Elementos de trigonometria

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1 Escola de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática Curso de preparação para a Prova Específica de Matemática ******* Elementos de trigonometria 1. O triângulo [BC] é rectângulo no ponto B e os seus lados são tais que: B = 3cm, BC = 4cm, C = 5cm. α C B (a) Calcule o seno do ângulo com vértice no ponto. (b) Calcule o co-seno do ângulo com vértice no ponto. (c) Calcule a tangente do ângulo com vértice no ponto. (d) Calcule sin (α) + cos (α). (e) Considere as quatro questões precedentes sobre o ângulo com vértice no ponto C. Resolva-as.. O triângulo [BC] está particionado nos dois triângulos, rectângulos no ponto P, [P C] e [P BC]. amplitude do ângulo CḂP está representada por x. C P x B Os segmentos [P ] e [CB] são tais que: P = 1, CB =. (a) Mostre que (b) Mostre que CP = sin(x). B = 1 + cos(x). 1

2 3. Considere um triângulo isósceles em que a base mede 9cm e um dos ângulos a ela adjacentes mede 66 o. Calcule as medidas dos outros lados do triângulo. 4. figura abaixo representa um cone recto de altura h cm. De acordo com os dados presentes, calcule: (i) a amplitude do ângulo α; (ii) a altura do cone. 15cm h cm α 4cm 5. figura representa um paralelepípedo rectângulo. O segmento [D] é uma das suas diagonais e o segmento [C] é uma das diagonais da base. Calcule x. 30 o 8cm D x cm C 6cm B 6. Suponhamos que a amplitude do ângulo de saída da luz de uma lanterna (com ocular redonda) é de 40 o. Qual é o raio da região circular iluminada pela lanterna se esta estiver a 10m de distância do alvo e emitir na perpendicular a este? 7. Na figura, a recta P Q é tangente à circunferência no ponto P e P Q = 4cm. O P 18 o Q (a) Classifique o triângulo [OP Q], quanto aos ângulos. (b) Identifique a amplitude do ângulo P O (c) Calcule, com aproximação às décimas: (i) OP ; (ii) a medida do comprimento do arco P. 8. Viajantes num Balão, a 00m de altura sobre uma planície, avistam um cavalo segundo um ângulo de depressão de o. que distância do balão se encontra o cavalo?

3 9. Na figura, está representado um triângulo [P QR] inscrito numa circunferência de centro O e raio 1cm. O lado [P Q] é um diâmetro da circunferência. R P O Q (a) Justifique que o triângulo [P QR] é rectângulo em R. (b) Calcule, com aproximação às décimas: (i) P R; (ii) QR. 10. Do seu farol, um faroleiro F avista dois barcos B 1 e B. Mais, F, B 1 e B estão num plano perpendicular ao plano da água do mar. F Mar 53 o B 1 33 o B (a) De acordo com os dados na figura, identifique os valores das amplitudes dos ângulos de depressão segundo os quais o faroleiro avista os barcos B 1 e B. (b) Sabendo que o faroleiro se encontra a 15m acima do nível do mar, calcule a distância entre os dois barcos (com aproximação às centésimas). 11. O sinal de trânsito esquematizado abaixo significa que em cada 100m medidos na horizontal, a estrada desce 10m. 10% (a) Calcule o ângulo de inclinação. (b) Para um ângulo de inclinação igual a 10 o, qual é a inclinação? 1. Considere o ângulo agudo β tal que sin(β) = 5. Calcule: (a) os valores exactos de cos(β) e de tan(β); (b) os valores aproximados, às décimas, de cos(β) e de tan(β), começando por identificar β. 3

4 13. Seja α tal que tan(α) = 14, 3. Calcule um valor aproximado, às milésimas, de: sin(α) + cos(α). 14. Calcule a altura de um rectângulo cuja base mede 1m e sabendo que a diagonal faz um ângulo de 30 o com esta. 15. Calcule a altura de um trapézio isósceles, sabendo que o lado oblíquo mede 50cm e faz 45 o com a base. 16. Sem calculadora, simplifique: (a) [1 sin(30 o )] ; (b) sin (60 o ) 1; (c) cos(60 o ) cos(45 o ) + sin(60 o ) sin(45 o ); (d) tan(60 o ) tan(45 o ) 1 + tan(60 o ) tan(45 o ) ; (e) [sin(30 o ) + cos(30 o )] ; (f) 1 + tan (60 o ). 17. Simplifique: (a) 4 sin ( α) sin(α) cos( α) ; (b) tan( α) + tan(π α); (c) sin(π + α) cos( π α); (d) sin(π + α) + sin(π α) + sin( α) + sin(α). 18. Verifique se cada uma das funções abaixo são pares ou ímpares: (a) f(x) = sin x + tan x; (b) g(x) = 3 sin x + 1; (c) h(x) = 1 cos x; (d) i(x) = x + cos x; (e) j(x) = x tan x; (f) m(x) = x sin x. 19. Estabeleça relações entre as funções trigonométricas de: (a) α e 3π α; (b) α e 3π + α. 0. Calcule: (a) sin π 3 + cos 5π 6 ; (b) sin 3π 11π + sin ; 6 4

5 (c) sin(300 o ) sin(10 o ); (d) tan(780 o ) tan(300 o ); (e) cos( 5π 3 ) + tan( π 4 ); (f) sin(330 o ) tan(300 o ); (g) cos( 5π 4 ) + tan( 7π 6 ). 1. Simplifique: (a) cos( π + α) + cos( π α); (b) sin( π α) + sin( 3π + α); (c) tan( π + α) tan(π α); (d) cos(α π ) + 3 sin α.. Quais os ângulos x onde: (i) cos(x) é máximo? (ii) cos(x) é mínimo? 3. Quais os ângulos x para os quais sin(x) = 0? 4. Para que valores de x, a função sin x é mínima? 5. Quais os valores de x que maximizam sin x? 6. Resolva, em radianos: (a) sin x cos x = 0; (b) sin x = cos x; (c) sin x = 1; (d) cos x = Resolva, em graus: (a) sin x = ; (b) sin x = sin(30 o ); (c) sin x = 3 ; (d) sin x = sin( π 3 ). 8. Quais os valores de x para os quais tan x = cot x? 9. Quais os valores de x para os quais cos x = 1? 30. Identifique o intervalo de variação da expressão: (a) sin β + 1; 5 (b) (1 + sin α) ; (c) (d) sin(3α); 1 cos β ; 5

6 (e) sin y + cos y; (f) tan x. 31. Para que valores de p é possível a condição: (a) sin α = p 3 ; (b) cos β = 3p Sem calculadora. Sabendo que cos α = 3 5, α 1o quadrante, calcule: (a) 1 + sin α; (b) 1 + tan α; (c) tan α cot α; (d) (sin α cos α). 33. Sem calculadora. Sabendo que calcule: (a) cos β; (b) sin β 1; (c) sin β 3 ; (d) (1 + cot β). tan β = e cos β < 0, *********************** Fontes: Francelino Gomes & Yolanda Lima; X Q MT; 11 o ano; Editorial: O Livro. 6