Projeto de Recuperação 1º Semestre - 2ª Série (EM)

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1 Projeto de Recuperação 1º Semestre - 2ª Série (EM) Matemática 1 MATÉRIA A SER ESTUDADA Nome do Fascículo Aula Exercícios Matrizes e Determinantes Classificação de matrizes (pag. 0) 1,2,,4,6,8 Matrizes e Determinantes Operações elementares entre matrizes (pag. 1) Matrizes e Determinantes Matrizes: multiplicação (pag. 2) 1,2,,5,15 Matrizes e Determinantes Aplicação do produto de matrizes (pag. ) 2,,6 Matrizes e Determinantes Determinante de matrizes 2x2 (pag. 4) 1,2,,4, Matrizes e Determinantes Determinante de matrizes x (pag. 5) 1,2,,4 Matrizes e Determinantes Teorema de Laplace (pag. 6) 1,2,5,6,7 Matrizes e Determinantes Determinante de uma matriz trasposta ou com filas nulas ou triangular (pag. 7) 1,2,,4 Matrizes e Determinantes Propriedade da multiplicação de uma fila por um número real (pag. 8) 1,2, Matrizes e Determinantes Propriedade das matrizes múltiplas e o teorema de Binet (pag. 9) 1,2,5,6 Matrizes e Determinantes O teorema de Jacobi (pag. 40) 1,2,,4 Matrizes e Determinantes Propriedades de determinantes e o determinantes de Vandermonde (pag. 41) 1,2,4,5,6 Matrizes e Determinantes Condição de existência da matriz inversa (pag. 42) 1,2, Sistemas lineares Determinação da matriz inversa (pag. 4) 1,2 Sistemas lineares Equações lineares e soluções de sistemas (pag. 26),4 Sistemas lineares O Método de Cramer - Resolução (pag. 28) 1,,5 Sistemas lineares O método de Cramer - discussão de sistemas 2x2 (pag. 29),4,6 Sistemas lineares Escalonamento de sistemas (pag. 1) 1,2,,4,7 Sistemas lineares Discussão de sistemas (pag. ) 2,,4,5 LISTA DE EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR 1) Sendo: o determinante de B é igual a 1 1 a) b) c) d) 4 e) x y x y 4 6 2) Na equação 2x y 2x y 8 18 a) 4 e 1 b) 2 e - c) 2 e d) 1 e 1 e) 0 e, quanto valem x e y, respectivamente?

2 1 1 ) Sendo A = 0 1 a) 2 b) c) 4 d) 5 e) 6, qual é a soma da diagonal principal da matriz A 2? 2 x 4) Quanto vale x na equação 4? 4 a) - b) -4 c) 0 d) 1 e) 2 4 5) Calcule o valor do determinante a) 10 b) 11 c) 8 d) 0 e) : 6) Resolvendo o sistema a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 7) Resolvendo o sistema x y 2x 5y 9 2x y z y z 2 4z 8 a) 5,5 b) 5 c) 4,5 d) 4 e),5, quanto vale 2x + y?, qual o valor de x? 8) A soma de todos os elementos da matriz A = (a ij ) 2x2, onde a ij = i 2j -1, é: a) 0 b) 1 c) 2 d) e) 4 x y 1 2 9) Se, B z t 5 A e A t = -B, então qual é o valor de z? a) -1 b) -2 c) - d) -5 e) 0 10) Se o termo geral de uma matriz 2x2 é a ij = i 2j, qual é o determinante dessa matriz? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 11) Qual o valor de m para que o sistema a) -5 b) -6 c) -4 d) e) 2 mx y 2 x y 0 não seja determinado? 12) O sistema : x y 2 11x 4y tem a solução: a) x = 5, y =. b) x = -5, y = 1. c) x = 5, y = -1. d) x =-5, y = -1. e) x = 2, y = -1. 1) Numa lanchonete, 2 copos de refrigerante e coxinhas custam R$ 5,70. O preço de copos de refrigerante e 5 coxinhas é R$ 9,0 Nessas condições, é verdade que cada copo de refrigerante custa a) R$ 0,70 a menos que cada coxinha. b) R$ 0,80 a menos que cada coxinha. c) R$ 0,90 a menos que cada coxinha. d) R$ 0,80 a mais que cada coxinha. e) R$ 0,90 a mais que cada coxinha. 14) O termo geral da matriz M 2x 2 é a ij = i - 2j. O valor do determinante de M é: a) 2 b) c) 4 d) 5 e) 6

3 15) (Pucmg 1997) M é uma matriz quadrada de ordem, e seu determinante é det(m)=2. O valor da expressão det(m)+det(2m)+det(m) é: a) 12 b) 15 c) 6 d) 54 e) (Ufrs 1997) O sistema linear x y 1 4x my 2 é possível e determinado se e somente se a) m = 2 b) m = 4 c) m -4 d) m 1 e) 4m = 1 17) Num bar paga-se R$ 5,80 por 5 pastéis e copos de refrigerante. No mesmo local, pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$,60. Nesse caso, cada copo de refrigerante custa a) R$ 0,70. b) R$ 0,50. c) R$ 0,0 a menos do que o preço de cada pastel. d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel. e) R$ 0,20 a menos do que o preço de cada pastel. 18) O valor de "a" tal que no sistema 2x y z x y az 1 x y z 5 se tenha z = é: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 19) Ache os valores de a e b para que o sistema 2x y 6 ax 5y b tenha mais do que uma solução. 20)Dadas as matrizes mostradas na figura adiante o determinante da matriz A. B é : a) -1. b) 6. c) 10. d) 12. e) ) Considere o seguinte problema: Determinar dois números inteiros tais que a diferença entre seus dobros seja igual a 4 e a soma de seus triplos seja igual a 9. Esse problema pode ser resolvido por meio do sistema de equações. 2x 2y 4 x y 9 e a conclusão correta a que se chega é que esse problema a) não admite soluções. b) admite infinitas soluções. c) admite uma única solução, com valores de x e y menores que 5. d) admite uma única solução, com valores de x e y compreendidos entre 5 e 10. e) admite uma única solução, com valores de x e y maiores que 10.

4 22) A solução do sistema de equações lineares representado abaixo é: x 2y 2z 1 x 2z y z 1 a) x = -5, y = -2 e z = -1. b) x = -5, y = -2 e z = 1. c) x = -5, y = 2 e z = 1. d) x = 5, y = 2 e z = -1. e) x = 5, y = 2 e z = 1. 2) O valor de Y no sistema de equações x 5z 2 x y 5z 4x 4y z 4 é: a) 4 b) 5 c) 1 d) 2 e) 24) Se A = (a ij ) é uma matriz quadrada de terceira ordem tal que a ij = -, se i = j a ij = 0, se i j então o determinante de A vale: a) -27 b) 27 c) 1/27 d) -1/27 e) zero 25) Se A é uma matriz quadrada de ordem com det(a)= e se k é um número real tal que det(ka)=192, então o valor de k é a) 4 b) 8 c) 2 d) 64 e) 96 26) Se o sistema linear x 5y 12 4x 7y 19 for resolvido pela Regra de Cramer, o valor de x será dado por uma fração cujo denominador vale: a) 41 b) 179 c) -179 d) 9 e) -9 27) Resolvendo o sistema a seguir, obtém-se para z o valor: x y z 0 2x y 2z 1 6y z 12 a) - b) - 2 c) 0 d) 2 e) 28) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A -1 a sua inversa. Se 16. det A - 1 = det (2A), então o determinante de A vale: a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) 16 29) O sistema linear 5x y z 0 x y z 1 x y z 2 é: a) Homogêneo e indeterminado. b) Impossível e indeterminado. c) Possível e determinado. d) Impossível e determinado. e) Possível e indeterminado. 0) O valor de a para que a igualdade matricial seja verdadeira é:

5 a) 1 b) 2 c) 0 d) -2 e) -1 1) Considere as matrizes É CORRETO afirmar que o valor do determinante da matriz AB é: a) 2 b) 44 c) 51 d) 6 2) Numa determinada livraria, a soma dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é R$ 10,00. O preço do estojo é R$ 5,00 mais barato que o preço de três lápis. A soma dos preços de aquisição de um estojo e de um lápis é a) R$,00. b) R$ 4,00. c) R$ 6,00. d) R$ 7,00. e) R$ 12,00. ) Resolvendo o sistema de equações lineares: x y 2z 7 2x y z 1 x 2y z 2, encontramos y igual a: a) 1. b). c) 5. d) 2. e) 4. 4) Dadas as matrizes A = (a ij ) x tal que aij 10,se i j aij 0,se i j a) 27 x 10 b) 9 x 10 c) 27 x 10 2 d) 2 x 10 2 e) 27 x 10 4 e B = (b ij ) x tal que bij,se i j bij 0,se i j, o valor de det(ab) é 5) Resolva o sistema linear 2x y z 11 x y z 6 5x 2y z 18 6) Se o sistema linear a seguir, é impossível, ax y z 1 x 2y z 0 2x y z 2 então: a) a = 0 b) a = 14 c) a = 4 d) a = 1 e) a = 28

6 0 1 7) Observe que se A = 2 e B = , então A.B é a matriz a) b) c) d) e) ) Se, x 4z 7 x y 8 y z 1 Então, x + y + z é igual a : a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 9) A solução do sistema a seguir nas variáveis x e y, é o par ordenado (-1, 2). Nessas condições o valor a + b é: ax by 5 x y a a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 5 40) Para que o determinante da matriz : seja nulo, o valor de a deve ser: a) 2 ou -2 b) 1 ou c) - ou 5 d) -5 ou e) 4 ou -4 Gabarito: 1)E 2)C )A 4)B 5)E 6)A 7)C 8)E 9)B 10)C 11) D 12) C 1)C 14)E 15)E 16)C 17)E 18)D 19) a = 10/ b = 10 20)E 21)A 22)E 2)E 24)A 25)A 26)A 27)D 28)D 29)E 0)B 1)B 2)D )D 4)A 5) x = 1 y = 2 z = 6)B 7)B 8)E 9)D 40)A

7 Matemática 2 MATÉRIA A SER ESTUDADA Nome do Fascículo Aula Exercícios Matemática básica Trigonometria no triângulo retângulo I 1,,4,6 Matemática básica Trigonometria no triângulo retângulo II 1,2,,5,6 Trigonometria 1 Medidas de ângulos e arcos I (pag. 27) 1,2,5 Trigonometria 1 Medidas de ângulos e arcos II (pag. 28) 1,,4,5,6 Trigonometria 1 Ângulos entre ponteiros (pag. 29) 1,2,,5 Trigonometria 1 Ciclo trigonométrico (pag. 0) 1,2,,4,6,7 Trigonometria 1 Arcos côngruos, valores notáveis (pag. 1) 1,2, Trigonometria 1 Seno e cosseno no ciclo trigonométrico I (pag. 2),4,7,8 Trigonometria 1 Seno e cosseno no ciclo trigonométrico II (pag. ) 1,2,,4,5,6,9,10 Trigonometria 1 Tangente, cotangente, secante e cossecante (pag. 4) 1,2,,4,5,6,7 Trigonometria 1 Relações fundamentais (pag. 5) 1,2,5,6 Trigonometria 1 Identidades trigonométricas (pag. 6) 1,2,,5,7 Trigonometria 1 Equações trigonométricas I (pag. 7) 1,2,,6 Trigonometria 1 Equações trigonométricas II (pag. 8) 1,2,,7,9 Trigonometria 1 Equações trigonométricas III (pag. 9) 1,4,6 Trigonometria 1 Equações trigonométricas IV (pag. 40) 1,,5,6 Trigonometria 2 Adição de arcos: seno e cosseno (pag. 0) 1,2,6,7 Trigonometria 2 Adição de arcos: exercícios (pag. 1) 1,2,4,6,7 Trigonometria 2 Adição de arcos: tangente e arco duplo (pag. 2) 1,,4,5 Trigonometria 2 Arco dobro (pag. ) 1,,6 Trigonometria 2 Arco metade (pag. 4) 1,2,,4,7 Trigonometria 2 Arco metade: exercícios (pag. 5) 2,,6 LISTA DE EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR 1. O menor valor de 1/ (-cos x), com x real, é: a) 1/6. b) 1/4. c) 1/2. d) 1. e). 2. Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica. Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25cm e 52cm. De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor: a) 10 b) 11 c) 12 d) 1 e) 14. O conjunto solução da equação 2cos 2 x + cosx - 1 = 0, no universo U = [0, 2π], é a) {π/, π, 5π/} b) {π/6, π, 5π/6} c) {π/, π/6, π}

8 d) {π/6, π/, π, 2π/, 5π/} e) {π/, 2π/, π, 4π/, 5π/, 2π} 4. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 e o ângulo A B C mede 60. A soma das medidas dos catetos vale: a) 15(1 + 4 ) b) 15 4 c) 15(1 + ) d) 15 2 e) 15(1 ) 2 5. Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura. O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, igual a: a). b). c). d). e). 6. Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg 2x vale: a) 24/7. b) - 24/7. c) - 8/. d) 8/. e) - 4/. 7. Se tgx = 5, então sen 2 x é igual a: a) 1 6. b) 1 5. c) 4. d) 5. e) Se s = sen(x), 5s 2 + s - 4 = 0 e 0 x π/2 então: a) x = 0 b) 0 < x < π/4 c) 0 < x < π/6 d) x = π/2 e) π/4 < x < π/2 9. Se x - y = 60, então o valor de (senx + seny) 2 + (cosx + cosy) 2 é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) e) 4

9 10. Se cosx = 0,8 e 0 < x < π/2 então o valor de sen2x é: a) 0,6 b) 0,8 c) 0,96 d) 0,6 e) 0, Considere os ângulos α, β e γ conforme representados no círculo. Pode-se afirmar que: a) cos α < cos β b) cos γ > cos α c) sen α > sen β d) sen β < cos γ e) cos β < cos γ 12. Calculando-se o valor da expressão mostrada na figura a seguir obtém-se 2 a) 6 b) 2 c) d) - 2 e) Em [0, 2π], a soma das raízes da equação ( 2 1 cos x ) + sen x = 1 é: a) π b) 2 π c) 4 π d) 0 e) π 14. Se cos x sen x = 1 2 a) 0,125. b) 0,25. c) 0,5. d) 0,75. e) 1., então sen (2x) é igual a 15. Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 12/1. O cosseno desse ângulo é igual a: a) 5/1. b) 1/1. c) - 5/1. d) - 1/1. e) - 12/ Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores X e Y sob ângulos de 0 e 60 com a horizontal, como mostra a figura a seguir.

10 Se a distância entre os observadores é de 40m, qual é aproximadamente a altura da torre?(se necessário, utilize 2 =1,4 e =1,7). a) 0 m b) 2 m c) 4 m d) 6 m e) 8 m 17. Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante. Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 0? a) 150 b) 180 c) 270 d) 00 e) Se x é a medida de um ângulo em radianos e π/2 < x < π/4, então a) cos x > 0. b) cos 2x < 0. c) tgx > 0. d) sen x < 0. e) sen 2x > O número de soluções da equação 2cos 2 x - cosx - 2 = 0 no intervalo [0, π] é a) 1. b) 0. c) 2. d) 4. e). 20. Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são: A = (1, 0), B = (0, 1) e C = (0, ). Então, o ângulo BÂC mede: a) 60 b) 45 c) 0 d) 18 e) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120 à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B é a) 0. b) 40. c) 60. d) 80. e) 90.

11 22. Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é: (considere π=,14) a) 7,7 cm. b) 25,1 cm. c) 20 cm. d) 12 cm. e),14 cm. 2. A diferença entre o maior e o menor valor de θ [0, 2π] na equação 2sen 2 θ + senθ = 2, é a) π/ b) 2π/ c) 4π/ d) 5π/ e) 7π/ 24. Se x é um arco do 0. quadrante e cosx = -4/5, então cossecx é igual a a) -5/ b) -/5 c) /5 d) 4/5 e) 5/ 25. Avalie: I) cos 225 < cos 215 II) tg (5π/12) > sen (5π/12) III) sen 160 > sen 172 Das afirmações acima: a) todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) somente II e III são verdadeiras. d) somente II é verdadeira. e) somente I e II são verdadeiras. 26. No intervalo [0, 2π], a equação trigonométrica sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale: a) π b) 2π c) π d) 4π e) 5π 27. Um veículo percorre uma pista circular de raio 00 m, com velocidade constante de 10 m/s, durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da medida, em graus, do arco percorrido é: a) 90 b) 115 c) 145 d) 75 e) Se e então: a) x = 0 b) x = 7π/6 c) x = 7π/4 d) x = 5π/4 e) x = 11π/6 29. O gráfico em setores do círculo de centro O representa a distribuição das idades entre os eleitores de uma 5π cidade. O diâmetro AB mede 10 cm e o comprimento do menor arco AC é cm. O setor x representa todos os 8000 eleitores com menos de 18 anos, e o setor y representa os eleitores com idade entre 18 e 0 anos, cujo número é a)12000 b)14800 c)16000 d)18000 e)20800

12 0. Ao descrever o tipo de salto de uma ginasta, um entendido a ele referiu: "Era como se seus dedos dos pés descrevessem no espaço um arco de circunferência de 124 cm de comprimento." Considerando que cada perna dessa ginasta, juntamente com seu pé esticado, estejam em linha reta e perfazem 60 cm, o cosseno do ângulo de abertura de suas pernas era (Use: π =,1) a) -1 b) 1 c) 0 d) -1/2 e) 1/2 1. Simplificando a expressão obtemos: a) secx b) tgx c) cossecx d) cosx e) senx 2. Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é: a) π - 1. b) π + 1.c) 2π - 1. d) 2π. e) 2π O número de raízes reais da equação (1/2) + cossecx = 0 é: a) 0. b) 1. c) 2. d). e) maior do que. 4. Se sen x=2/, o valor de tg 2 x é: a) 0,6 b) 0,7 c) 0,8 d) 0,9 e) 1 5. Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se sen x = cos x, então sen (2x) é igual a a) 5 5. b) 5. c) d) 4 5. e) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 0 m. Use a aproximação sen = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto

13 mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de α = π radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de β radianos, com tg β =. É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 8. Para representar as localizações de pontos estratégicos de um acampamento em construção, foi usado um sistema de eixos cartesianos ortogonais, conforme mostra a figura a seguir, em que os pontos F e M representam os locais onde serão construídos os respectivos dormitórios feminino e masculino e R, o refeitório. Se o escritório da Coordenação do acampamento deverá ser equidistante dos dormitórios feminino e masculino e, no sistema, sua representação é um ponto pertencente ao eixo das abscissas, quantos metros ele distará do refeitório? a) 10 b) 10 c) 9 d) 9 e) 8 9. Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente, Dados: 1,7; 2 θ 1 cos θ sen. 2 2 a) 7 m b) 26 m c) 40 m d) 52 m e) 67 m 40. Sabendo que a) -1 5 b) 9 6 cos sen, sen 2 é: então o valor de c) 1 6 d) 1 e) 5 6

14 GABARITO 1-B 2-D -A 4-E 5-A 6-A 7-E 8-E 9-D 10-C 11-E 12-D 1-E 14-D 15-C 16-C 17-C 18-B 19-A 20-E 21-C 22-B 2- B 24-A 25-C 26-E 27-B 28-D 29-C 0-D 1-C 2-E -A 4-C 5-B 6-A 7-C 8-B 9-B 40-D