BCC402 Algoritmos e Programação Avançada Prof. Marco Antonio M. Carvalho Prof. Túlio Ângelo M. Toffolo 2011/1

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2 Na aula anterior Prova. 2

3 Na aula de hoje Geometria. 3

4 A geometria é inerentemente uma disciplina visual Desenhar figuras e analisá-las cuidadosamente. Certas operações óbvias realizadas à mão requerem programação não trivial para serem realizadas computacionalmente Como determinar a interseção entre linhas. 4

5 Nesta aula vamos desenferrujar um pouco sobre geometria Linhas, pontos, triângulos, círculos, etc. Problemas mais elaborados envolvendo segmentos de linha e polígonos serão estudados na próxima aula. 5

6 Linhas são a menor distância entre dois pontos Comprimento infinito em ambas as direções Diferentemente de segmentos de linha, que são finitos. Vamos nos concentrar em linhas no plano Por falar nelas, procure pelo problema de mesmo nome no livro Matemática Concreta. 6

7 Linhas podem ser representadas por pares de pontos ou equações Pares de pontos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) que estejam sobre uma linha podem descrevê-la completamente; Também, equações do tipo y=mx+b descrevem uma linha completamente m é a inclinação da linha m= (x 1, x 2 )/ (y 1, y 2 ). b é o único ponto (0, b) em que a linha intercepta o eixo y b=y 1 -mx 1 7

8 Linhas veriticais não podem ser descritas por equações como as anteriores porque o divisor seria zero; A equação x=c denota uma linha vertical que cruza o eixo x no ponto (c, 0); Este tipo de degeneração requer atenção extra quando estivermos programando; Utilizaremos a fórmula mais geral ax+by+c=0 para atendermos a todas as possibilidades. 8

9 9

10 Multiplicar qualquer um destes coeficientes por uma constante não nula resulta em uma representação alternativa para qualquer linha; É estabelecida uma representação canônica pela insistência que o coeficiente y é 1 caso seja diferente de zero Caso contrário, o coeficiente x é 1; Apenas uma simplificação que mantém a linha próxima da origem. 10

11 11

12 Por exemplo, considere os pontos (2, 1) e (2, 8); Temos a=1, b=0 e c=-2. 12

13 Agora, considere os pontos (1, 1) e (2, 8); Temos a=-7, b=1 e c=6. 13

14 Agora, considere o ponto (2, 2) e a inclinação 5; Temos a=-5, b=1 e c=8. 14

15 Duas linhas possuem um ponto de interseção, a não ser que sejam paralelas Linhas paralelas possuem a mesma inclinação, porém, diferentes pontos de interceptação dos eixos, e por definição nunca se cruzam. 15

16 Nota: a função fabs(double x) inclusa na biblioteca math.h calcula o valor absoluto de x; A constante EPSILON é aproximadamente 0 (0, ). 16

17 Um ponto (x, y ) está sobre uma linha l se a substituição de x por x na fórmula y=mx+b resulta em y ; O ponto de interseção das linhas l 1 (y = m 1 x + b 1 ) e l 2 (y 2 = m 2 x + b 2 ) é o ponto em que ambas são iguais, ou seja:, 17

18 18

19 Quaisquer duas linhas não paralelas se cruzam formando um determinado ângulo; Duas linhas l 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 e l 2 : a 2 x+b 2 y+c 2 =0 se cruzam no ânguloθdado por: Para linhas representadas por inclinação, a fórmula se reduz a 19

20 Duas linhas são perpendiculares se elas se cruzam em ângulo reto; Uma linha perpendicular à linha l: y=mx+b é y=( -1/m)x+b Para todos os valores de b. 20

21 Um subproblema útil é o de identificar o ponto sobre a linha l que mais se aproxime mais de um determinado ponto p; Este ponto mais próximo está sobre a linha que passa por p que é perpendicular a l Logo, pode ser determinado usando as rotinas anteriores. 21

22 22

23 Raios são partes de linhas que se originam a partir de um vértice v, chamado de origem; Qualquer raio é completamente descrito por: Uma equação de linha; Origem Destino Direção ou origem e outro ponto no raio. 23

24 Existem três funções trigonométricas básicas: Seno, Cosseno e Tangente. Estas funções são importantes porque nos permitem relacionar o comprimento de quaiquer dois lados de um triângulo retângulo com os outros ângulos não retos. 24

25 Internamente, as funções trigonométricas são calculadas usando expansões da Série de Taylor Tendem a ser instáveis; Não espere queθ= sen -1 (sen(θ)), especialmente para ângulos muito pequenos ou muito grandes. 25

26 A, B, C: ângulos a, b, c: lados opostos Lei dos Senos Lei dos Cossenos 26

27 Alguns problemas são recorrentes em triângulos; Dados dois ângulos e um lado, encontre o resto Os três ângulos devem somar 180º = π radianos; A Lei dos Senos nos fornece um meio para encontrar o comprimento dos lados restantes. 27

28 Dados dois lados e um ângulo, encontre o resto Se o ângulo está entre os dois lados fornecidos, a Lei dos Cossenos nos fornece um meio de calcular o lado restante A Lei dos Senos nos permite determinar os ângulos restantes. Caso contrário, a Lei dos Senos e a propriedade da soma dos ângulos podem ser usadas para determinar os ângulos E a Lei dos Senos novamente para determinar o lado restante. 28

29 A área A(T) de um triângulo T é dada por A(T) = ½ab, em que a é a altura e b a base do triângulo A base é qualquer um dos lados; A altura é a altura do terceiro vértice em relação à base (calculado pelo teorema de Pitágoras). 29

30 Uma outra maneira de calcular a área do triângulo é direta a partir de suas coordenadas Usando álgebra linear e determinantes, pode ser mostrado que a área (com sinal) A(T) do triângulo T=(a, b, c) é: 30

31 Note que a área com sinal pode ser negativa Então devemos usar o valor absoluto. Isto não é um bug do cálculo Na próxima aula veremos aplicações disto. 31

32 Um círculo é definido como o conjunto de pontos a uma determinada distância (ou raio) a partir de seu centro (x c, y c ); Um disco é um círculo somado a seu interior Ou seja, o conjunto de pontos cuja distância é no máximo r a partir de seu centro. 32

33 Um círculo pode ser representado em duas maneiras básicas: Por triplas de pontos fronteiriços; Ou por seu centro e raio O mais conveniente para a maioria das aplicações. 33

34 A equação de um círculo com raio r é Área Circunferência Diâmetro 34

35 Uma linha l intercepta um círculo c em zero ou dois pontos em boa parte das vezes Neste primeiro caso, a linha não cruza o círculo; No segundo caso, ela cruza o interior do círculo. O único caso restante é quando a linha toca a borda do círculo, mas não seu interior Ou seja, é uma linha tangente. 35

36 A construção de uma linha tangente é ilustrada a seguir O ponto de contato entre c e l está sobre a linha perpendicular (90 o ) a l através do centro de c. 36

37 O triângulo formado pelos lados r, d e x é retângulo 37

38 A distância d de O até o centro é calculado pela fórmula da distância. 38

39 O que nos permite calcular a tangente x usando o teorema de Pitágoras Sabemos o comprimento dos lados r e d. 39

40 A partir de x, podemos calcular o ponto de tangência ou o ângulo a. 40

41 Dois círculos c 1 e c 2 de raios distintos r 1 e r 2 podem interagir entre si de diversas maneiras: Eles terão uma interseção sse a distância entre seus centros for no máximo r 1 +r 2 ; O menor círculo (e. g., c 1 ) estará completamente contido em c 2 sse a distância entre os centros mais r 1 for no máximo r 2 ; Se c 1 e c 2 possuírem interseções, os dois pontos de interseção formam triângulos com os centros, cujos lados são determinados r 1, r 2 e a distância dos centros. 41

42 42

43 A biblioteca padrão math.h contém as funções trigonométricas padrões O retorno das funções é em radianos. Outro ponto importante é o intervalo de ângulos retornado pelas funções inversas sen -1 e tan -1 : [-π/2,+π/2] radianos. tan2-1 : [-π,+π] radianos; cos -1 : [0,π] radianos. 43

44 Nota: existem duas funções arctan para identificar corretamente em qual quadrante está o ângulo O que depende dos sinais de x e y. 44

45 Exemplo de Projeto Mais rápido que uma bala; Mais forte que uma locomotiva; Capaz de saltar sobre os prédios; É um pássaro! É um avião! Não! É o Super-Homem! 45

46 Exemplo de Projeto O Super Homem deseja demonstrar seu poder entre sua posição atual s = (x s, y s ) e uma posição alvo t = (x t, y t ) O ambiente contém obstáculos cilíndricos, como colunas A visão de raio-x não possui alcance infinito, sendo limitada pela quantidade de material que precisa atravessar. Ele está ansioso para calcular o comprimento total dos obstáculos entre os dois pontos, para saber se tenta a demonstração ou não. 46

47 Exemplo de Projeto Uma vez decidido, o Super Homem voará entre os dois pontos O caminho ideal é a linha que liga os dois pontos Porém, ele não voa através dos objetos. Quando encontra um obstáculo, ele o contorna e então volta à linha reta O que não é o menor caminho, a não ser que se escolha a menor curva do contorno. 47

48 Exemplo de Projeto s t 48

49 Exemplo de Projeto Assuma que: Os obstáculos não possuem interseção; Os pontos inicial e final estão fora dos obstáculos; A especificação dos círculos é feita pelas coordenadas do centro e raio. 49

50 Exemplo de Projeto Precisaremos de 3 operações geométricas básicas: 1. Testar se um círculo possui interseção com uma linha l; 2. Computar o comprimento do segmento de linha da interseção; 3. Computar o comprimento do arco que contorna o menor lado do círculo cortado por l. 50

51 Exemplo de Projeto 51

52 Exemplo de Projeto A primeira tarefa é fácil: Basta encontrar a menor distância entre o centro do círculo até l Se for menor que o raio do círculo, há interseção; Caso contrário, não há interseção. Para testar se a interseção ocorre entre s e t, basta verificar se tal ponto em l mais próximo do centro do círculo está contido na caixa formada por s e t. 52

53 Exemplo de Projeto 53

54 Exemplo de Projeto Já a segunda tarefa Podemos calcular as coordenadas dos dois pontos de interseção Basta igualar as equações da linha e do círculo e resolver a equação quadrática resultante. Basta? Só se for para o super homem Existe uma maneira mais simples. 54

55 Exemplo de Projeto Sabemos que d, a menor distância entre o centro do círculo e l está sobre uma linha perpendicular a l Logo, todos os 4 ângulos da interseção destas linhas são retos. 55

56 Exemplo de Projeto Incluindo os ângulos incidentes aos triângulos com lados r, d e x Podemos obter x pelo teorema de Pitágoras; E o comprimento será 2x. 56

57 Exemplo de Projeto O arco (contorno) de menor comprimento pode ser obtido a partir do ângulo a O arco é 2a/2π vezes a circunferência do círculo; Em radianos. O ângulo pode ser computado como um dos problemas recorrentes de triângulos Dados dois lados e um ângulo, encontre o resto Ou utilizamos funções trigonométricas inversas cos -1 ). 57

58 Exemplo de Projeto 58

59 Exemplo de Projeto Mostrar o código 59

60 Sumário dos arquivos: geometry.h: define os tipos de dados para pontos, polígonos, segmentos de reta, círculos e triangularizações, além de constantes; geometry.c: implementa funções para representação de linhas e segmentos de linha, testes de paralelismo, interseção, distância e áreas de algumas formas; superman.c: exemplo de problema que usa geometria básica. 60

61 Perguntas? 61

62 Na próxima aula + Geometria. 62

63 FIM 63

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