontrar o valor correspondente a 1%. 1300/100 = 13 Agora, basta multiplicar o valor de 1% pela porcentagem que deseja descobrir, porque 27% é 27 vezes 1%. 27 x 13 = 351 Portanto, 27% de 1300 corresponde a 351. wsantoscj@gmail.com 82

83 Conceito de Logaritmo 83

84 Conceito de Logaritmo Logaritmo é uma função matemática que está baseada nas propriedades da potenciação e exponenciação. O valor do logaritmo corresponde ao expoente que se deve elevar uma determinada base, positiva e diferente de 1, para que o resultado seja igual a um número positivo b. wsantoscj@gmail.com 84

85 Etimologia dos Logaritmos A palavra logaritmo é formada pela junção de dois termos gregos: lógos e arithmós, que significam, respectivamente, razão e número. wsantoscj@gmail.com 85

86 Notação de Logaritmo Função logarítmica Base do logaritmo logaritmando 86

87 Conceito Matemático a = base, que deve ser maior que zero (a > 0) e diferente de um (a 1). b = logaritmando, sendo que b deve ser maior que zero (b > 0). x = logaritmo. wsantoscj@gmail.com 87

88 Curva de Logaritmo 88

89 Exemplo 10 x = 2 Logaritmo de 100 na base (10) = 2; porque 10 2 = 100 wsantoscj@gmail.com 89

90 Exemplo Logaritmo 90

91 Propriedades dos logaritmos 91

92 Regra - 1 Quando o logaritmando é igual a base, o logaritmo será sempre igual a 1; wsantoscj@gmail.com 92

93 Regra - 2 Logaritmo de qualquer base, cujo logaritmando seja igual a 1, terá sempre o resultado igual a 0; wsantoscj@gmail.com 93

94 Regra - 3 Dois logaritmos com a mesma base são iguais quando os logaritmandos também são iguais; wsantoscj@gmail.com 94

95 Regra - 4 Uma potência de base (a) e expoente igual a logaritmo de (b) na base (a), é igual a (b). wsantoscj@gmail.com 95

96 Exemplo da regra - 4 Logaritmo de 100 na base 10 = 2; e dez elevado a 2 é igual a 100 portando o resultados 100. wsantoscj@gmail.com 96

97 Regra - 5 Quando o logaritmando é composto por uma multiplicação de números, podemos separá-los numa soma de logaritmos com a mesma base para ambos; wsantoscj@gmail.com 97

98 Regra - 6 Quando o logaritmando é composto por uma divisão de números, podemos separá-los numa subtração de logaritmos, com a mesma base para ambos; wsantoscj@gmail.com 98

99 Regra - 7 A regra da potência: o logaritmo de uma potência simplifica-se multiplicando o expoente pelo logaritmo, mantendo a mesma base e o logaritmando. wsantoscj@gmail.com 99

100 Calculo de Logaritmo de Qualquer base Onde x logaritmando e b a base na qual se que calcular o logaritmo. wsantoscj@gmail.com 100

101 Funções Trigonométricas 101

102 Conceito Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. wsantoscj@gmail.com 102

103 Relação Seno e Cosseno θ Medido em radiano. Prof. Wagner Santos C. de Jesus wagner@univap.br 103

104 Ângulos Principais Prof. Wagner Santos C. de Jesus 104

105 Relação da tangente tan = sin( cos( θ θ ) ) wsantoscj@gmail.com 105

106 Tabela de valores Reais de Ângulos Principais 106

107 Gráfico da função sen(x) x[0 e 360] 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1,5 wsantoscj@gmail.com 107

108 Gráfico da função cos(x) x[0 e 360] 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1,5 wsantoscj@gmail.com 108

109 Problema - 1 Um prédio projeta uma sombra de 50 m, quando os raios solares formam um ângulo de 45º com o solo. Qual a altura desse prédio. wsantoscj@gmail.com 109

110 Solução x Prédio m Resposta: A altura do prédio é igual a 50 m wsantoscj@gmail.com 110

111 Problema - 2 Uma escada de 8 metros é encontrada em uma parede, formando com ela um ângulo de 60º. A que altura da parede a escada estaria apoiada. wsantoscj@gmail.com 111

112 Solução 60 Resposta: Escada estaria apoiada em uma altura de 4 metros. wsantoscj@gmail.com 112