Aula Trigonometria

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1 Aula 4 4. Trigonometria A trigonometria estabelece relações precisas entre os ângulos e os lados de um triângulo. Definiremos as três funções (mesmo se a própria noção de função será estudada no próximo capítulo) trigonométricas elementares, sen (seno), cos (cosseno) e tan (tangente), e daremos as suas propriedades básicas. Nos próximos capítulos olharemos mais de perto as propriedades analíticas dessas funções Medir ângulos no plano Para começar, é importante escolher uma unidade (como "metros"para comprimentos, ou "litros"para volumes) para medir um ângulo determinado pela abertura entre duas retas. Descreveremos as duas unidades mais usadas, graus e radianos. Os ângulos serão medidos a partir de uma reta horizontal, em sentido antihorário. A abertura mínima, naturalmente, é definida como valendo zero, qualquer que seja a unidade. O que precisa ser definido é o valor do ângulo total. Se o ângulo for medido em graus, esse ângulo total é definido como valendo 360 graus: 1

2 Uma vez que o ângulo total foi fixado, a medição dos outros se faz proporcionalmente: a metade do ângulo total vale 180 graus, o ângulo reto mede 90 graus, etc. A vantagem dessa unidade é que os ângulos mais usados em geometria tomam valores inteiros: 30, 60,90, 180, 270, etc Observe que apesar da posição do ângulo total coincidir com o ângulo nulo, eles devem ser considerados como distintos. Um outro jeito natural de medir ângulos parte da seguinte idéia: desenhe o círculo de raio 1 centrado na origem e, partindo do ponto (1, 0) (que corresponde a um ângulo de 0),ande ao longo do círculo no sentido antihorário. Quando tiver percorrido uma distância igual ao raio do círculo (isto é, 1), o ângulo correspondente é definido como sendo de 1 (um) radiano: Observe que o ângulo total corresponde à circunferência de um círculo de raio 1: 2π. Em geral, nessa nessa apostila, os ângulos serão medidos em radianos. Se a medida de um ângulo em graus é α g e em radianos é α r, a conversão se faz da seguinte maneira: como o ângulo total mede 360 graus e 2π radianos, temos 360 2π = αg αr. Portanto, 2

3 Assim, verifica-se por exemplo que um ângulo de 90 graus corresponde a π 180 [90] = π 2 = radianos. (1) Exercício O ponteiro dos segundos de um relógio mede 20 centímetros. Qual distância a ponta desse ponteiro percorreu depois de uma hora e 15 minutos? Um ângulo negativo será interpretado como medido no sentido horário: 4.2. Seno, cosseno e tangente Para poder definir as ligações entre os ângulos e os lados de um triângulo, é necessário fazer umas simplificações. Trabalharemos com um triângulo retângulo, isto é, que possui um ângulo reto. Considere então o seguinte triângulo ABC, retângulo em C. Com respeito a α, b é chamado de cateto adjacente, a de cateto oposto, e c de hipotenusa. Se dois lados forem conhecidos, o terceiro pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras, e o valor do ângulo α é determinado. Como qualquer triângulo semelhante a ABC tem os mesmos ângulos, α é determinado uma vez que um dos quocientes a b, b c, ou a b for conhecido. A ligação entre α e esses quocientes é chamada respectivamente seno, cosseno e tangente de α, e denotada por 3

4 Observe que a seguinte relação sempre vale: Em alguns casos simples, senα, cosα e tanα podem ser calculados manualmente. Exemplo Considere α = π 4 (= 45 graus). Para calcular sen π 4, cosπ4, tanπ4, consideremos o seguinte triângulo: (2) Exercício Montando em cada caso um triângulo apropriado, calcule sen π 3, cos π 3, tan π 6. Faremos agora uma generalização, que permitirá enxergar melhor os três números senα, cosα e tanα, é que será também útil para considerá-las como funções de uma variável real, a partir do próximo capítulo. Para tanto, usaremos um triângulo cuja hipotenusa é de tamanho c = 1. Isto é, o ponto B do triângulo da figura anterior é posicionado no círculo de raio 1 centrado na origem, chamado círculo trigonométrico. As funções trigonométricas podem então ser medidas efetivamente olhando para os comprimentos da seguinte figura: 4

5 Observe como senα, cosα e tanα mudam à medida que B se movimenta ao longo do círculo. Em particular, B pode dar uma volta completa no círculo, o que permite extender as funções trigonométricas a qualquer ângulo 0 α 2π, e também para valores maiores ou até negativas. Os sinais das funções trigonométricas mudam dependendo do quadrante ao qual B pertence: Várias propriedades podem ser obtidas a partir do círculo trigonométrico. Por exemplo, observe que α e -α têm o mesmo cosseno, mas que ao transformar α em - α, o seno muda de sinal. Portanto, Exercício Prove as identidades: (3) 5

6 (4) (5) (6) (7) Exercício Complete a seguinte tabela: 4.3 Identidades trigonométricas As identidades de Exercício deram algumas ligações entre seno, cosseno e tangente. O Teorema de Pitágoras dá também a relação Provaremos agora a identidade (8) (9) usando o seguinte desenho: 6

7 Observe que sen(α+β) = d(a, C) = d(a, B) + d(b, C). Usando o ponto E (projeção ortogonal de A no segmento OD) e olhando para o triângulo OEA, temos d(o, E) = cos β e d(a, E) = senβ. Observe também que o ângulo BAE vale α. Portanto, d(a, B) = d(a, E)/ cosα = senβ / cosα e d(b, E) = d(a, B)senα. Por outro lado, d(b, C) = d(o, B)senα, mas como d(o, B) = d(o, E) d(b, E) temos, = cosβ d(a, B)senα = cosβ senβ senα = cosβ senβtanα, cosα o que prova (9) Exercício Prove as identidades: sen(α + β) = senβ + senα(cosβ senβtanα) cosα = senβ cosα + senαcosβ senβ sen2 (α) cosα = senαcosβ + senβcosα, sen(α β) = senαcosβ cosαsenβ cos(α + β) = cosαcosβ senαsenβ tan(α + β) = tanα + tanβ 1 tanαtangβ cos(α β) = cosαcosβ + senαsenβ tan(α β) = tanα tanβ 1 + tanαtanβ 7

8 Exercício Prove as identidades: sen(2a) = 2sen(α)cos(α) cos(2a) = cos 2 (α) sen 2 (α) = 2cos 2 (α) 1 = 1 2sen 2 (α), tan (α 2 = senα 1 + cosα Exercício Calcule a equação da reta r que passa pelo ponto (2, -1), cujo ângulo com a horizontal é igual a 60 graus. Exercício Resolva: 1. cosx = 0 2. senx = senx = cosx 4. senx = sen 2 x 5. sen 2 x senx = 1 6. senx cosx < (cosx + senx) 2 = sen(2x) = senx. 8